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\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से आता है। सूची बनाते समय हर पहले तत्व को (B) के हर तत्व से मिलाएं। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). While listing, pair each first-set element with every element of (B).
(n\(P\times Q\)=n(P)n(Q)=3\times 1=3)। गिनती वाले प्रश्न में तत्वों की संख्या गुणा करें। / (n\(P\times Q\)=n(P)n(Q)=3\times 1=3). In counting questions, multiply the number of elements.
(A) का एकमात्र तत्व (7) पहले स्थान पर रहेगा। दूसरे स्थान पर (B) के सभी तत्व क्रम से आएंगे। / The only element (7) of (A) stays in the first position. All elements of (B) come in the second position one by one.
((3,1)) में पहला घटक (3) है, लेकिन \(3\notin X\)। सदस्यता जांचते समय पहला और दूसरा स्थान अलग-अलग देखें। / In ((3,1)), the first component is (3), but \(3\notin X\). Check the first and second positions separately for membership.
\(A\times B\) में पहला घटक हमेशा पहले समुच्चय (A) से होता है। यही कार्तीय गुणन की मूल पहचान है। / In \(A\times B\), the first component always comes from the first set (A). This is the basic identity of Cartesian product.
दूसरे घटक के लिए (S) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई युग्म नहीं बनेगा। खाली समुच्चय के साथ गुणन हमेशा खाली देता है। / There is no element in (S) for the second component, so no pair is formed. Product with an empty set gives the empty set.
\(B\times A\) में पहला घटक (B) से (c) और दूसरा घटक (A) से (a) या (b) होगा। उल्टा क्रम अलग उत्तर देता है। / In \(B\times A\), the first component is (c) from (B), and the second is (a) or (b) from (A). Reversed order gives a different answer.
परिभाषा के अनुसार \(A\times B={(x,y):x\in A,\ y\in B}\)। सेट-बिल्डर रूप में भी घटकों का क्रम न बदलें। / By definition, \(A\times B={(x,y):x\in A,\ y\in B}\). Do not change the order of components in set-builder form.
क्रमित युग्मों की समानता में संबंधित घटक बराबर होते हैं। इसलिए (m=4) और (n=8)। / In equality of ordered pairs, corresponding components are equal. Hence (m=4) and (n=8).
(A) में (2) और (B) में (3) तत्व हैं, इसलिए \(2\times 3=6\)। पहले तत्व गिनें फिर गुणा करें। / (A) has (2) elements and (B) has (3) elements, so \(2\times 3=6\). Count the elements first and then multiply.
A. (A=B) और \(A\times B=A\times A\)/(A=B) and \(A\times B=A\times A\)
Explanation
Simple Explanation
समुच्चय में तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए (A=B)। इसी कारण \(A\times B=A\times A\) होगा। / Order of elements in a set is not important, so (A=B). Therefore, \(A\times B=A\times A\).
((4,3)) में \(4\in A\) और \(3\in B\), इसलिए यह सही है। केवल तत्व मौजूद होना काफी नहीं, सही स्थान भी जरूरी है। / In ((4,3)), \(4\in A\) and \(3\in B\), so it is correct. Having the elements present is not enough; their positions must be correct.
\(15=5\times n(B)\), इसलिए (n(B)=3)। अज्ञात संख्या निकालने के लिए कुल युग्मों को ज्ञात संख्या से भाग दें। / \(15=5\times n(B)\), so (n(B)=3). To find the unknown count, divide the total pairs by the known count.
पहले घटक के लिए (A) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई युग्म नहीं बनेगा। संख्या पूछी गई है, इसलिए उत्तर (0) है। / There is no element in (A) for the first component, so no pair is formed. Since the number is asked, the answer is (0).
((2,1)) के दोनों घटक (A) से हैं, इसलिए यह \(A\times A\) में है। \(A\times A\) में दोनों स्थानों पर (A) के तत्व आते हैं। / Both components of ((2,1)) are from (A), so it is in \(A\times A\). In \(A\times A\), both positions use elements of (A).
(n(A)=4), इसलिए (n\(A\times A\)=4\times 4=16)। समान समुच्चय होने पर भी संख्या वर्ग की तरह आती है। / (n(A)=4), so (n\(A\times A\)=4\times 4=16). With the same set, the count behaves like a square.
यदि (B) खाली नहीं है और गुणन फिर भी खाली है, तो (A) खाली होना चाहिए। कार्तीय गुणन खाली होने पर कम से कम एक समुच्चय खाली होता है। / If (B) is not empty and the product is still empty, then (A) must be empty. If a Cartesian product is empty, at least one set is empty.
पहला घटक पहले समुच्चय ({6}) से आता है, इसलिए (x=6)। घटक की स्थिति से मान तुरंत मिल जाता है। / The first component comes from the first set ({6}), so (x=6). The position of the component quickly gives the value.
दूसरा घटक दूसरे समुच्चय ({5}) से आता है, इसलिए (y=5)। दूसरे स्थान को दूसरे समुच्चय से मिलाएं। / The second component comes from the second set ({5}), so (y=5). Match the second position with the second set.
पहला घटक (3) निश्चित है और दूसरा घटक (B) के (2) तत्वों में से चुना जाएगा। ऐसे युग्मों की संख्या (n(B)) होती है। / The first component (3) is fixed and the second component is chosen from the (2) elements of (B). The number of such pairs is (n(B)).
दूसरा घटक (3) निश्चित है और पहला घटक (A) के (2) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। ऐसे प्रश्नों में निश्चित घटक को अलग रखें। / The second component (3) is fixed and the first component can be any of the (2) elements of (A). In such questions, keep the fixed component separate.
A. दोनों की संख्या बराबर है पर युग्मों का क्रम अलग है/Both have equal count but the order of pairs is different
Explanation
Simple Explanation
दोनों में \(2\times 2=4\) युग्म होंगे, पर घटकों का क्रम अलग होगा। संख्या बराबर होने से समुच्चय समान होना जरूरी नहीं है। / Both have \(2\times 2=4\) pairs, but the order of components differs. Equal count does not mean the sets are necessarily equal.
A. ((p,q)=(r,s)\Rightarrow p=r) और (q=s)/((p,q)=(r,s)\Rightarrow p=r) and (q=s)
Explanation
Simple Explanation
क्रमित युग्मों की समानता में समान स्थानों के घटक बराबर होते हैं। यह नियम चर वाले प्रश्नों में सबसे उपयोगी है। / In equality of ordered pairs, components in the same positions are equal. This rule is very useful in variable-based questions.
A. हां, क्योंकि \(2\in A\) और \(2\in B\)/Yes, because \(2\in A\) and \(2\in B\)
Explanation
Simple Explanation
((2,2)) सही है क्योंकि पहला (2) (A) में और दूसरा (2) (B) में है। घटक समान हो सकते हैं, बस उनकी सदस्यता सही होनी चाहिए। / ((2,2)) is correct because the first (2) is in (A) and the second (2) is in (B). Components may be equal as long as membership is correct.
तीन समुच्चयों के गुणन में कुल संख्या (n(A)n(B)n(C)) होती है। इसलिए \(2\times 1\times 3=6\)। / For the product of three sets, the total count is (n(A)n(B)n(C)). Therefore, \(2\times 1\times 3=6\).
((2,1)) में पहला घटक (2) है, लेकिन \(2\notin A\)। गलत युग्म में अक्सर स्थान उल्टा होता है। / In ((2,1)), the first component is (2), but \(2\notin A\). In wrong pairs, the position is often reversed.
दूसरे घटक में (A) के तत्व (B) में भी हैं, इसलिए \(C\times A\subset C\times B\)। उपसमुच्चय के साथ संबंधित घटक की स्थिति देखें। / Elements of (A) in the second component are also in (B), so \(C\times A\subset C\times B\). With subsets, check the position of the related component.
A. \(A\times B={(1,2)}\) और \(B\times A={(2,1)}\)/\(A\times B={(1,2)}\) and \(B\times A={(2,1)}\)
Explanation
Simple Explanation
पहले गुणन में (1) पहले स्थान पर है और दूसरे में (2) पहले स्थान पर है। एक-एक तत्व होने पर भी क्रम महत्वपूर्ण रहता है। / In the first product, (1) is in the first position, and in the second, (2) is in the first position. Order matters even with one element each.
हर क्रमित युग्म एक बिंदु की तरह माना जा सकता है और कुल \(3\times 2=6\) युग्म हैं। निर्देशांक वाले प्रश्नों में भी वही गुणा नियम लागू होता है। / Each ordered pair can be treated like a point, and there are \(3\times 2=6\) pairs. The same multiplication rule applies in coordinate questions.
रंगों की संख्या (2) और आकारों की संख्या (3) है, इसलिए \(2\times 3=6\) चुनाव बनेंगे। वास्तविक जीवन के संयोजन कार्तीय गुणन से गिने जाते हैं। / There are (2) colors and (3) sizes, so \(2\times 3=6\) choices are formed. Real-life combinations are counted using Cartesian product.
(n\(B\times A\)=n(B)n(A)=1\times 3=3)। क्रम बदलने से संख्या नहीं बदलती, पर युग्मों का क्रम बदलता है। / (n\(B\times A\)=n(B)n(A)=1\times 3=3). Reversing order does not change the count, but it changes the order of pairs.
पहला घटक (3) स्थिर है और दूसरा घटक (B) से (4) या (5) होगा। निश्चित पहले घटक पर केवल दूसरे समुच्चय के तत्व बदलते हैं। / The first component (3) is fixed, and the second component is (4) or (5) from (B). With a fixed first component, only elements of the second set vary.
दूसरा घटक (2) स्थिर है और पहला घटक (A) से (5) या (7) होगा। ऐसे युग्मों में पहला स्थान ही बदलता है। / The second component (2) is fixed, and the first component is (5) or (7) from (A). In such pairs, only the first position changes.
\(A\times B\) में \(2\times 2=4\) तत्व होंगे और वे क्रमित युग्म होंगे। उत्तर में युग्मों का रूप न भूलें। / \(A\times B\) has \(2\times 2=4\) elements, and they are ordered pairs. Do not forget the pair form in the answer.
A. क्योंकि \(2\in A\) और \(4\in B\)/Because \(2\in A\) and \(4\in B\)
Explanation
Simple Explanation
((2,4)) में पहला घटक (2) (A) से और दूसरा घटक (4) (B) से है। यही सदस्यता की सही जांच है। / In ((2,4)), the first component (2) is from (A) and the second component (4) is from (B). This is the correct membership check.
\(A=\{1,2\}\) और (B) में (2) तत्व हैं, इसलिए \(2\times 2=4\)। पहले सेट-बिल्डर रूप को सूची में बदलें। / \(A=\{1,2\}\) and (B) has (2) elements, so \(2\times 2=4\). First convert set-builder form into a list.
समान घटक वाले युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं। ऐसे प्रश्न में पूरी संख्या (9) नहीं, केवल मांगी गई शर्त गिनें। / The equal-component pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)). In such questions, do not count all (9) pairs; count only the required condition.
(A) के तत्व पहले स्थान पर और (B) का (1) दूसरे स्थान पर आएगा। ऋणात्मक तत्व भी सामान्य तत्व की तरह प्रयोग होता है। / Elements of (A) come in the first position and (1) from (B) comes in the second position. A negative element is used like any ordinary element.
पहला घटक (सोम) (A) से और दूसरा घटक (शाम) (B) से है। इसलिए युग्म \(A\times B\) में आता है। / The first component (Mon) is from (A) and the second component (evening\() is from (B). Therefore, the pair belongs to (A\times B).\)
दूसरा घटक (4) तय है और पहला घटक (A) के (1) या (2) से आएगा। दूसरे घटक की शर्त में पहला समुच्चय बदलता है। / The second component (4) is fixed and the first component comes from (1) or (2) in (A). With a second-component condition, the first set varies.
पहला घटक (A) से (3) या (4) और दूसरा घटक (B) से (5) होगा। कार्तीय गुणन को संघ न समझें। / The first component is (3) or (4) from (A), and the second component is (5) from (B). Do not confuse Cartesian product with union.
(A) का सबसे छोटा तत्व (1) है और उसके साथ (B) के (3) तत्व जुड़ेंगे। निश्चित पहले घटक के लिए उत्तर (n(B)) होता है। / The smallest element of (A) is (1), and it pairs with the (3) elements of (B). For a fixed first component, the answer is (n(B)).
(B) का सबसे बड़ा तत्व (2) है और उसके साथ (A) के (3) तत्व पहले घटक बन सकते हैं। निश्चित दूसरे घटक के लिए उत्तर (n(A)) होता है। / The largest element of (B) is (2), and the (3) elements of (A) can be first components with it. For a fixed second component, the answer is (n(A)).
ऐसे युग्म ((1,3)) और ((2,2)) हैं, दोनों का योग (4) है। शर्त वाले प्रश्न में पहले सभी संभव युग्म सोचें। / The pairs are ((1,3)) and ((2,2)), and both have sum (4). In condition-based questions, first think of all possible pairs.
(A) के तत्व विषम और (B) के तत्व सम हैं, इसलिए हर योग विषम होगा। कुल युग्म \(2\times 2=4\) हैं। / Elements of (A) are odd and elements of (B) are even, so every sum is odd. The total number of pairs is \(2\times 2=4\).
पहला घटक हमेशा सम है, इसलिए हर युग्म का गुणनफल सम होगा। कुल \(2\times 2=4\) युग्म हैं। / The first component is always even, so the product in every pair is even. There are \(2\times 2=4\) pairs in total.
ऐसे युग्म ((2,1),(3,1),(3,2)) हैं। तुलना वाले प्रश्न में \(A\times B\) का क्रम न बदलें। / The pairs are ((2,1),(3,1),(3,2)). In comparison questions, do not reverse the order of \(A\times B\).
समान घटक वाले युग्म ((1,1)) और ((2,2)) हैं। ऐसे प्रश्न में दोनों समुच्चयों के साझा तत्व काम आते हैं। / The equal-component pairs are ((1,1)) and ((2,2)). In such questions, common elements of both sets are useful.
ऐसे युग्म ((1,2)) और ((2,3)) हैं, जिनमें दूसरे घटक और पहले घटक का अंतर (1) है। शर्त वाले प्रश्न में पहले संभव युग्म बनाकर जांचें। / The pairs are ((1,2)) and ((2,3)), where the difference between the second and first component is (1). In condition-based questions, first list possible pairs and then check.
