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A. प्रारंभिक भुजा (x)-अक्ष पर हो/Initial side lies on (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
सामान्य स्थिति में प्रारंभिक भुजा धनात्मक (x)-अक्ष पर होती है। परीक्षा में प्रारंभिक और अंतिम भुजा अलग पहचानें। / In standard position the initial side lies on the positive (x)-axis. In exams identify the initial and terminal sides separately.
मानक परंपरा में प्रारंभिक भुजा से वामावर्त घूर्णन को धनात्मक माना जाता है, इसलिए बना कोण धनात्मक कोण होता है। दक्षिणावर्त घूर्णन ऋणात्मक कोण दर्शाता है; यह निकटतम भ्रमकारी विकल्प है। परीक्षा टिप: कोण का चिन्ह तय करने से पहले घूर्णन की दिशा अवश्य देखें। / By the standard convention, rotation anticlockwise from the initial arm is taken as positive, so the angle formed is a positive angle. Clockwise rotation represents a negative angle, which is the closest distractor. Exam tip: check the direction of rotation before deciding the sign of an angle.
दक्षिणावर्त घूर्णन ऋणात्मक कोण देता है। आसान प्रश्नों में दिशा सबसे महत्वपूर्ण संकेत होती है। / Clockwise rotation gives a negative angle. In easy questions direction is the main clue.
एक पूरा चक्कर किसी बिंदु के चारों ओर घूमकर प्रारम्भिक स्थिति में वापस आने को कहते हैं, और इसका कोण 360° होता है। 180° आधा चक्कर तथा 90° चौथाई चक्कर दर्शाता है। परीक्षा टिप: चक्करों को डिग्री में बदलने के लिए चक्करों की संख्या को 360° से गुणा करें। / One complete revolution means returning to the starting position after turning once around a point, so its measure is 360°. In contrast, 180° represents a half revolution and 90° represents a quarter revolution. Exam tip: To convert revolutions into degrees, multiply the number of revolutions by 360°.
एक पूरा चक्कर 360° का होता है। इसलिए आधा चक्कर = \(\frac{360°}{2}=180°\) होगा। 90° एक चौथाई चक्कर होता है, जबकि 360° पूरा चक्कर है। परीक्षा टिप: चक्कर के भिन्न को 360° से गुणा करके कोण ज्ञात करें। / One complete revolution measures 360°. Therefore, half a revolution is \(\frac{360°}{2}=180°\). In contrast, 90° is a quarter revolution, while 360° is a full revolution. Exam tip: Multiply the fraction of a revolution by 360° to find the angle.
एक चौथाई चक्कर \(360^\circ \div 4=90^\circ\) होता है। भाग देकर ऐसे प्रश्न जल्दी हल करें। / A quarter revolution is \(360^\circ \div 4=90^\circ\). Use division to solve such questions quickly.
मूल संबंध \(180^\circ=\pi\) रेडियन है। डिग्री से रेडियन में बदलते समय इसी को आधार बनाएं। / The basic relation is \(180^\circ=\pi\) radians. Use it as the base for degree to radian conversion.
क्योंकि \(180^\circ=\pi\) है इसलिए \(360^\circ=2\pi\) होता है। दुगुने कोण में रेडियन भी दुगुना होता है। / Since \(180^\circ=\pi\), \(360^\circ=2\pi\). When the angle doubles the radian measure also doubles.
\(90^\circ\), \(180^\circ\) का आधा है इसलिए रेडियन \(\frac{\pi}{2}\) होगा। आधे कोण में रेडियन भी आधा होता है। / \(90^\circ\) is half of \(180^\circ\), so its radian measure is \(\frac{\pi}{2}\). Half the angle means half the radian measure.
\(45^\circ\), \(180^\circ\) का \(\frac{1}{4}\) भाग है इसलिए \(\frac{\pi}{4}\) रेडियन होगा। अनुपात विधि आसान रहती है। / \(45^\circ\) is \(\frac{1}{4}\) of \(180^\circ\), so it is \(\frac{\pi}{4}\) radians. The ratio method is simple.
\(30^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{6}\) होता है। डिग्री से रेडियन में \(\frac{\pi}{180^\circ}\) से गुणा करें। / \(30^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{6}\). Multiply by \(\frac{\pi}{180^\circ}\) to convert degrees to radians.
द्वितीय चतुर्थांश में कोण \(90^\circ\) से बड़ा और \(180^\circ\) से छोटा होता है। \(120^\circ\) इस सीमा में है। \(210^\circ\), \(180^\circ\) से अधिक होने के कारण तृतीय चतुर्थांश में है। परीक्षा टिप: पहले \(90^\circ,180^\circ,270^\circ\) की सीमाएँ याद रखें। / An angle in the second quadrant is greater than \(90^\circ\) and less than \(180^\circ\). Since \(120^\circ\) lies in this interval, it is correct. \(210^\circ\) is in the third quadrant. Exam tip: remember the quadrant boundaries \(90^\circ,180^\circ,270^\circ\).
\(120^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{2\pi}{3}\) होता है। पहले भिन्न को घटाएं फिर उत्तर लिखें। / \(120^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{2\pi}{3}\). Reduce the fraction before writing the answer.
\(150^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}\) होता है। (150) और (180) को (30) से सरल करें। / \(150^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}\). Simplify (150) and (180) by (30).
\(\frac{\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi}=60^\circ\) होता है। रेडियन से डिग्री में \(\frac{180^\circ}{\pi}\) से गुणा करें। / \(\frac{\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi}=60^\circ\). Multiply by \(\frac{180^\circ}{\pi}\) to convert radians to degrees.
\(\frac{\pi}{6}\) को \(180^\circ\) से गुणा करने पर \(30^\circ\) मिलता है। \(\pi\) कट जाता है। / Multiplying \(\frac{\pi}{6}\) by \(180^\circ\) gives \(30^\circ\). The \(\pi\) cancels out.
क्योंकि \(\pi\) रेडियन = \(180^\circ\), इसलिए \(\frac{\pi}{2}\) रेडियन = \(\frac{180^\circ}{2}=90^\circ\)। अतः यह समकोण तथा एक पूर्ण चक्कर का चौथाई भाग है। \(45^\circ\) के लिए रेडियन माप \(\frac{\pi}{4}\) होता है। परीक्षा टिप: रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए \(\frac{180^\circ}{\pi}\) से गुणा करें। / Since \(\pi\) radians = \(180^\circ\), \(\frac{\pi}{2}\) radians = \(\frac{180^\circ}{2}=90^\circ\). Thus, it is a right angle and one-quarter of a complete revolution. \(45^\circ\) corresponds to \(\frac{\pi}{4}\) radians. Exam tip: multiply radians by \(\frac{180^\circ}{\pi}\) to convert them into degrees.
\(\frac{3\pi}{2}\times\frac{180^\circ}{\pi}=270^\circ\) होता है। ऊपर का (3) अंतिम मान को तीन गुना करता है। / \(\frac{3\pi}{2}\times\frac{180^\circ}{\pi}=270^\circ\). The numerator (3) makes the final value three times \(90^\circ\).
\(270^\circ=\frac{270\pi}{180}=\frac{3\pi}{2}\) होता है। \(90^\circ\) को \(\frac{\pi}{2}\) मानकर भी सोच सकते हैं। / \(270^\circ=\frac{270\pi}{180}=\frac{3\pi}{2}\). You can also think of \(90^\circ\) as \(\frac{\pi}{2}\).
सह-अंतिम कोणों में अंतर \(360^\circ\) के पूर्णांक गुणज का होता है। अंतिम भुजा समान हो तो यह नियम लगाएं। / The difference between coterminal angles is an integral multiple of \(360^\circ\). Use this rule when the terminal side is the same.
सह-अंतिम कोणों का प्रारम्भिक और अंतिम भुजा समान होती है तथा उनके अंतर का मान \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(30^\circ+360^\circ=390^\circ\), इसलिए \(390^\circ\), \(30^\circ\) का धनात्मक सह-अंतिम कोण है। \(300^\circ\) का अंतर \(270^\circ\) है, जो \(360^\circ\) का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: सह-अंतिम कोण के लिए \(\theta+360^\circ n\) का प्रयोग करें, जहाँ \(n\) पूर्णांक है। / Coterminal angles have the same initial and terminal sides, so their difference is an integral multiple of \(360^\circ\). Since \(30^\circ+360^\circ=390^\circ\), \(390^\circ\) is a positive coterminal angle of \(30^\circ\). The difference between \(300^\circ\) and \(30^\circ\) is \(270^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: use \(\theta+360^\circ n\), where \(n\) is an integer, to find coterminal angles.
सह-अंतिम कोणों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(45^\circ-360^\circ=-315^\circ\), इसलिए \(-315^\circ\), \(45^\circ\) का ऋणात्मक सह-अंतिम कोण है। \(-45^\circ\) का अंतर \(90^\circ\) है, इसलिए वह सह-अंतिम नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक सह-अंतिम कोण पाने के लिए दिए गए कोण में से \(360^\circ\) घटाइए। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Since \(45^\circ-360^\circ=-315^\circ\), \(-315^\circ\) is a negative coterminal angle of \(45^\circ\). The angle \(-45^\circ\) differs from \(45^\circ\) by \(90^\circ\), so it is not coterminal. Exam tip: subtract \(360^\circ\) from a given angle to obtain a negative coterminal angle.
\(400^\circ-360^\circ=40^\circ\) होता है। बड़े कोण को \(360^\circ\) से घटाकर मुख्य कोण पाएं। / \(400^\circ-360^\circ=40^\circ\). Subtract \(360^\circ\) from a large angle to get the principal angle.
सह-अंतिम कोण पाने के लिए कोण में 360° के पूर्ण गुणज जोड़े या घटाए जाते हैं। यहाँ \((-30^\circ+360^\circ)=330^\circ\) है, जो 0° और 360° के बीच है। 300° निकट का विकल्प है, लेकिन वह \(-30^\circ\) से 330° का अंतर रखता है, जो 360° का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण को 0° से 360° के दायरे में लाने के लिए पहले 360° जोड़ें। / Coterminal angles differ by an integral multiple of 360°. Here, \((-30^\circ+360^\circ)=330^\circ\), which lies between 0° and 360°. Although 300° is a nearby distractor, its difference from \(-30^\circ\) is 330°, not a multiple of 360°. Exam tip: To convert a negative angle into the 0° to 360° range, first add 360°.
\(720^\circ \div 360^\circ=2\) पूरे चक्कर होते हैं। चक्कर गिनने के लिए \(360^\circ\) से भाग दें। / \(720^\circ \div 360^\circ=2\) complete revolutions. Divide by \(360^\circ\) to count revolutions.
एक आधा चक्कर \(180^\circ\) होता है और \(540^\circ\div180^\circ=3\) है। आधे चक्कर के लिए \(180^\circ\) से भाग दें। / One half revolution is \(180^\circ\), and \(540^\circ\div180^\circ=3\). Divide by \(180^\circ\) for half revolutions.
कोणीय माप में 1 डिग्री को 60 बराबर भागों में बाँटा जाता है और प्रत्येक भाग 1 मिनट कहलाता है। इसलिए \(1^\circ=60'\) होता है। 30' आधे डिग्री के बराबर होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री-मिनट-सेकंड में \(1^\circ=60'\) और \(1'=60''\) याद रखें। / In angular measurement, one degree is divided into 60 equal parts, and each part is called one minute. Therefore, \(1^\circ=60'\). Since \(30'\) equals half a degree, it is not correct. Exam tip: remember \(1^\circ=60'\) and \(1'=60''\) for degree-minute-second conversions.
\(315^\circ\), \(270^\circ\) और \(360^\circ\) के बीच है, इसलिए इसका प्रारंभिक भुजा से बना कोण चतुर्थ चतुर्थांश में होता है। \(225^\circ\) तृतीय चतुर्थांश में है। परीक्षा टिप: कोण को \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच रखकर चतुर्थांश पहचानें। / \(315^\circ\) lies between \(270^\circ\) and \(360^\circ\), so its terminal side is in the fourth quadrant. \(225^\circ\) lies in the third quadrant. Exam tip: place an angle between \(0^\circ\) and \(360^\circ\) before identifying its quadrant.
\(60'=1^\circ\) इसलिए \(30'=\frac{1}{2}^\circ\) होता है। मिनट को डिग्री में बदलने के लिए (60) से भाग दें। / Since \(60'=1^\circ\), \(30'=\frac{1}{2}^\circ\). Divide minutes by (60) to convert into degrees.
क्योंकि \(1'=60''\), इसलिए \(90''\) को मिनटों में बदलने के लिए 60 से भाग देते हैं: \(90''\div 60=\frac{3}{2}'\)। अतः सही उत्तर \(\frac{3}{2}'\) है। \(\frac{1}{2}'\) केवल \(30''\) के बराबर होता है। परीक्षा टिप: सेकंड से मिनट में बदलने के लिए 60 से भाग करें। / Since \(1'=60''\), convert \(90''\) into minutes by dividing by 60: \(90''\div 60=\frac{3}{2}'\). Therefore, \(\frac{3}{2}'\) is correct. Note that \(\frac{1}{2}'\) equals only \(30''\). Exam tip: divide by 60 when converting seconds to minutes.
\(15^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{12}\) होता है। (15) और (180) को (15) से सरल करें। / \(15^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{12}\). Simplify (15) and (180) by (15).
सह-अंत कोणों की प्रारम्भिक और अंतिम भुजा समान होती है; उनके मापों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(405^\circ-45^\circ=360^\circ\), इसलिए C सही है। परीक्षा में अंतर जाँचें। / Coterminal angles have the same initial and terminal sides, so their measures differ by a multiple of \(360^\circ\). Since \(405^\circ-45^\circ=360^\circ\), option C is correct. Exam tip: check the difference first.
\(225^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{4}\) होता है। \(45^\circ=\frac{\pi}{4}\) याद रखने से भी उत्तर मिलता है। / \(225^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{4}\). Remembering \(45^\circ=\frac{\pi}{4}\) also helps.
\(\frac{5\pi}{6}\times\frac{180^\circ}{\pi}=150^\circ\) होता है। पहले \(\pi\) को काटें फिर गुणा करें। / \(\frac{5\pi}{6}\times\frac{180^\circ}{\pi}=150^\circ\). Cancel \(\pi\) first and then multiply.
\(\frac{7\pi}{6}\times\frac{180^\circ}{\pi}=210^\circ\) होता है। \(\frac{\pi}{6}=30^\circ\) का उपयोग करें। / \(\frac{7\pi}{6}\times\frac{180^\circ}{\pi}=210^\circ\). Use \(\frac{\pi}{6}=30^\circ\).
\(\frac{4\pi}{3}\times\frac{180^\circ}{\pi}=240^\circ\) होता है। \(\frac{\pi}{3}=60^\circ\) इसलिए चार गुना \(240^\circ\) है। / \(\frac{4\pi}{3}\times\frac{180^\circ}{\pi}=240^\circ\). Since \(\frac{\pi}{3}=60^\circ\), four times it is \(240^\circ\).
\(210^\circ\), \(180^\circ\) और \(270^\circ\) के बीच है इसलिए तीसरे चतुर्थांश में है। सीमा कोणों को याद रखें। / \(210^\circ\) lies between \(180^\circ\) and \(270^\circ\), so it is in the third quadrant. Remember the boundary angles.
\(315^\circ\), \(270^\circ\) और \(360^\circ\) के बीच है इसलिए चौथे चतुर्थांश में है। कोण की स्थिति सीमा से तय करें। / \(315^\circ\) lies between \(270^\circ\) and \(360^\circ\), so it is in the fourth quadrant. Decide the position using boundaries.
\(100^\circ\), \(90^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच है इसलिए दूसरे चतुर्थांश में है। \(90^\circ\) से आगे और \(180^\circ\) से पहले दूसरा चतुर्थांश होता है। / \(100^\circ\) lies between \(90^\circ\) and \(180^\circ\), so it is in the second quadrant. After \(90^\circ\) and before \(180^\circ\) is the second quadrant.
\(70^\circ\), \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच है इसलिए पहले चतुर्थांश में है। छोटे धनात्मक कोण पहले चतुर्थांश में आते हैं। / \(70^\circ\) lies between \(0^\circ\) and \(90^\circ\), so it is in the first quadrant. Small positive angles lie in the first quadrant.
\(-120^\circ+360^\circ=240^\circ\) होता है। ऋणात्मक कोण को मुख्य दायरे में लाने के लिए \(360^\circ\) जोड़ें। / \(-120^\circ+360^\circ=240^\circ\). Add \(360^\circ\) to bring a negative angle into the principal range.
सह-अंतिम कोण पाने के लिए दिए गए कोण में से \(360^\circ\) के गुणज घटाते हैं। \(765^\circ-2\times360^\circ=765^\circ-720^\circ=45^\circ\)। इसलिए \(45^\circ\), \(765^\circ\) का \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच सह-अंतिम कोण है। \(35^\circ\) निकट विकल्प है, पर वह \(765^\circ\) से \(360^\circ\) के किसी पूर्ण गुणज का अंतर नहीं है। परीक्षा टिप: कोण को \(360^\circ\) से भाग देकर शेषफल लेने पर इसी परास का सह-अंतिम कोण मिलता है। / To find a coterminal angle, subtract multiples of \(360^\circ\) from the given angle. \(765^\circ-2\times360^\circ=765^\circ-720^\circ=45^\circ\). Hence, \(45^\circ\) is the coterminal angle of \(765^\circ\) between \(0^\circ\) and \(360^\circ\). Although \(35^\circ\) is a nearby option, it does not differ from \(765^\circ\) by a whole multiple of \(360^\circ\). Exam tip: reducing an angle modulo \(360^\circ\) gives its coterminal angle in this interval.
सह-अंतिम कोणों में अंतर 360^\circ का पूर्ण गुणज होता है। \((-450^\circ)+2(360^\circ)=270^\circ\), जो 0^\circ और 360^\circ के बीच है। 90^\circ प्राप्त करने के लिए केवल 540^\circ जोड़ना पड़ेगा, जो 360^\circ का पूर्ण गुणज नहीं है; इसलिए वह सह-अंतिम कोण नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण में 360^\circ बार-बार जोड़कर उसे दिए गए अंतराल में लाएँ। / Coterminal angles differ by an integral multiple of 360^\circ. \((-450^\circ)+2(360^\circ)=270^\circ\), and this lies between 0^\circ and 360^\circ. Obtaining 90^\circ would require adding 540^\circ, which is not a multiple of 360^\circ, so it is not coterminal with the given angle. Exam tip: For a negative angle, keep adding 360^\circ until it lies in the required interval.
\(\frac{\pi}{4}\times\frac{180^\circ}{\pi}=45^\circ\) होता है। \(\pi\) कटाने के बाद \(180\div4\) करें। / \(\frac{\pi}{4}\times\frac{180^\circ}{\pi}=45^\circ\). After canceling \(\pi\), calculate \(180\div4\).
सह-अंत कोणों की प्रारम्भिक और अंतिम भुजाएँ समान होती हैं तथा उनका अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। यहाँ \(390^\circ-30^\circ=360^\circ\) है। परीक्षा में कोणों का अंतर जाँचें। / Coterminal angles have the same initial and terminal sides, so their difference must be an integral multiple of \(360^\circ\). Here, \(390^\circ-30^\circ=360^\circ\). Exam tip: subtract the angles first.
A. जिसमें कोई घूर्णन न हो/The angle with no rotation
Explanation
Simple Explanation
जिस कोण में घूर्णन नहीं होता उसे शून्य कोण कहते हैं। परिभाषा आधारित प्रश्नों में मुख्य शब्द पहचानें। / An angle with no rotation is called a zero angle. In definition questions identify the key word.
सीधा कोण \(180^\circ\) का होता है। इसकी दोनों भुजाएँ विपरीत दिशाओं में एक ही सीधी रेखा बनाती हैं, इसलिए विकल्प B सही है। \(90^\circ\) समकोण होता है, सीधा कोण नहीं। परीक्षा टिप: कोणों के नाम याद रखें—समकोण \(90^\circ\), सीधा कोण \(180^\circ\), पूर्ण कोण \(360^\circ\)। / A straight angle measures \(180^\circ\). Its two arms extend in opposite directions and form a straight line, so option B is correct. \(90^\circ\) is a right angle, not a straight angle. Exam tip: remember that a right angle is \(90^\circ\), a straight angle is \(180^\circ\), and a complete angle is \(360^\circ\).
90° का कोण समकोण कहलाता है। दो परस्पर लंब रेखाओं के बीच बना कोण 90° होता है। 60° न्यूनकोण है, क्योंकि वह 90° से कम है। परीक्षा टिप: कोणों के प्रकार याद रखें—90° समकोण, 180° सरल कोण और 360° पूर्ण कोण होता है। / An angle measuring 90° is called a right angle. The angle formed between two perpendicular lines is 90°. In contrast, 60° is an acute angle because it is less than 90°. Exam tip: remember that 90° is a right angle, 180° is a straight angle, and 360° is a complete angle.
पूर्ण कोण वह कोण है जो एक पूर्ण घूर्णन के बराबर होता है। एक पूरा चक्कर \(360^\circ\) का होता है, इसलिए सही उत्तर \(360^\circ\) है। \(180^\circ\) को सरल कोण कहते हैं, पूर्ण कोण नहीं। परीक्षा टिप: कोणों के मान याद रखें—समकोण \(90^\circ\), सरल कोण \(180^\circ\) और पूर्ण कोण \(360^\circ\)। / A complete angle represents one full revolution. One complete turn measures \(360^\circ\), so \(360^\circ\) is correct. An angle of \(180^\circ\) is called a straight angle, not a complete angle. Exam tip: Remember that a right angle is \(90^\circ\), a straight angle is \(180^\circ\), and a complete angle is \(360^\circ\).
