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A. प्रारंभिक भुजा (x)-अक्ष पर हो/Initial side lies on (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
सामान्य स्थिति में प्रारंभिक भुजा धनात्मक (x)-अक्ष पर होती है। परीक्षा में प्रारंभिक और अंतिम भुजा अलग पहचानें। / In standard position the initial side lies on the positive (x)-axis. In exams identify the initial and terminal sides separately.
मानक परंपरा में प्रारंभिक भुजा से वामावर्त घूर्णन को धनात्मक माना जाता है, इसलिए बना कोण धनात्मक कोण होता है। दक्षिणावर्त घूर्णन ऋणात्मक कोण दर्शाता है; यह निकटतम भ्रमकारी विकल्प है। परीक्षा टिप: कोण का चिन्ह तय करने से पहले घूर्णन की दिशा अवश्य देखें। / By the standard convention, rotation anticlockwise from the initial arm is taken as positive, so the angle formed is a positive angle. Clockwise rotation represents a negative angle, which is the closest distractor. Exam tip: check the direction of rotation before deciding the sign of an angle.
दक्षिणावर्त घूर्णन ऋणात्मक कोण देता है। आसान प्रश्नों में दिशा सबसे महत्वपूर्ण संकेत होती है। / Clockwise rotation gives a negative angle. In easy questions direction is the main clue.
एक पूरा चक्कर किसी बिंदु के चारों ओर घूमकर प्रारम्भिक स्थिति में वापस आने को कहते हैं, और इसका कोण 360° होता है। 180° आधा चक्कर तथा 90° चौथाई चक्कर दर्शाता है। परीक्षा टिप: चक्करों को डिग्री में बदलने के लिए चक्करों की संख्या को 360° से गुणा करें। / One complete revolution means returning to the starting position after turning once around a point, so its measure is 360°. In contrast, 180° represents a half revolution and 90° represents a quarter revolution. Exam tip: To convert revolutions into degrees, multiply the number of revolutions by 360°.
एक पूरा चक्कर 360° का होता है। इसलिए आधा चक्कर = \(\frac{360°}{2}=180°\) होगा। 90° एक चौथाई चक्कर होता है, जबकि 360° पूरा चक्कर है। परीक्षा टिप: चक्कर के भिन्न को 360° से गुणा करके कोण ज्ञात करें। / One complete revolution measures 360°. Therefore, half a revolution is \(\frac{360°}{2}=180°\). In contrast, 90° is a quarter revolution, while 360° is a full revolution. Exam tip: Multiply the fraction of a revolution by 360° to find the angle.
एक चौथाई चक्कर \(360^\circ \div 4=90^\circ\) होता है। भाग देकर ऐसे प्रश्न जल्दी हल करें। / A quarter revolution is \(360^\circ \div 4=90^\circ\). Use division to solve such questions quickly.
मूल संबंध \(180^\circ=\pi\) रेडियन है। डिग्री से रेडियन में बदलते समय इसी को आधार बनाएं। / The basic relation is \(180^\circ=\pi\) radians. Use it as the base for degree to radian conversion.
क्योंकि \(180^\circ=\pi\) है इसलिए \(360^\circ=2\pi\) होता है। दुगुने कोण में रेडियन भी दुगुना होता है। / Since \(180^\circ=\pi\), \(360^\circ=2\pi\). When the angle doubles the radian measure also doubles.
\(90^\circ\), \(180^\circ\) का आधा है इसलिए रेडियन \(\frac{\pi}{2}\) होगा। आधे कोण में रेडियन भी आधा होता है। / \(90^\circ\) is half of \(180^\circ\), so its radian measure is \(\frac{\pi}{2}\). Half the angle means half the radian measure.
\(45^\circ\), \(180^\circ\) का \(\frac{1}{4}\) भाग है इसलिए \(\frac{\pi}{4}\) रेडियन होगा। अनुपात विधि आसान रहती है। / \(45^\circ\) is \(\frac{1}{4}\) of \(180^\circ\), so it is \(\frac{\pi}{4}\) radians. The ratio method is simple.
\(30^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{6}\) होता है। डिग्री से रेडियन में \(\frac{\pi}{180^\circ}\) से गुणा करें। / \(30^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{6}\). Multiply by \(\frac{\pi}{180^\circ}\) to convert degrees to radians.
द्वितीय चतुर्थांश में कोण \(90^\circ\) से बड़ा और \(180^\circ\) से छोटा होता है। \(120^\circ\) इस सीमा में है। \(210^\circ\), \(180^\circ\) से अधिक होने के कारण तृतीय चतुर्थांश में है। परीक्षा टिप: पहले \(90^\circ,180^\circ,270^\circ\) की सीमाएँ याद रखें। / An angle in the second quadrant is greater than \(90^\circ\) and less than \(180^\circ\). Since \(120^\circ\) lies in this interval, it is correct. \(210^\circ\) is in the third quadrant. Exam tip: remember the quadrant boundaries \(90^\circ,180^\circ,270^\circ\).
\(120^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{2\pi}{3}\) होता है। पहले भिन्न को घटाएं फिर उत्तर लिखें। / \(120^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{2\pi}{3}\). Reduce the fraction before writing the answer.
\(150^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}\) होता है। (150) और (180) को (30) से सरल करें। / \(150^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}\). Simplify (150) and (180) by (30).
\(\frac{\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi}=60^\circ\) होता है। रेडियन से डिग्री में \(\frac{180^\circ}{\pi}\) से गुणा करें। / \(\frac{\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi}=60^\circ\). Multiply by \(\frac{180^\circ}{\pi}\) to convert radians to degrees.
\(\frac{\pi}{6}\) को \(180^\circ\) से गुणा करने पर \(30^\circ\) मिलता है। \(\pi\) कट जाता है। / Multiplying \(\frac{\pi}{6}\) by \(180^\circ\) gives \(30^\circ\). The \(\pi\) cancels out.
क्योंकि \(\pi\) रेडियन = \(180^\circ\), इसलिए \(\frac{\pi}{2}\) रेडियन = \(\frac{180^\circ}{2}=90^\circ\)। अतः यह समकोण तथा एक पूर्ण चक्कर का चौथाई भाग है। \(45^\circ\) के लिए रेडियन माप \(\frac{\pi}{4}\) होता है। परीक्षा टिप: रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए \(\frac{180^\circ}{\pi}\) से गुणा करें। / Since \(\pi\) radians = \(180^\circ\), \(\frac{\pi}{2}\) radians = \(\frac{180^\circ}{2}=90^\circ\). Thus, it is a right angle and one-quarter of a complete revolution. \(45^\circ\) corresponds to \(\frac{\pi}{4}\) radians. Exam tip: multiply radians by \(\frac{180^\circ}{\pi}\) to convert them into degrees.
\(\frac{3\pi}{2}\times\frac{180^\circ}{\pi}=270^\circ\) होता है। ऊपर का (3) अंतिम मान को तीन गुना करता है। / \(\frac{3\pi}{2}\times\frac{180^\circ}{\pi}=270^\circ\). The numerator (3) makes the final value three times \(90^\circ\).
\(270^\circ=\frac{270\pi}{180}=\frac{3\pi}{2}\) होता है। \(90^\circ\) को \(\frac{\pi}{2}\) मानकर भी सोच सकते हैं। / \(270^\circ=\frac{270\pi}{180}=\frac{3\pi}{2}\). You can also think of \(90^\circ\) as \(\frac{\pi}{2}\).
सह-अंतिम कोणों में अंतर \(360^\circ\) के पूर्णांक गुणज का होता है। अंतिम भुजा समान हो तो यह नियम लगाएं। / The difference between coterminal angles is an integral multiple of \(360^\circ\). Use this rule when the terminal side is the same.
सह-अंतिम कोणों का प्रारम्भिक और अंतिम भुजा समान होती है तथा उनके अंतर का मान \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(30^\circ+360^\circ=390^\circ\), इसलिए \(390^\circ\), \(30^\circ\) का धनात्मक सह-अंतिम कोण है। \(300^\circ\) का अंतर \(270^\circ\) है, जो \(360^\circ\) का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: सह-अंतिम कोण के लिए \(\theta+360^\circ n\) का प्रयोग करें, जहाँ \(n\) पूर्णांक है। / Coterminal angles have the same initial and terminal sides, so their difference is an integral multiple of \(360^\circ\). Since \(30^\circ+360^\circ=390^\circ\), \(390^\circ\) is a positive coterminal angle of \(30^\circ\). The difference between \(300^\circ\) and \(30^\circ\) is \(270^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: use \(\theta+360^\circ n\), where \(n\) is an integer, to find coterminal angles.
सह-अंतिम कोणों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(45^\circ-360^\circ=-315^\circ\), इसलिए \(-315^\circ\), \(45^\circ\) का ऋणात्मक सह-अंतिम कोण है। \(-45^\circ\) का अंतर \(90^\circ\) है, इसलिए वह सह-अंतिम नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक सह-अंतिम कोण पाने के लिए दिए गए कोण में से \(360^\circ\) घटाइए। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Since \(45^\circ-360^\circ=-315^\circ\), \(-315^\circ\) is a negative coterminal angle of \(45^\circ\). The angle \(-45^\circ\) differs from \(45^\circ\) by \(90^\circ\), so it is not coterminal. Exam tip: subtract \(360^\circ\) from a given angle to obtain a negative coterminal angle.
\(400^\circ-360^\circ=40^\circ\) होता है। बड़े कोण को \(360^\circ\) से घटाकर मुख्य कोण पाएं। / \(400^\circ-360^\circ=40^\circ\). Subtract \(360^\circ\) from a large angle to get the principal angle.
सह-अंतिम कोण पाने के लिए कोण में 360° के पूर्ण गुणज जोड़े या घटाए जाते हैं। यहाँ \((-30^\circ+360^\circ)=330^\circ\) है, जो 0° और 360° के बीच है। 300° निकट का विकल्प है, लेकिन वह \(-30^\circ\) से 330° का अंतर रखता है, जो 360° का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण को 0° से 360° के दायरे में लाने के लिए पहले 360° जोड़ें। / Coterminal angles differ by an integral multiple of 360°. Here, \((-30^\circ+360^\circ)=330^\circ\), which lies between 0° and 360°. Although 300° is a nearby distractor, its difference from \(-30^\circ\) is 330°, not a multiple of 360°. Exam tip: To convert a negative angle into the 0° to 360° range, first add 360°.
\(720^\circ \div 360^\circ=2\) पूरे चक्कर होते हैं। चक्कर गिनने के लिए \(360^\circ\) से भाग दें। / \(720^\circ \div 360^\circ=2\) complete revolutions. Divide by \(360^\circ\) to count revolutions.
एक आधा चक्कर \(180^\circ\) होता है और \(540^\circ\div180^\circ=3\) है। आधे चक्कर के लिए \(180^\circ\) से भाग दें। / One half revolution is \(180^\circ\), and \(540^\circ\div180^\circ=3\). Divide by \(180^\circ\) for half revolutions.
कोणीय माप में 1 डिग्री को 60 बराबर भागों में बाँटा जाता है और प्रत्येक भाग 1 मिनट कहलाता है। इसलिए \(1^\circ=60'\) होता है। 30' आधे डिग्री के बराबर होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री-मिनट-सेकंड में \(1^\circ=60'\) और \(1'=60''\) याद रखें। / In angular measurement, one degree is divided into 60 equal parts, and each part is called one minute. Therefore, \(1^\circ=60'\). Since \(30'\) equals half a degree, it is not correct. Exam tip: remember \(1^\circ=60'\) and \(1'=60''\) for degree-minute-second conversions.
\(315^\circ\), \(270^\circ\) और \(360^\circ\) के बीच है, इसलिए इसका प्रारंभिक भुजा से बना कोण चतुर्थ चतुर्थांश में होता है। \(225^\circ\) तृतीय चतुर्थांश में है। परीक्षा टिप: कोण को \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच रखकर चतुर्थांश पहचानें। / \(315^\circ\) lies between \(270^\circ\) and \(360^\circ\), so its terminal side is in the fourth quadrant. \(225^\circ\) lies in the third quadrant. Exam tip: place an angle between \(0^\circ\) and \(360^\circ\) before identifying its quadrant.
\(60'=1^\circ\) इसलिए \(30'=\frac{1}{2}^\circ\) होता है। मिनट को डिग्री में बदलने के लिए (60) से भाग दें। / Since \(60'=1^\circ\), \(30'=\frac{1}{2}^\circ\). Divide minutes by (60) to convert into degrees.
क्योंकि \(1'=60''\), इसलिए \(90''\) को मिनटों में बदलने के लिए 60 से भाग देते हैं: \(90''\div 60=\frac{3}{2}'\)। अतः सही उत्तर \(\frac{3}{2}'\) है। \(\frac{1}{2}'\) केवल \(30''\) के बराबर होता है। परीक्षा टिप: सेकंड से मिनट में बदलने के लिए 60 से भाग करें। / Since \(1'=60''\), convert \(90''\) into minutes by dividing by 60: \(90''\div 60=\frac{3}{2}'\). Therefore, \(\frac{3}{2}'\) is correct. Note that \(\frac{1}{2}'\) equals only \(30''\). Exam tip: divide by 60 when converting seconds to minutes.
\(15^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{12}\) होता है। (15) और (180) को (15) से सरल करें। / \(15^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{12}\). Simplify (15) and (180) by (15).
सह-अंत कोणों की प्रारम्भिक और अंतिम भुजा समान होती है; उनके मापों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(405^\circ-45^\circ=360^\circ\), इसलिए C सही है। परीक्षा में अंतर जाँचें। / Coterminal angles have the same initial and terminal sides, so their measures differ by a multiple of \(360^\circ\). Since \(405^\circ-45^\circ=360^\circ\), option C is correct. Exam tip: check the difference first.
\(225^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{4}\) होता है। \(45^\circ=\frac{\pi}{4}\) याद रखने से भी उत्तर मिलता है। / \(225^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{4}\). Remembering \(45^\circ=\frac{\pi}{4}\) also helps.
\(\frac{5\pi}{6}\times\frac{180^\circ}{\pi}=150^\circ\) होता है। पहले \(\pi\) को काटें फिर गुणा करें। / \(\frac{5\pi}{6}\times\frac{180^\circ}{\pi}=150^\circ\). Cancel \(\pi\) first and then multiply.
\(\frac{7\pi}{6}\times\frac{180^\circ}{\pi}=210^\circ\) होता है। \(\frac{\pi}{6}=30^\circ\) का उपयोग करें। / \(\frac{7\pi}{6}\times\frac{180^\circ}{\pi}=210^\circ\). Use \(\frac{\pi}{6}=30^\circ\).
\(\frac{4\pi}{3}\times\frac{180^\circ}{\pi}=240^\circ\) होता है। \(\frac{\pi}{3}=60^\circ\) इसलिए चार गुना \(240^\circ\) है। / \(\frac{4\pi}{3}\times\frac{180^\circ}{\pi}=240^\circ\). Since \(\frac{\pi}{3}=60^\circ\), four times it is \(240^\circ\).
\(210^\circ\), \(180^\circ\) और \(270^\circ\) के बीच है इसलिए तीसरे चतुर्थांश में है। सीमा कोणों को याद रखें। / \(210^\circ\) lies between \(180^\circ\) and \(270^\circ\), so it is in the third quadrant. Remember the boundary angles.
\(315^\circ\), \(270^\circ\) और \(360^\circ\) के बीच है इसलिए चौथे चतुर्थांश में है। कोण की स्थिति सीमा से तय करें। / \(315^\circ\) lies between \(270^\circ\) and \(360^\circ\), so it is in the fourth quadrant. Decide the position using boundaries.
\(100^\circ\), \(90^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच है इसलिए दूसरे चतुर्थांश में है। \(90^\circ\) से आगे और \(180^\circ\) से पहले दूसरा चतुर्थांश होता है। / \(100^\circ\) lies between \(90^\circ\) and \(180^\circ\), so it is in the second quadrant. After \(90^\circ\) and before \(180^\circ\) is the second quadrant.
\(70^\circ\), \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच है इसलिए पहले चतुर्थांश में है। छोटे धनात्मक कोण पहले चतुर्थांश में आते हैं। / \(70^\circ\) lies between \(0^\circ\) and \(90^\circ\), so it is in the first quadrant. Small positive angles lie in the first quadrant.
\(-120^\circ+360^\circ=240^\circ\) होता है। ऋणात्मक कोण को मुख्य दायरे में लाने के लिए \(360^\circ\) जोड़ें। / \(-120^\circ+360^\circ=240^\circ\). Add \(360^\circ\) to bring a negative angle into the principal range.
सह-अंतिम कोण पाने के लिए दिए गए कोण में से \(360^\circ\) के गुणज घटाते हैं। \(765^\circ-2\times360^\circ=765^\circ-720^\circ=45^\circ\)। इसलिए \(45^\circ\), \(765^\circ\) का \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच सह-अंतिम कोण है। \(35^\circ\) निकट विकल्प है, पर वह \(765^\circ\) से \(360^\circ\) के किसी पूर्ण गुणज का अंतर नहीं है। परीक्षा टिप: कोण को \(360^\circ\) से भाग देकर शेषफल लेने पर इसी परास का सह-अंतिम कोण मिलता है। / To find a coterminal angle, subtract multiples of \(360^\circ\) from the given angle. \(765^\circ-2\times360^\circ=765^\circ-720^\circ=45^\circ\). Hence, \(45^\circ\) is the coterminal angle of \(765^\circ\) between \(0^\circ\) and \(360^\circ\). Although \(35^\circ\) is a nearby option, it does not differ from \(765^\circ\) by a whole multiple of \(360^\circ\). Exam tip: reducing an angle modulo \(360^\circ\) gives its coterminal angle in this interval.
सह-अंतिम कोणों में अंतर 360^\circ का पूर्ण गुणज होता है। \((-450^\circ)+2(360^\circ)=270^\circ\), जो 0^\circ और 360^\circ के बीच है। 90^\circ प्राप्त करने के लिए केवल 540^\circ जोड़ना पड़ेगा, जो 360^\circ का पूर्ण गुणज नहीं है; इसलिए वह सह-अंतिम कोण नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण में 360^\circ बार-बार जोड़कर उसे दिए गए अंतराल में लाएँ। / Coterminal angles differ by an integral multiple of 360^\circ. \((-450^\circ)+2(360^\circ)=270^\circ\), and this lies between 0^\circ and 360^\circ. Obtaining 90^\circ would require adding 540^\circ, which is not a multiple of 360^\circ, so it is not coterminal with the given angle. Exam tip: For a negative angle, keep adding 360^\circ until it lies in the required interval.
\(\frac{\pi}{4}\times\frac{180^\circ}{\pi}=45^\circ\) होता है। \(\pi\) कटाने के बाद \(180\div4\) करें। / \(\frac{\pi}{4}\times\frac{180^\circ}{\pi}=45^\circ\). After canceling \(\pi\), calculate \(180\div4\).
सह-अंत कोणों की प्रारम्भिक और अंतिम भुजाएँ समान होती हैं तथा उनका अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। यहाँ \(390^\circ-30^\circ=360^\circ\) है। परीक्षा में कोणों का अंतर जाँचें। / Coterminal angles have the same initial and terminal sides, so their difference must be an integral multiple of \(360^\circ\). Here, \(390^\circ-30^\circ=360^\circ\). Exam tip: subtract the angles first.
A. जिसमें कोई घूर्णन न हो/The angle with no rotation
Explanation
Simple Explanation
जिस कोण में घूर्णन नहीं होता उसे शून्य कोण कहते हैं। परिभाषा आधारित प्रश्नों में मुख्य शब्द पहचानें। / An angle with no rotation is called a zero angle. In definition questions identify the key word.
सीधा कोण \(180^\circ\) का होता है। इसकी दोनों भुजाएँ विपरीत दिशाओं में एक ही सीधी रेखा बनाती हैं, इसलिए विकल्प B सही है। \(90^\circ\) समकोण होता है, सीधा कोण नहीं। परीक्षा टिप: कोणों के नाम याद रखें—समकोण \(90^\circ\), सीधा कोण \(180^\circ\), पूर्ण कोण \(360^\circ\)। / A straight angle measures \(180^\circ\). Its two arms extend in opposite directions and form a straight line, so option B is correct. \(90^\circ\) is a right angle, not a straight angle. Exam tip: remember that a right angle is \(90^\circ\), a straight angle is \(180^\circ\), and a complete angle is \(360^\circ\).
90° का कोण समकोण कहलाता है। दो परस्पर लंब रेखाओं के बीच बना कोण 90° होता है। 60° न्यूनकोण है, क्योंकि वह 90° से कम है। परीक्षा टिप: कोणों के प्रकार याद रखें—90° समकोण, 180° सरल कोण और 360° पूर्ण कोण होता है। / An angle measuring 90° is called a right angle. The angle formed between two perpendicular lines is 90°. In contrast, 60° is an acute angle because it is less than 90°. Exam tip: remember that 90° is a right angle, 180° is a straight angle, and 360° is a complete angle.
पूर्ण कोण वह कोण है जो एक पूर्ण घूर्णन के बराबर होता है। एक पूरा चक्कर \(360^\circ\) का होता है, इसलिए सही उत्तर \(360^\circ\) है। \(180^\circ\) को सरल कोण कहते हैं, पूर्ण कोण नहीं। परीक्षा टिप: कोणों के मान याद रखें—समकोण \(90^\circ\), सरल कोण \(180^\circ\) और पूर्ण कोण \(360^\circ\)। / A complete angle represents one full revolution. One complete turn measures \(360^\circ\), so \(360^\circ\) is correct. An angle of \(180^\circ\) is called a straight angle, not a complete angle. Exam tip: Remember that a right angle is \(90^\circ\), a straight angle is \(180^\circ\), and a complete angle is \(360^\circ\).
जब चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर होती है तब कोण (1) रेडियन होता है। रेडियन की मूल परिभाषा याद रखें। / When arc length equals radius the angle is (1) radian. Remember the basic definition of radian.
इस सूत्र में (s) चाप की लंबाई को दर्शाता है। प्रतीकों का अर्थ याद रखने से सूत्र सही लगता है। / In this formula (s) represents arc length. Knowing the symbols helps in applying the formula correctly.
इस सूत्र में (r) वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है। रेडियन वाले प्रश्नों में त्रिज्या और चाप अलग पहचानें। / In this formula (r) represents the radius of the circle. In radian questions distinguish radius and arc length.
रेडियन में कोण का सूत्र \(\theta=\frac{s}{r}\) है, जहाँ \(s\) चाप की लंबाई और \(r\) त्रिज्या है। अतः \(\theta=\frac{10}{5}=2\) रेडियन। \(1\) रेडियन तब होता जब चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर होती। परीक्षा टिप: इस सूत्र का प्रयोग करने से पहले \(s\) और \(r\) की इकाइयाँ समान होनी चाहिए। / For an angle measured in radians, \(\theta=\frac{s}{r}\), where \(s\) is the arc length and \(r\) is the radius. Thus, \(\theta=\frac{10}{5}=2\) radians. It would be \(1\) radian only if the arc length were equal to the radius. Exam tip: Ensure that \(s\) and \(r\) are in the same unit before applying the formula.
तृतीय चतुर्थांश के कोणों का मान 180° से अधिक और 270° से कम होता है। 210° इस सीमा में है, इसलिए इसकी अंतिम भुजा तृतीय चतुर्थांश में होगी। 315° चतुर्थ चतुर्थांश में है। परीक्षा टिप: कोण को 90° के अंतरालों से मिलाएँ। / Angles in the third quadrant are greater than 180° and less than 270°. Since 210° lies in this interval, its terminal side is in the third quadrant. In contrast, 315° lies in the fourth quadrant. Exam tip: compare the angle with 90° intervals.
रेडियन में मापे गए केंद्रीय कोण के लिए चाप की लंबाई का सूत्र \(s=r\theta\) है। अतः \(s=7\times4=28\) cm। विकल्प 14 cm केवल त्रिज्या का दोगुना है, जबकि चाप की लंबाई निकालने के लिए कोण \(\theta\) से गुणा करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(s=r\theta\) का प्रयोग तभी करें जब \(\theta\) रेडियन में हो। / For a central angle measured in radians, the arc-length formula is \(s=r\theta\). Thus, \(s=7\times4=28\) cm. The value 14 cm is only twice the radius; arc length must also be multiplied by the angle \(\theta\). Exam tip: use \(s=r\theta\) directly only when \(\theta\) is in radians.
\(r=\frac{s}{\theta}=\frac{16}{2}=8\) सेमी होता है। सूत्र को आवश्यक राशि के अनुसार बदलें। / \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{16}{2}=8\) cm. Rearrange the formula according to the required quantity.
डिग्री से रेडियन में बदलने के लिए \(\frac{\pi}{180^\circ}\) से गुणा करते हैं। दिशा उलटी हो तो गुणक भी उलटा होता है। / To convert degrees into radians multiply by \(\frac{\pi}{180^\circ}\). If conversion direction reverses the factor also reverses.
रेडियन से डिग्री में बदलने के लिए \(\frac{180^\circ}{\pi}\) से गुणा करते हैं। पहले \(\pi\) को काटकर गणना करें। / To convert radians into degrees multiply by \(\frac{180^\circ}{\pi}\). Cancel \(\pi\) first and then calculate.
द्वितीय चतुर्थांश के कोण \(90^\circ\) से अधिक और \(180^\circ\) से कम होते हैं। \(120^\circ\) इस सीमा में है। \(210^\circ\) तृतीय चतुर्थांश में आता है। परीक्षा टिप: चतुर्थांशों की सीमाएँ \(90^\circ\) के गुणजों से याद रखें। / Angles in the second quadrant are greater than \(90^\circ\) and less than \(180^\circ\). Since \(120^\circ\) lies in this interval, it is correct. \(210^\circ\) lies in the third quadrant. Exam tip: use multiples of \(90^\circ\) as quadrant boundaries.
\(105^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{7\pi}{12}\) होता है। अनुपात को सरल करना मुख्य चरण है। / \(105^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{7\pi}{12}\). Simplifying the ratio is the main step.
सह-अंतिम कोणों की प्रारम्भिक और अंतिम भुजाएँ समान होती हैं तथा उनका अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। यहाँ \(405^\circ-45^\circ=360^\circ\) है। परीक्षा में अंतर निकालकर \(360^\circ\) से जाँचें। / Coterminal angles have the same initial and terminal sides, and their difference is a whole multiple of \(360^\circ\). Here, \(405^\circ-45^\circ=360^\circ\). In exams, subtract the angles and check for a multiple of \(360^\circ\).
\(330^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{11\pi}{6}\) होता है। \(30^\circ=\frac{\pi}{6}\) से भी याद रख सकते हैं। / \(330^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{11\pi}{6}\). You can also remember it using \(30^\circ=\frac{\pi}{6}\).
\(\frac{11\pi}{6}\times\frac{180^\circ}{\pi}=330^\circ\) होता है। \(\pi\) कटने के बाद \(11\times30^\circ\) करें। / \(\frac{11\pi}{6}\times\frac{180^\circ}{\pi}=330^\circ\). After canceling \(\pi\), calculate \(11\times30^\circ\).
\(\frac{5\pi}{4}\times\frac{180^\circ}{\pi}=225^\circ\) होता है। \(\frac{\pi}{4}=45^\circ\) को (5) से गुणा करें। / \(\frac{5\pi}{4}\times\frac{180^\circ}{\pi}=225^\circ\). Multiply \(\frac{\pi}{4}=45^\circ\) by (5).
\(\frac{7\pi}{4}\times\frac{180^\circ}{\pi}=315^\circ\) होता है। \(45^\circ\) के गुणज जल्दी पहचानें। / \(\frac{7\pi}{4}\times\frac{180^\circ}{\pi}=315^\circ\). Recognize multiples of \(45^\circ\) quickly.
(1) रेडियन \(=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57.3^\circ\) होता है। अनुमान में \(\pi\approx3.14\) लें। / (1) radian \(=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57.3^\circ\). For approximation take \(\pi\approx3.14\).
\(1^\circ=\frac{\pi}{180}\approx0.01745\) रेडियन होता है। छोटे डिग्री कोण का रेडियन मान छोटा होता है। / \(1^\circ=\frac{\pi}{180}\approx0.01745\) radian. A small degree angle has a small radian value.
\(35^\circ\), \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच है इसलिए पहले चतुर्थांश में है। सीमा कोणों से चतुर्थांश पहचानें। / \(35^\circ\) lies between \(0^\circ\) and \(90^\circ\), so it is in the first quadrant. Identify quadrants using boundary angles.
\(145^\circ\), \(90^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच है इसलिए दूसरे चतुर्थांश में है। कोण की स्थिति पहले दायरा देखकर तय करें। / \(145^\circ\) lies between \(90^\circ\) and \(180^\circ\), so it is in the second quadrant. First check the range of the angle.
\(235^\circ\), \(180^\circ\) और \(270^\circ\) के बीच है इसलिए तीसरे चतुर्थांश में है। तीसरे चतुर्थांश की सीमा याद रखें। / \(235^\circ\) lies between \(180^\circ\) and \(270^\circ\), so it is in the third quadrant. Remember the range of the third quadrant.
\(320^\circ\), \(270^\circ\) और \(360^\circ\) के बीच है इसलिए चौथे चतुर्थांश में है। \(270^\circ\) के बाद चौथा चतुर्थांश आता है। / \(320^\circ\) lies between \(270^\circ\) and \(360^\circ\), so it is in the fourth quadrant. The fourth quadrant comes after \(270^\circ\).
\(180^\circ\) पर अंतिम भुजा ऋणात्मक (x)-अक्ष पर होती है। अक्षों पर स्थित कोण किसी चतुर्थांश में नहीं आते। / At \(180^\circ\), the terminal side lies on the negative (x)-axis. Angles on axes do not belong to any quadrant.
\(270^\circ\) पर अंतिम भुजा ऋणात्मक (y)-अक्ष पर होती है। अक्षीय कोणों को अलग से याद रखें। / At \(270^\circ\), the terminal side lies on the negative (y)-axis. Remember axial angles separately.
\(90^\circ\) पर अंतिम भुजा धनात्मक (y)-अक्ष पर होती है। सामान्य स्थिति में वामावर्त \(90^\circ\) ऊपर की ओर जाता है। / At \(90^\circ\), the terminal side lies on the positive (y)-axis. In standard position anticlockwise \(90^\circ\) goes upward.
\(0^\circ\) पर अंतिम भुजा प्रारंभिक भुजा के साथ धनात्मक (x)-अक्ष पर रहती है। शून्य कोण में कोई घूर्णन नहीं होता। / At \(0^\circ\), the terminal side stays with the initial side on the positive (x)-axis. A zero angle has no rotation.
\(-90^\circ\) दक्षिणावर्त घूर्णन है इसलिए अंतिम भुजा ऋणात्मक (y)-अक्ष पर होती है। ऋणात्मक चिन्ह दिशा बताता है। / \(-90^\circ\) is clockwise rotation so the terminal side lies on the negative (y)-axis. The negative sign shows direction.
1 डिग्री में 60 मिनट होते हैं। इसलिए \(25^\circ=25\times60'=1500'\) और शेष \(30'\) जोड़ने पर \(1500'+30'=1530'\) मिलता है। \(1500'\) केवल 25 डिग्री के मिनट हैं; उसमें दिए गए अतिरिक्त 30 मिनट शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: मिश्रित कोण को मिनट में बदलते समय डिग्री को 60 से गुणा करके मिनट जोड़ें। / There are 60 minutes in 1 degree. Thus, \(25^\circ=25\times60'=1500'\); adding the remaining \(30'\) gives \(1500'+30'=1530'\). \(1500'\) represents only 25 degrees and does not include the extra 30 minutes. Exam tip: To convert a mixed angle into minutes, multiply the degrees by 60 and then add the minutes.
\(45'=\frac{45}{60}^\circ=0.75^\circ\) इसलिए कुल \(12.75^\circ\) है। मिनट को (60) से भाग दें। / \(45'=\frac{45}{60}^\circ=0.75^\circ\), so the total is \(12.75^\circ\). Divide minutes by (60).
दशमलव भाग 0.5° को मिनट में बदलने के लिए 60 से गुणा करते हैं: \(0.5\times 60'=30'\)। अतः \(18.5^\circ=18^\circ 30'\)। विकल्प A में 15′, \(0.25^\circ\) के बराबर होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री के दशमलव भाग को मिनट में बदलने के लिए उसे हमेशा 60 से गुणा करें। / Convert the decimal part 0.5° into minutes by multiplying it by 60: \(0.5\times 60'=30'\). Therefore, \(18.5^\circ=18^\circ 30'\). Option A has 15′, which equals \(0.25^\circ\), so it is not correct. Exam tip: To convert the decimal part of a degree into minutes, always multiply it by 60.
\(2^\circ=7200''\), (20'=1200'') और कुल (8430'') होता है। यहाँ सही गणना में विकल्पों को ध्यान से जांचें। / \(2^\circ=7200''\), (20'=1200''), and the total is (8430''). Check the options carefully in such calculations.
एक डिग्री में \(3600''\) और एक मिनट में \(60''\) होते हैं। \(8430''=2\times3600''+1230''\), तथा \(1230''=20\times60''+30''\)। इसलिए कोण \(2^\circ\,20'\,30''\) है। विकल्प B में मिनट और सेकंड का क्रम बदल दिया गया है। परीक्षा टिप: पहले कुल सेकंड को \(3600\) से भाग देकर डिग्री ज्ञात करें, फिर शेष को \(60\) से भाग दें। / One degree equals \(3600''\), and one minute equals \(60''\). Here, \(8430''=2\times3600''+1230''\), and \(1230''=20\times60''+30''\). Therefore, the angle is \(2^\circ\,20'\,30''\). Option B incorrectly interchanges the minutes and seconds. Exam tip: first divide total seconds by \(3600\) for degrees, then divide the remainder by \(60\) for minutes.
दशमलव भाग \(0.25^\circ\) को मिनट में बदलने के लिए \(60\) से गुणा करते हैं: \(0.25\times 60=15'\)। अतः \(3.25^\circ=3^\circ 15'\) है। \(3^\circ 20'\) तब होता, जब दशमलव भाग \(\frac{1}{3}^\circ\) होता। परीक्षा टिप: डिग्री के दशमलव भाग को मिनट में बदलने के लिए हमेशा \(60\) से गुणा करें। / Convert the decimal part \(0.25^\circ\) into minutes by multiplying by \(60\): \(0.25\times 60=15'\). Therefore, \(3.25^\circ=3^\circ 15'\). The option \(3^\circ 20'\) would correspond to a decimal part of \(\frac{1}{3}^\circ\), not \(0.25^\circ\). Exam tip: multiply the decimal part of degrees by \(60\) to convert it into minutes.
\(18'=\frac{18}{60}^\circ=0.30^\circ\) इसलिए \(6^\circ18'=6.30^\circ\) है। मिनट को सीधे दशमलव न मानें। / \(18'=\frac{18}{60}^\circ=0.30^\circ\), so \(6^\circ18'=6.30^\circ\). Do not treat minutes directly as decimals.
\(370^\circ\) में से एक पूर्ण घूर्णन, अर्थात \(360^\circ\), घटाने पर \(370^\circ-360^\circ=10^\circ\) प्राप्त होता है। इसलिए दिया गया कोण \(10^\circ\) के समकोटि है और दिए गए अंतराल में इसका मुख्य कोण \(10^\circ\) है। \(20^\circ\) जैसे विकल्प के लिए शेषफल \(20^\circ\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: \(360^\circ\) से बड़े कोणों का मुख्य कोण पाने के लिए उन्हें \(360^\circ\) से भाग देकर शेषफल लें। / Subtract one complete revolution, \(360^\circ\), from \(370^\circ\): \(370^\circ-360^\circ=10^\circ\). Thus, \(370^\circ\) is coterminal with \(10^\circ\), so its principal angle in the given interval is \(10^\circ\). An option such as \(20^\circ\) would require a remainder of \(20^\circ\), which is not obtained here. Exam tip: For angles greater than \(360^\circ\), divide by \(360^\circ\) and use the remainder to find the principal angle.
मुख्य कोण ज्ञात करने के लिए दिए गए कोण में से \(360^\circ\) के पूर्ण गुणज घटाते हैं। \(725^\circ=2\times360^\circ+5^\circ\), इसलिए इसका मुख्य कोण \(5^\circ\) है। \(15^\circ\) प्राप्त करने के लिए \(710^\circ\) घटाना पड़ेगा, जो \(360^\circ\) का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: कोण को \(360^\circ\) से भाग देकर शेषफल लें। / To find the principal angle, subtract complete multiples of \(360^\circ\) from the given angle. Since \(725^\circ=2\times360^\circ+5^\circ\), its principal angle is \(5^\circ\). The angle \(15^\circ\) would result from subtracting \(710^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: divide the angle by \(360^\circ\) and take the remainder.
सह-अंतिम कोण प्राप्त करने के लिए कोण में \(360^\circ\) के गुणज जोड़े या घटाए जाते हैं। \(-210^\circ+360^\circ=150^\circ\), जो \(0^\circ\) और \(360^\circ\) के बीच है। इसलिए सही उत्तर \(150^\circ\) है। \(210^\circ\) अलग कोण है; यह \(-210^\circ\) में \(360^\circ\) जोड़ने से नहीं मिलता। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण को मानक परास में लाने के लिए पहले \(360^\circ\) जोड़ें। / Coterminal angles differ by an integer multiple of \(360^\circ\). Here, \(-210^\circ+360^\circ=150^\circ\), and \(150^\circ\) lies between \(0^\circ\) and \(360^\circ\). Therefore, the correct answer is \(150^\circ\). \(210^\circ\) is a different angle and is not obtained by adding \(360^\circ\) to \(-210^\circ\). Exam tip: To convert a negative angle to the standard range, first add \(360^\circ\).
मुख्य कोण ज्ञात करने के लिए दिए गए कोण में \(360^\circ\) के गुणज जोड़ते हैं, ताकि परिणाम \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच आ जाए। \(-675^\circ+720^\circ=45^\circ\), जहाँ \(720^\circ=2\times360^\circ\) है। इसलिए मुख्य कोण \(45^\circ\) है। \(60^\circ\) निकट विकल्प है, पर वह \(-675^\circ\) का सह-अंत कोण नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण के लिए \(360^\circ\) को बार-बार जोड़ें। / To find the principal angle, add a multiple of \(360^\circ\) until the result lies between \(0^\circ\) and \(360^\circ\). Here, \(-675^\circ+720^\circ=45^\circ\), where \(720^\circ=2\times360^\circ\). Therefore, the principal angle is \(45^\circ\). Although \(60^\circ\) is close, it is not coterminal with \(-675^\circ\). Exam tip: for a negative angle, keep adding \(360^\circ\).
दूसरे चतुर्थांश में संदर्भ कोण \(180^\circ-\theta\) होता है इसलिए \(70^\circ\) मिलता है। संदर्भ कोण हमेशा न्यून कोण होता है। / In the second quadrant the reference angle is \(180^\circ-\theta\), so it is \(70^\circ\). A reference angle is always acute.
तीसरे चतुर्थांश में संदर्भ कोण \(\theta-180^\circ\) होता है इसलिए \(70^\circ\) मिलता है। पहले चतुर्थांश पहचानें फिर नियम लगाएं। / In the third quadrant the reference angle is \(\theta-180^\circ\), so it is \(70^\circ\). Identify the quadrant first and then apply the rule.
चौथे चतुर्थांश में संदर्भ कोण \(360^\circ-\theta\) होता है इसलिए \(50^\circ\) मिलता है। अंतिम भुजा से (x)-अक्ष तक का छोटा कोण लें। / In the fourth quadrant the reference angle is \(360^\circ-\theta\), so it is \(50^\circ\). Take the smaller angle to the (x)-axis.
पहले चतुर्थांश में संदर्भ कोण वही कोण होता है इसलिए \(28^\circ\) है। पहले चतुर्थांश में अलग गणना की जरूरत नहीं होती। / In the first quadrant the reference angle is the angle itself, so it is \(28^\circ\). No extra calculation is needed in the first quadrant.
\(380^\circ-20^\circ=360^\circ\) इसलिए दोनों सह-अंतिम कोण हैं। अंतर \(360^\circ\) का गुणज हो तो सह-अंतिम मानें। / \(380^\circ-20^\circ=360^\circ\), so they are coterminal angles. If the difference is a multiple of \(360^\circ\), they are coterminal.
\(65^\circ-360^\circ=-295^\circ\) होता है। ऋणात्मक सह-अंतिम कोण पाने के लिए \(360^\circ\) घटाएं। / \(65^\circ-360^\circ=-295^\circ\). Subtract \(360^\circ\) to get a negative coterminal angle.
सह-अंतिम कोणों में अंतर 360^\circ का पूर्ण गुणज होता है। अतः \(-40^\circ\) में 360^\circ जोड़ने पर \((-40^\circ+360^\circ)=320^\circ\) मिलता है, जो धनात्मक है। 340^\circ, -40^\circ से 380^\circ अलग है, जो 360^\circ का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण का सबसे छोटा धनात्मक सह-अंतिम कोण पाने के लिए उसमें 360^\circ जोड़ें। / Coterminal angles differ by an integral multiple of 360^\circ. Adding 360^\circ to -40^\circ gives \((-40^\circ+360^\circ)=320^\circ\), which is positive. In contrast, 340^\circ differs from -40^\circ by 380^\circ, not a multiple of 360^\circ. Exam tip: To find the least positive coterminal angle of a negative angle, add 360^\circ.
एक पूरा चक्कर \(360^\circ\) के बराबर होता है। इसलिए 3 पूरे चक्करों का कोण \(3\times360^\circ=1080^\circ\) होगा। \(720^\circ\) केवल 2 पूरे चक्करों के बराबर है। परीक्षा टिप: पूरे चक्करों को कोण में बदलने के लिए चक्करों की संख्या को \(360^\circ\) से गुणा करें। / One complete revolution equals \(360^\circ\). Therefore, the angle for 3 complete revolutions is \(3\times360^\circ=1080^\circ\). \(720^\circ\) represents only 2 complete revolutions. Exam tip: multiply the number of complete revolutions by \(360^\circ\) to convert them into degrees.
एक पूरा चक्कर \(360^\circ\) के बराबर होता है। इसलिए \(2.5\) चक्करों का कोण \(2.5\times360^\circ=900^\circ\) होगा। \(720^\circ\) केवल 2 पूरे चक्करों के बराबर है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: चक्करों को डिग्री में बदलने के लिए चक्करों की संख्या को \(360^\circ\) से गुणा करें। / One complete revolution equals \(360^\circ\). Therefore, the angle for \(2.5\) revolutions is \(2.5\times360^\circ=900^\circ\). \(720^\circ\) represents only 2 complete revolutions, so it is not correct. Exam tip: To convert revolutions into degrees, multiply the number of revolutions by \(360^\circ\).
B. (2) चक्कर और \(90^\circ\)/(2) revolutions and \(90^\circ\)
Explanation
Simple Explanation
\(810^\circ=720^\circ+90^\circ\) इसलिए (2) पूरे चक्कर और \(90^\circ\) शेष हैं। \(360^\circ\) के गुणज अलग करें। / \(810^\circ=720^\circ+90^\circ\), so it is (2) complete revolutions and \(90^\circ\) remaining. Separate multiples of \(360^\circ\).
न्यून कोण \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच होता है इसलिए \(42^\circ\) सही है। कोण का प्रकार सीमा से पहचानें। / An acute angle lies between \(0^\circ\) and \(90^\circ\), so \(42^\circ\) is correct. Identify angle type using its range.
अधिक कोण \(90^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच होता है इसलिए \(132^\circ\) सही है। \(90^\circ\) और \(180^\circ\) खुद अधिक कोण नहीं हैं। / An obtuse angle lies between \(90^\circ\) and \(180^\circ\), so \(132^\circ\) is correct. \(90^\circ\) and \(180^\circ\) themselves are not obtuse angles.
मानक स्थिति में प्रारम्भिक भुजा धनात्मक x-अक्ष पर होती है। वामावर्त घूमने पर \(90^\circ\) धनात्मक y-अक्ष और \(180^\circ\) ऋणात्मक x-अक्ष पर पहुँचता है; इसलिए \(270^\circ\) ऋणात्मक y-अक्ष पर होता है। परीक्षा में अक्षों का क्रम याद रखें। / In standard position, the initial side lies on the positive x-axis. Moving anticlockwise, \(90^\circ\) reaches the positive y-axis and \(180^\circ\) the negative x-axis; hence \(270^\circ\) lies on the negative y-axis. Exam tip: remember the axis order every \(90^\circ\).
D. \( \frac{\pi}{2} \) रेडियन/\( \frac{\pi}{2} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(90^\circ\) आधा \(180^\circ\) है इसलिए मान \( \frac{\pi}{2} \) है। पहले कोण को \(180^\circ\) से भाग दें। / \(90^\circ\) is half of \(180^\circ\) so it is \( \frac{\pi}{2} \). Divide the degree measure by \(180^\circ\) first.
सह-अंतिम कोणों की प्रारम्भिक और अंतिम भुजा समान होती है तथा उनका अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(30^\circ+360^\circ=390^\circ\), इसलिए A सही है। \(330^\circ\) का अंतर \(300^\circ\) है। परीक्षा टिप: \(\theta\pm360^\circ\) लगाएँ। / Coterminal angles have the same initial and terminal sides, and their difference is an integral multiple of \(360^\circ\). Since \(30^\circ+360^\circ=390^\circ\), A is correct. The difference for \(330^\circ\) is \(300^\circ\), not \(360^\circ\). Exam tip: use \(\theta\pm360^\circ\).
D. \( \frac{\pi}{6} \) रेडियन/\( \frac{\pi}{6} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(30^\circ=\frac{30\pi}{180}=\frac{\pi}{6}\) है। डिग्री से रेडियन में \( \frac{\pi}{180} \) से गुणा करें। / \(30^\circ=\frac{30\pi}{180}=\frac{\pi}{6}\). Multiply degrees by \( \frac{\pi}{180} \) to convert to radians.
\( \pi \) रेडियन का मान \(180^\circ\) होता है। रेडियन से डिग्री में \( \frac{180^\circ}{\pi} \) से गुणा करें। / \( \pi \) radians equals \(180^\circ\). Multiply by \( \frac{180^\circ}{\pi} \) to convert radians to degrees.
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए \(\frac{180^\circ}{\pi}\) से गुणा करते हैं: \(\frac{\pi}{3}\times\frac{180^\circ}{\pi}=60^\circ\)। इसलिए सही उत्तर \(60^\circ\) है। \(30^\circ\) का रेडियन माप \(\frac{\pi}{6}\) होता है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(\pi\) रेडियन = \(180^\circ\) का संबंध याद रखें। / To convert radians into degrees, multiply by \(\frac{180^\circ}{\pi}\): \(\frac{\pi}{3}\times\frac{180^\circ}{\pi}=60^\circ\). Hence, \(60^\circ\) is correct. \(30^\circ\) is a close distractor because its radian measure is \(\frac{\pi}{6}\), not \(\frac{\pi}{3}\). Exam tip: Remember that \(\pi\) radians = \(180^\circ\).
\( \frac{\pi}{6}\times \frac{180^\circ}{\pi}=30^\circ\) है। रेडियन से डिग्री में हमेशा \( \frac{180^\circ}{\pi} \) लगाएं। / \( \frac{\pi}{6}\times \frac{180^\circ}{\pi}=30^\circ\). For radians to degrees always use \( \frac{180^\circ}{\pi} \).
\( \frac{\pi}{4} \) रेडियन \(45^\circ\) होता है। \( \pi \) रेडियन को \(180^\circ\) मानकर अनुपात बनाएं। / \( \frac{\pi}{4} \) radians is \(45^\circ\). Use \( \pi \) radians as \(180^\circ\) and form a ratio.
धनात्मक कोण वामावर्त दिशा में मापा जाता है। संकेत वाले प्रश्नों में दिशा जरूर देखें। / A positive angle is measured in the anticlockwise direction. In sign-based questions always check the direction.
मानक स्थिति में कोण को प्रारम्भिक भुजा से मापा जाता है। वामावर्त दिशा में मापे गए कोण धनात्मक होते हैं, जबकि दक्षिणावर्त दिशा में मापे गए कोण ऋणात्मक होते हैं। इसलिए सही उत्तर दक्षिणावर्त दिशा है। वामावर्त दिशा निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह धनात्मक कोणों के लिए प्रयुक्त होती है। परीक्षा टिप: कोण का चिह्न याद रखें—वामावर्त (+), दक्षिणावर्त (−)। / In standard position, an angle is measured from its initial arm. Angles measured anticlockwise are positive, whereas angles measured clockwise are negative. Therefore, the correct answer is clockwise direction. Anticlockwise is the closest distractor because it represents positive angles. Exam tip: remember the sign convention—anticlockwise (+), clockwise (−).
एक पूर्ण चक्कर \(360^\circ\) का होता है। सहसमापी कोणों में \(360^\circ\) जोड़ना या घटाना उपयोगी है। / One complete revolution is \(360^\circ\). Adding or subtracting \(360^\circ\) helps in coterminal angles.
सीधा कोण एक सीधी रेखा बनाता है, इसलिए उसका माप \(180^\circ\) होता है। \(90^\circ\) समकोण होता है, जबकि \(360^\circ\) पूर्ण कोण होता है। परीक्षा टिप: सीधी रेखा दिखे तो कोण का माप तुरंत \(180^\circ\) लें। / A straight angle forms a straight line, so its measure is \(180^\circ\). An angle of \(90^\circ\) is a right angle, while \(360^\circ\) is a complete angle. Exam tip: whenever an angle forms a straight line, use \(180^\circ\).
B. \( \frac{\pi}{2} \) रेडियन/\( \frac{\pi}{2} \) radians
Explanation
Simple Explanation
समकोण \(90^\circ\) होता है और इसका रेडियन माप \( \frac{\pi}{2} \) है। मानक रूपांतरण याद रखें। / A right angle is \(90^\circ\) and its radian measure is \( \frac{\pi}{2} \). Remember standard conversions.
\(360^\circ\) दो \(180^\circ\) के बराबर है इसलिए \(2\pi\) रेडियन है। पूर्ण चक्कर का रेडियन माप याद रखें। / \(360^\circ\) is two times \(180^\circ\) so it is \(2\pi\) radians. Remember the radian measure of a full turn.
A. \( \frac{3\pi}{2} \) रेडियन/\( \frac{3\pi}{2} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(270^\circ=\frac{270\pi}{180}=\frac{3\pi}{2}\) होता है। \(90^\circ\) के गुणजों को जल्दी पहचानें। / \(270^\circ=\frac{270\pi}{180}=\frac{3\pi}{2}\). Quickly identify multiples of \(90^\circ\).
डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए कोण को \(\frac{\pi}{180}\) से गुणा करते हैं। अतः \(120^\circ=120\times\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}\) रेडियन। \(\frac{5\pi}{6}\) रेडियन \(150^\circ\) के बराबर होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(180^\circ=\pi\) रेडियन का संबंध याद रखें। / To convert degrees to radians, multiply the angle by \(\frac{\pi}{180}\). Thus, \(120^\circ=120\times\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}\) radians. Note that \(\frac{5\pi}{6}\) radians equals \(150^\circ\), so it is not correct here. Exam tip: Remember that \(180^\circ=\pi\) radians.
C. \( \frac{7\pi}{6} \) रेडियन/\( \frac{7\pi}{6} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(210^\circ=\frac{210\pi}{180}=\frac{7\pi}{6}\) है। डिग्री को \( \frac{\pi}{180} \) से गुणा करें। / \(210^\circ=\frac{210\pi}{180}=\frac{7\pi}{6}\). Multiply degrees by \( \frac{\pi}{180} \).
तृतीय चतुर्थांश के कोण \(180^\circ\) से अधिक और \(270^\circ\) से कम होते हैं। \(210^\circ\) इसी सीमा में है। \(135^\circ\) द्वितीय चतुर्थांश में है। परीक्षा में पहले कोण की सीमा जाँचें। / Angles in the third quadrant are greater than \(180^\circ\) and less than \(270^\circ\). Since \(210^\circ\) lies in this interval, it is correct. \(135^\circ\) is in quadrant II. Exam tip: check the interval first.
A. \( \frac{5\pi}{3} \) रेडियन/\( \frac{5\pi}{3} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(300^\circ=\frac{300\pi}{180}=\frac{5\pi}{3}\) है। \(60^\circ\) के गुणजों को पहचानना लाभदायक है। / \(300^\circ=\frac{300\pi}{180}=\frac{5\pi}{3}\). Recognizing multiples of \(60^\circ\) is helpful.
\(45^\circ\), \(0^\circ\) से बड़ा और \(90^\circ\) से छोटा है, इसलिए यह न्यूनकोण है। \(90^\circ\) समकोण है, अतः वह इस खुले अंतराल में नहीं आता। परीक्षा में सीमा वाले कोणों को ध्यान से जाँचें। / \(45^\circ\) is greater than \(0^\circ\) and less than \(90^\circ\), so it is an acute angle. \(90^\circ\) is a right angle and is not in this open interval. Exam tip: check whether endpoint values are included.
B. \( \frac{11\pi}{6} \) रेडियन/\( \frac{11\pi}{6} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(330^\circ=\frac{330\pi}{180}=\frac{11\pi}{6}\) है। \(30^\circ\) के गुणजों में हर अक्सर (6) आता है। / \(330^\circ=\frac{330\pi}{180}=\frac{11\pi}{6}\). Multiples of \(30^\circ\) often give denominator (6).
\( \frac{2\pi}{3}\times \frac{180^\circ}{\pi}=120^\circ\) है। पहले \( \pi \) को काटें फिर गुणा करें। / \( \frac{2\pi}{3}\times \frac{180^\circ}{\pi}=120^\circ\). Cancel \( \pi \) first and then multiply.
\( \frac{3\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}=135^\circ\) होता है। गुणन से पहले सरलीकरण करें। / \( \frac{3\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}=135^\circ\). Simplify before multiplying.
\( \frac{7\pi}{6}\times \frac{180^\circ}{\pi}=210^\circ\) है। रेडियन को डिग्री में बदलते समय \(180^\circ\) से गुणा करें। / \( \frac{7\pi}{6}\times \frac{180^\circ}{\pi}=210^\circ\). Multiply by \(180^\circ\) while converting radians to degrees.
\( \frac{5\pi}{3}\times \frac{180^\circ}{\pi}=300^\circ\) है। मानक कोणों में \(60^\circ\) की गिनती मदद करती है। / \( \frac{5\pi}{3}\times \frac{180^\circ}{\pi}=300^\circ\). Counting in \(60^\circ\) steps helps with standard angles.
\( \frac{11\pi}{6} \) रेडियन \(330^\circ\) होता है। \( \frac{\pi}{6} \) को \(30^\circ\) मानकर (11) गुना करें। / \( \frac{11\pi}{6} \) radians is \(330^\circ\). Take \( \frac{\pi}{6}=30^\circ\) and multiply by (11).
\(0^\circ\) और \(360^\circ\) की अंतिम भुजा समान होती है इसलिए वे सहसमापी हैं। \(360^\circ\) के अंतर को पहचानें। / \(0^\circ\) and \(360^\circ\) have the same terminal side so they are coterminal. Look for a difference of \(360^\circ\).
\(45^\circ+360^\circ=405^\circ\) इसलिए यह सहसमापी कोण है। सहसमापी कोण के लिए \(360^\circ\) जोड़ें या घटाएं। / \(45^\circ+360^\circ=405^\circ\) so it is coterminal. Add or subtract \(360^\circ\) for coterminal angles.
\(120^\circ-360^\circ=-240^\circ\) होता है। ऋणात्मक सहसमापी कोण पाने के लिए \(360^\circ\) घटाएं। / \(120^\circ-360^\circ=-240^\circ\). Subtract \(360^\circ\) to get a negative coterminal angle.
सहसमापी कोणों में अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। अतः \(-30^\circ+360^\circ=330^\circ\), इसलिए \(330^\circ\) धनात्मक सहसमापी कोण है। \(300^\circ\) प्राप्त करने पर अंतिम भुजा अलग होगी, इसलिए वह सहसमापी नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण का सबसे छोटा धनात्मक सहसमापी कोण पाने के लिए उसमें \(360^\circ\) जोड़ें। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Thus, \(-30^\circ+360^\circ=330^\circ\), so \(330^\circ\) is the positive coterminal angle. \(300^\circ\) has a different terminal side, so it is not coterminal with \(-30^\circ\). Exam tip: To obtain the least positive coterminal angle of a negative angle, add \(360^\circ\).
\(390^\circ-360^\circ=30^\circ\) है। कोण को सीमा में लाने के लिए \(360^\circ\) घटाते रहें। / \(390^\circ-360^\circ=30^\circ\). Keep subtracting \(360^\circ\) to bring the angle into the range.
सहसमापी कोणों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(750^\circ-2\times360^\circ=750^\circ-720^\circ=30^\circ\), इसलिए सही कोण \(30^\circ\) है। \(60^\circ\) सही नहीं है, क्योंकि \(750^\circ-60^\circ=690^\circ\), जो \(360^\circ\) का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: कोण को \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच लाने के लिए \(360^\circ\) के गुणज घटाइए। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Here, \(750^\circ-2\times360^\circ=750^\circ-720^\circ=30^\circ\), so \(30^\circ\) is the required angle. \(60^\circ\) is not coterminal because \(750^\circ-60^\circ=690^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: subtract multiples of \(360^\circ\) to reduce an angle to the interval from \(0^\circ\) to \(360^\circ\).
\(200^\circ\) \(180^\circ\) और \(270^\circ\) के बीच है इसलिए तृतीय चतुर्थांश में है। चतुर्थांश के लिए मानक सीमाएं याद रखें। / \(200^\circ\) lies between \(180^\circ\) and \(270^\circ\) so it is in the third quadrant. Remember the standard quadrant intervals.
\(310^\circ\) \(270^\circ\) और \(360^\circ\) के बीच है इसलिए चतुर्थ चतुर्थांश में है। \(270^\circ\) के बाद वाले कोण चौथे चतुर्थांश में आते हैं। / \(310^\circ\) lies between \(270^\circ\) and \(360^\circ\) so it is in the fourth quadrant. Angles after \(270^\circ\) lie in the fourth quadrant.
\(25^\circ\) \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच है इसलिए प्रथम चतुर्थांश में है। छोटे धनात्मक कोण अक्सर प्रथम चतुर्थांश में होते हैं। / \(25^\circ\) lies between \(0^\circ\) and \(90^\circ\) so it is in the first quadrant. Small positive angles often lie in the first quadrant.
\(90^\circ\) की अंतिम भुजा धनात्मक (y)-अक्ष पर होती है। अक्षीय कोणों को चतुर्थांश में न रखें। / The terminal side of \(90^\circ\) lies on the positive (y)-axis. Do not place axis angles inside quadrants.
\(180^\circ\) की अंतिम भुजा ऋणात्मक (x)-अक्ष पर होती है। आधे चक्कर को \(180^\circ\) मानें। / The terminal side of \(180^\circ\) lies on the negative (x)-axis. Treat a half turn as \(180^\circ\).
\(270^\circ\) की अंतिम भुजा ऋणात्मक (y)-अक्ष पर होती है। \(90^\circ\) के क्रमिक घुमाव याद रखें। / The terminal side of \(270^\circ\) lies on the negative (y)-axis. Remember successive turns of \(90^\circ\).
रेडियन से डिग्री में बदलने के लिए \( \frac{180^\circ}{\pi} \) से गुणा करते हैं। सूत्र की दिशा याद रखें। / To convert radians to degrees multiply by \( \frac{180^\circ}{\pi} \). Remember the direction of the formula.
डिग्री से रेडियन में बदलने के लिए \( \frac{\pi}{180} \) से गुणा करते हैं। \(75^\circ\) जैसे कोणों पर भी यही नियम लागू होता है। / To convert degrees to radians multiply by \( \frac{\pi}{180} \). The same rule applies to angles like \(75^\circ\).
कोणीय माप में 1 डिग्री को 60 मिनट में विभाजित किया जाता है, अर्थात \(1^\circ=60'\)। इसलिए सही उत्तर 60' है। 90' वास्तव में \(1.5^\circ\) के बराबर होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: कोणों के लिए \(1^\circ=60'\) और \(1'=60''\) याद रखें। / In angular measurement, 1 degree is divided into 60 minutes; that is, \(1^\circ=60'\). Therefore, the correct answer is 60'. Note that 90' equals \(1.5^\circ\), so it is not correct. Exam tip: Remember \(1^\circ=60'\) and \(1'=60''\).
कोणीय माप में 1 मिनट को 60 सेकंड में विभाजित किया जाता है। अतः \(1' = 60''\), इसलिए सही उत्तर 60'' है। 30'' आधे मिनट के बराबर होता है, 1 मिनट के नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री-मिनट-सेकंड में \(1^\circ = 60'\) और \(1' = 60''\) याद रखें। / In angular measurement, 1 minute is divided into 60 seconds. Therefore, \(1' = 60''\), so 60'' is correct. 30'' represents half a minute, not one full minute. Exam tip: Remember that \(1^\circ = 60'\) and \(1' = 60''\).
एक डिग्री में \(60'\) (मिनट) होते हैं। अतः \(2^\circ=2\times60'=120'\), इसलिए विकल्प C सही है। \(60'\) केवल \(1^\circ\) के बराबर है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: डिग्री को मिनट में बदलने के लिए डिग्री के मान को 60 से गुणा करें। / One degree contains \(60'\) (minutes). Therefore, \(2^\circ=2\times60'=120'\), so option C is correct. \(60'\) equals only \(1^\circ\), making it a close but incorrect option. Exam tip: To convert degrees to minutes, multiply the number of degrees by 60.
कोणीय माप में \(1^\circ=60'\) होता है। इसलिए \(180'\) को डिग्री में बदलने पर \(180\div60=3\) मिलता है, अर्थात \(180'=3^\circ\)। \(4^\circ\) के बराबर \(240'\) होते हैं, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: मिनट को डिग्री में बदलने के लिए 60 से भाग दें। / In angular measurement, \(1^\circ=60'\). Therefore, converting \(180'\) into degrees gives \(180\div60=3\), so \(180'=3^\circ\). The option \(4^\circ\) is incorrect because it equals \(240'\). Exam tip: divide minutes by 60 to convert them into degrees.
\( \frac{\pi}{12}\times \frac{180^\circ}{\pi}=15^\circ\) होता है। हर से \(180^\circ\) को भाग देना आसान तरीका है। / \( \frac{\pi}{12}\times \frac{180^\circ}{\pi}=15^\circ\). Dividing \(180^\circ\) by the denominator is an easy method.
B. \( \frac{5\pi}{4} \) रेडियन/\( \frac{5\pi}{4} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(225^\circ=\frac{225\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}\) है। डिग्री से रेडियन में \( \frac{\pi}{180} \) से गुणा करें। / \(225^\circ=\frac{225\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}\). Multiply by \( \frac{\pi}{180} \) to convert degrees to radians.
\(135^\circ\) \(90^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच है इसलिए द्वितीय चतुर्थांश में है। कोण की स्थिति तय करने के लिए सीमा याद रखें। / \(135^\circ\) lies between \(90^\circ\) and \(180^\circ\) so it is in the second quadrant. Remember the interval to decide the position.
सहसमापी कोणों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। क्योंकि \(420^\circ-360^\circ=60^\circ\), इसलिए \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच इसका सहसमापी कोण \(60^\circ\) है। \(90^\circ\) एक अलग कोण है और उसे \(420^\circ\) से \(360^\circ\) के पूर्ण गुणज को जोड़कर या घटाकर प्राप्त नहीं किया जा सकता। परीक्षा टिप: कोण को दिए गए अंतराल में लाने के लिए \(360^\circ\) जोड़ें या घटाएँ। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Since \(420^\circ-360^\circ=60^\circ\), the coterminal angle between \(0^\circ\) and \(360^\circ\) is \(60^\circ\). \(90^\circ\) is a different angle and cannot be obtained from \(420^\circ\) by adding or subtracting a whole multiple of \(360^\circ\). Exam tip: add or subtract \(360^\circ\) until the angle lies in the required interval.
एक डिग्री में 60 मिनट होते हैं, अर्थात् \(1^\circ=60'\)। इसलिए \(3^\circ=3\times60'=180'\) होगा। 150' निकट का विकल्प है, पर वह \(2.5^\circ\) के बराबर होता है, 3° के नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री को मिनट में बदलने के लिए डिग्री को 60 से गुणा करें। / One degree contains 60 minutes, i.e. \(1^\circ=60'\). Therefore, \(3^\circ=3\times60'=180'\). The nearby option 150' equals \(2.5^\circ\), not 3°. Exam tip: multiply degrees by 60 to convert them into minutes.
