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A. (A) और (B) के सभी क्रमित युग्म/All ordered pairs of (A) and (B)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से आता है। परीक्षा में क्रमित युग्म का क्रम जरूर देखें। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). In exams, always check the order of the pair.
हर तत्व (A) से लेकर (B) के (3) के साथ युग्म बनाया जाता है। सूची बनाते समय पहला स्थान (A) का रखें। / Each element of (A) is paired with (3) from (B). While listing, keep the first position for (A).
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए \(1\times 2=2\)। परीक्षा में पहले संख्या गिनें फिर गुणा करें। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so \(1\times 2=2\). In exams, count elements first and then multiply.
कार्तीय गुणन में तत्वों की संख्या (n(A)n(B)) होती है। यहां \(4\times 5=20\), यही सही उत्तर है। / The number of elements in a Cartesian product is (n(A)n(B)). Here \(4\times 5=20\), so this is the correct answer.
पहले घटक के लिए (A) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा। खाली समुच्चय पर विशेष ध्यान दें। / There is no element in (A) for the first component, so no ordered pair is formed. Pay special attention to the empty set.
A. हां, क्योंकि \(2\in A\) और \(3\in B\)/Yes, because \(2\in A\) and \(3\in B\)
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) में पहला घटक (2) है जो (A) में है और दूसरा (3) है जो (B) में है। सदस्यता जांचते समय दोनों स्थान अलग-अलग जांचें। / In ((2,3)), the first component (2) is in (A) and the second (3) is in (B). Check both positions separately for membership.
A. \(p\in A\) और \(q\in B\)/\(p\in A\) and \(q\in B\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में क्रमित युग्म का पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से होता है। इसी नियम से अधिकतर सदस्यता प्रश्न हल होते हैं। / In \(A\times B\), the first component of an ordered pair is from (A) and the second is from (B). This rule solves most membership questions.
B. \(A\times B\) और \(B\times A\) सामान्यतः समान नहीं होते/\(A\times B\) and \(B\times A\) are generally not equal
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(A\times B\) सामान्यतः \(B\times A\) से अलग होता है। परीक्षा में उल्टा क्रम गलती कराता है। / Order matters in Cartesian product, so \(A\times B\) is generally different from \(B\times A\). Reversed order is a common exam mistake.
\(A\times B={(1,1),(1,2)}\) और \(B\times A={(1,1),(2,1)}\) हैं। केवल दिखने में समान संख्याएं होने से क्रम नहीं बदलता। / \(A\times B={(1,1),(1,2)}\) and \(B\times A={(1,1),(2,1)}\). Similar looking numbers do not remove the importance of order.
((5,7)) में पहला घटक (5) और दूसरा घटक (7) है। कार्तीय गुणन में पहला घटक पहले समुच्चय से आता है। / In ((5,7)), the first component is (5) and the second component is (7). In Cartesian product, the first component comes from the first set.
((5,7)) का दूसरा घटक (7) है। परीक्षा में कोष्ठक के अंदर स्थान को ध्यान से पढ़ें। / The second component of ((5,7)) is (7). In exams, read the position inside the brackets carefully.
(A) में (2) और (B) में (2) तत्व हैं, इसलिए \(2\times 2=4\)। छोटी सूचियों में चाहें तो सभी युग्म लिखकर भी जांचें। / (A) has (2) elements and (B) has (2) elements, so \(2\times 2=4\). For small sets, you may also list all pairs to check.
((3,5)) में \(3\in A\) और \(5\in B\), इसलिए यह \(A\times B\) में है। बाकी विकल्पों में घटक का स्थान या सदस्यता गलत है। / In ((3,5)), \(3\in A\) and \(5\in B\), so it belongs to \(A\times B\). Other options have wrong position or membership.
((3,1)) में पहला घटक (3) है जो (A) में नहीं है। गलत विकल्प पहचानने के लिए पहले घटक की जांच पहले करें। / In ((3,1)), the first component (3) is not in (A). To find the wrong option, check the first component first.
(A) का एकमात्र तत्व (0) पहले स्थान पर रहेगा और (B) के सभी तत्व दूसरे स्थान पर आएंगे। एकल तत्व वाले समुच्चय में भी क्रम न बदलें। / The only element (0) of (A) stays in the first position and all elements of (B) come in the second position. Do not reverse order even for singleton sets.
(n\(A\times A\)=n(A)n(A)=3\times 3=9)। समान समुच्चय के साथ भी गुणा ही किया जाता है। / (n\(A\times A\)=n(A)n(A)=3\times 3=9). Even with the same set, the counts are multiplied.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए (12=3n(B)) और (n(B)=4)। अज्ञात संख्या निकालने के लिए भाग दें। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so (12=3n(B)) and (n(B)=4). Divide to find the unknown count.
यदि (A) खाली नहीं है फिर भी कोई युग्म नहीं बना, तो (B) खाली होना चाहिए। कार्तीय गुणन खाली होने पर कम से कम एक समुच्चय खाली होता है। / If (A) is not empty and still no pair is formed, then (B) must be empty. If a Cartesian product is empty, at least one set is empty.
A. (A) से पहला घटक और (B) से दूसरा घटक वाले सभी युग्म/All pairs with first component from (A) and second component from (B)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में पहला स्थान (A) और दूसरा स्थान (B) से भरा जाता है। इसे \(A\cup B\) समझना आम गलती है। / In \(A\times B\), the first position is filled from (A) and the second from (B). Confusing it with \(A\cup B\) is a common mistake.
क्रमित युग्म में स्थान बदलने से युग्म बदल जाता है। केवल तब समानता होगी जब दोनों संबंधित घटक समान हों। / Changing positions changes an ordered pair. Equality holds only when corresponding components are equal.
\(A\times A\) में (A) का हर तत्व (A) के हर तत्व के साथ युग्म बनाता है। केवल समान घटक वाले युग्म लेना अधूरा उत्तर है। / In \(A\times A\), every element of (A) pairs with every element of (A). Taking only equal component pairs is incomplete.
(B) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई दूसरा घटक नहीं मिल सकता। संख्या पूछी गई है, इसलिए उत्तर (0) है। / There is no element in (B), so no second component is available. Since the number is asked, the answer is (0).
दोनों समुच्चय में एक-एक तत्व है, इसलिए केवल ((4,6)) बनेगा। एकल समुच्चयों का गुणन एक क्रमित युग्म देता है। / Both sets have one element each, so only ((4,6)) is formed. The product of singleton sets gives one ordered pair.
क्रमित युग्मों की समानता में पहले घटक बराबर और दूसरे घटक बराबर होते हैं। इसलिए (a=2) और (b=3)। / In equality of ordered pairs, first components are equal and second components are equal. Hence (a=2) and (b=3).
परिभाषा के अनुसार \(A\times B={(x,y):x\in A,\ y\in B}\)। सेट-बिल्डर रूप में घटकों का क्रम वही रखें। / By definition, \(A\times B={(x,y):x\in A,\ y\in B}\). In set-builder form, keep the order of components unchanged.
\(B\times A\) में पहला घटक (B) से (2) होगा और दूसरा घटक (A) से (1) या (2) होगा। क्रम बदलने से उत्तर बदलता है। / In \(B\times A\), the first component is (2) from (B) and the second is (1) or (2) from (A). Reversing the order changes the answer.
दोनों की संख्या (n(A)n(B)) होती है, इसलिए संख्याएं बराबर होती हैं। ध्यान रखें कि संख्या बराबर हो सकती है पर समुच्चय अलग हो सकते हैं। / Both counts are (n(A)n(B)), so the numbers are equal. Remember that counts may be equal even when the sets are different.
(A) के दोनों तत्व पहले स्थान पर और (B) का (0) दूसरे स्थान पर आता है। ऋणात्मक संख्या भी सामान्य तत्व की तरह ही प्रयोग होती है। / Both elements of (A) come in the first position and (0) from (B) comes in the second position. A negative number is used like any other element.
((6,2)) में \(6\in A\) और \(2\in B\), इसलिए यह सही है। केवल दोनों संख्याएं मौजूद होना काफी नहीं, स्थान भी सही होना चाहिए। / In ((6,2)), \(6\in A\) and \(2\in B\), so it is correct. Having both numbers present is not enough; their positions must also be correct.
((1,0)) में दोनों घटक (A) से हैं, इसलिए यह \(A\times A\) में होगा। \(A\times A\) में दोनों स्थानों पर (A) के तत्व आते हैं। / In ((1,0)), both components are from (A), so it belongs to \(A\times A\). In \(A\times A\), elements of (A) fill both positions.
यदि (A) का हर तत्व (B) में है, तो \(A\times C\) का हर युग्म \(B\times C\) में भी होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्न में पहले घटक पर ध्यान दें। / If every element of (A) is in (B), then every pair of \(A\times C\) is also in \(B\times C\). In subset questions, focus on the first component.
दूसरे घटक के लिए (C) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा। खाली समुच्चय के साथ कार्तीय गुणन खाली होता है। / There is no element in (C) for the second component, so no ordered pair is formed. Cartesian product with an empty set is empty.
क्रमित युग्म को ((a,b)) के रूप में लिखा जाता है, जबकि ({a,b}) समुच्चय है। परीक्षा में कोष्ठक और मध्यम कोष्ठक का अंतर पहचानें। / An ordered pair is written as ((a,b)), while ({a,b}) is a set. In exams, notice the difference between parentheses and braces.
A. ((a,b)) और ((b,a)) सामान्यतः अलग होते हैं/((a,b)) and ((b,a)) are generally different
Explanation
Simple Explanation
क्रमित युग्म में पहला और दूसरा स्थान अलग अर्थ रखते हैं। इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) को सामान्यतः समान न मानें। / The first and second positions in an ordered pair have different meanings. Therefore, do not generally treat ((a,b)) and ((b,a)) as equal.
कार्तीय गुणन में प्रत्येक (A) तत्व (B) के हर तत्व से जुड़ता है, इसलिए कुल संख्या (mn) होती है। गिनती वाले प्रश्न में जोड़ नहीं, गुणा करें। / In Cartesian product, each element of (A) pairs with every element of (B), so the total count is (mn). For counting questions, multiply, do not add.
\(A\times B\) में (A) के (1,2) पहले स्थान पर और (B) के (3,4) दूसरे स्थान पर आते हैं। पूरी सूची में \(2\times 2=4\) युग्म होने चाहिए। / In \(A\times B\), (1,2) from (A) come first and (3,4) from (B) come second. The full list should have \(2\times 2=4\) pairs.
दूसरा घटक दूसरे समुच्चय ({3}) से आता है, इसलिए (y=3)। घटक की स्थिति देखकर उत्तर निकालें। / The second component comes from the second set ({3}), so (y=3). Use the position of the component to find the answer.
पहला घटक पहले समुच्चय ({4,5}) से आता है, इसलिए (x) (4) या (5) हो सकता है। पहले और दूसरे घटक को न मिलाएं। / The first component comes from the first set ({4,5}), so (x) can be (4) or (5). Do not mix the first and second components.
पहला घटक (1) तय होने पर दूसरा घटक (B) के (3) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। निश्चित पहले घटक के साथ युग्मों की संख्या (n(B)) होती है। / When the first component (1) is fixed, the second component can be any of the (3) elements of (B). With a fixed first component, the number of pairs is (n(B)).
(n(Y)=3) और (n(X)=2), इसलिए (n\(Y\times X\)=3\times 2=6)। नाम बदलने पर भी वही गुणा नियम लागू होता है। / (n(Y)=3) and (n(X)=2), so (n\(Y\times X\)=3\times 2=6). The same multiplication rule applies even when set names change.
(A) का (a) पहले स्थान पर रहेगा और (B) के दोनों तत्व दूसरे स्थान पर आएंगे। अक्षरों वाले प्रश्नों में भी नियम वही रहता है। / The element (a) of (A) stays in the first position and both elements of (B) come in the second position. The same rule works for letter elements too.
\(8=n(A)\times 2\), इसलिए (n(A)=4)। अज्ञात संख्या के लिए कुल युग्मों को ज्ञात संख्या से भाग दें। / \(8=n(A)\times 2\), so (n(A)=4). For an unknown count, divide the total pairs by the known count.
A. \((a,b)\in A\times B\Rightarrow a\in A,\ b\in B\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन की मूल शर्त है कि पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से हो। इस कथन को परिभाषा की तरह याद रखें। / The basic condition of Cartesian product is that the first component is from (A) and the second from (B). Remember this statement like a definition.
दूसरा घटक (4) तय होने पर पहला घटक (A) के (3) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। निश्चित दूसरे घटक के साथ संख्या (n(A)) होती है। / When the second component (4) is fixed, the first component can be any of the (3) elements of (A). With a fixed second component, the count is (n(A)).
पहला घटक (2) तय है और दूसरा घटक (B) के (2) तत्वों में से चुना जाएगा। इसलिए ऐसे (2) युग्म होंगे। / The first component (2) is fixed and the second component is chosen from the (2) elements of (B). Therefore, there are (2) such pairs.
B. नहीं, क्योंकि \(3\notin A\)/No, because \(3\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
((3,1)) का पहला घटक (3) है, लेकिन \(3\notin A\)। दूसरे घटक के सही होने से पूरा युग्म सही नहीं हो जाता। / The first component of ((3,1)) is (3), but \(3\notin A\). A correct second component alone does not make the whole pair correct.
A. \(A\times B={(0,1)}\) और \(B\times A={(1,0)}\)/\(A\times B={(0,1)}\) and \(B\times A={(1,0)}\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में (0) पहले और (1) दूसरे स्थान पर है, जबकि \(B\times A\) में क्रम उल्टा है। एक-एक तत्व होने पर भी क्रम महत्वपूर्ण रहता है। / In \(A\times B\), (0) is first and (1) is second, while in \(B\times A\) the order is reversed. Order remains important even with one element in each set.
तीन समुच्चयों के गुणन में संख्या (n(A)n(B)n(C)) होती है, इसलिए \(2\times 1\times 2=4\)। यह क्रमित त्रिकों की गिनती है। / For the product of three sets, the count is (n(A)n(B)n(C)), so \(2\times 1\times 2=4\). This counts ordered triples.
(A) में (2) और (B) में (2) तत्व हैं, इसलिए \(2\times 2=4\) विकल्प बनते हैं। वास्तविक जीवन के चुनाव भी कार्तीय गुणन से गिने जा सकते हैं। / (A) has (2) elements and (B) has (2) elements, so \(2\times 2=4\) options are formed. Real-life choices can also be counted by Cartesian product.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)=3\times 2=6), इसलिए कुल (6) बिंदु मिलेंगे। कार्तीय गुणन को निर्देशांक बिंदुओं की तरह भी समझ सकते हैं। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)=3\times 2=6), so there are (6) points. Cartesian product can also be understood as coordinate points.
