Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
परिचय: \(A\cap B=\{x:\,x\in A\text{ और }x\in B\}\)। यदि \(A\cap B= B\), तो प्रत्येक \(x\in B\) के लिए \(x\in A\) भी होगा। इस कारण से हर तत्व जो \(B\) में है वह \(A\) में भी है, अर्थात् \(B\subseteq A\)।
क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: \(A\subseteq B\) (विकल्प B) उल्टा कथन है — इससे यह निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता कि प्रत्येक \(A\) का तत्व \(B\) में है। \(B\subset A\) (विकल्प C) कहता है कि \(B\) सख्त उपसमुच्चय है; यह कभी-कभी सत्य हो सकता है लेकिन मूल समिकरण से ज़रूरी रूप से नहीं निकलेगा (यदि \(A=B\) हो तो भी नहीं)। \(A\cap B=A\) (विकल्प D) तभी सही होगा जब \(A\subseteq B\), जो यहाँ आवश्यक नहीं है।
परिक्षा-सुझाव: तत्व-आधारित तर्क अपनाएँ — किसी भी \(x\in B\) को लेकर दिखाएँ कि वह \(A\) में भी है; इससे \(B\subseteq A\) सहजता से सिद्ध होता है। / Core idea: \(A\cap B=\{x:\,x\in A\text{ and }x\in B\}\). If \(A\cap B=B\), then every \(x\in B\) must also satisfy \(x\in A\). Hence every element of \(B\) lies in \(A\), so \(B\subseteq A\).
Why the distractors are wrong: \(A\subseteq B\) (option B) is the reverse statement and does not follow from \(A\cap B=B\). \(B\subset A\) (option C) asserts a proper subset; it may or may not hold (equality is allowed), so it is not guaranteed. \(A\cap B=A\) (option D) would require \(A\subseteq B\), which is not implied here.
Exam tip: Use an element-wise argument — pick an arbitrary \(x\in B\) and show it belongs to \(A\); this directly proves \(B\subseteq A\).
संघ ( {1,3,5,7,9} ) और प्रतिच्छेद ( {3,7} ) है। प्रतिच्छेद हटाने पर ( {1,5,9} ) बचता है। / The union is ( {1,3,5,7,9} ) and the intersection is ( {3,7} ). Removing the intersection leaves ( {1,5,9} ).
पहले भेद निकालें: \(A\setminus B\) उन तत्वों का समूह है जो A में हैं पर B में नहीं — इससे \(A\setminus B=\{2,7\}\)। इसी प्रकार \(B\setminus A=\{1,9\}\)। दोनों का संघ \((A\setminus B)\cup(B\setminus A)=\{1,2,7,9\}\) मिलता है। ध्यान रखें कि यह ही सेटों का symmetric difference है, जिसे आप \((A\cup B)\setminus(A\cap B)\) से भी पा सकते हैं। परीक्षा टिप: पहले अंतर (set difference) निकालें फिर उनका संघ लें — इससे गलतियाँ कम होती हैं। / Compute the differences first: \(A\setminus B\) are elements in A not in B, so \(A\setminus B=\{2,7\}\). Similarly \(B\setminus A=\{1,9\}\). Their union is \((A\setminus B)\cup(B\setminus A)=\{1,2,7,9\}\). Note this is the symmetric difference, equivalently \((A\cup B)\setminus(A\cap B)\). Exam tip: find each set-difference separately, then take the union to avoid missing or double-counting elements.
केंद्रय (intersection) पहले लेते हैं: \(A \cap B = \{4,8\}\) क्योंकि 4 और 8 दोनों में हैं। अब इसका संघ (union) C के साथ लें: \(\{4,8\} \cup \{2,8,14\} = \{2,4,8,14\}\)। इसलिए सही उत्तर \{2,4,8,14\} है। नज़दीकी भ्रमकारी विकल्प \{2,8,14\} इसलिए गलत है क्योंकि वह 4 को छोड़ देता है जो \(A \cap B\) में आता है। امتحان सुझाव: सेट-ऑपरेशन्स की क्रिया क्रम याद रखें — पहले \(\cap\) फिर \(\cup\) जब संकेत ऐसा दिया हो; मध्यवर्ती परिणाम लिखें और फिर यूनियन लगाएँ। / Compute the intersection first: \(A \cap B = \{4,8\}\) since 4 and 8 are common to A and B. Now take union with C: \(\{4,8\} \cup \{2,8,14\} = \{2,4,8,14\}\). Thus the correct result is \{2,4,8,14\}. The closest distractor \{2,8,14\} is wrong because it omits 4, which belongs to \(A \cap B\). Exam tip: follow the given operation order, write intermediate sets, then apply union or difference as required.
पहले संघ प्राप्त करें: \(A\cup B=\{1,2,3,4,6,8,9\}\). अब इसका C के साथ प्रतिच्छेद लें: \((A\cup B)\cap C=\{1,2,3,4,6,8,9\}\cap\{6,8,10\}=\{6,8\}\). विकल्प {2,6} गलत है क्योंकि 2, भले ही A∪B में है, C में नहीं है। परीक्षा-टिप: या तो पहले संघ करें और फिर प्रतिच्छेद, या वितरणीयता से \((A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)\) लागू कर सकते हैं। / Compute the union first: \(A\cup B=\{1,2,3,4,6,8,9\}\). Intersecting with C gives \((A\cup B)\cap C=\{1,2,3,4,6,8,9\}\cap\{6,8,10\}=\{6,8\}\). The option {2,6} is incorrect because 2 is not an element of C. Exam tip: either form \(A\cup B\) then intersect with C, or use distributivity \((A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)\) to simplify calculations.
(24) और (36) के सामान्य गुणनखंड (1,2,3,4,6,12) हैं। गुणनखंड वाले प्रश्न में पहले दोनों सूचियां बनाएं। / The common factors of (24) and (36) are (1,2,3,4,6,12). In factor questions, first make both lists.
पहले प्रत्येक सेट के तत्व लिखें: \(A\) में 3 के गुणज ≤ 21 हैं: \{3,6,9,12,15,18,21\} और \(B\) में 7 के गुणज ≤ 21 हैं: \{7,14,21\}. संघ \(A\cup B\) दोनों सेटों के सभी अलग-अलग तत्वों को मिलाता है, अतः \{3,6,7,9,12,14,15,18,21\}. उत्तर C सबसे नज़दीकी भ्रांति है क्योंकि उसमें 7 और 14 शामिल नहीं हैं; D और B क्रमशः केवल B के गुणज या केवल 21 दिखाते हैं। परीक्षा टिप: सीमित सीमा पर गुणजों को सूचीबद्ध करके और सामान्य तत्व (यहाँ 21) को एक ही बार गिनकर उत्तर बनाइए। / List multiples within the bound for each set: \(A\) = multiples of 3 ≤21 = {3,6,9,12,15,18,21}; \(B\) = multiples of 7 ≤21 = {7,14,21}. The union \(A\cup B\) contains all distinct elements from both sets, so {3,6,7,9,12,14,15,18,21}. The closest distractor C omits 7 and 14, making it incorrect; options B and D show only a subset of the union. Exam tip: list multiples for each divisor up to the given limit, then combine and remove duplicates (common elements counted once).
संघ \((A\cup B)\) में सेट \(A\) और \(B\) के सभी अलग-अलग अवयव शामिल होते हैं। \(A=\{1,2,5,10\}\) और \(B=\{2,4,6,8,10\}\) को मिलाने पर अवयवों की संयुक्त सूची \(\{1,2,5,10,2,4,6,8,10\}\) बनती है; प्रतिलिपियों को हटाने पर परिणाम \(\{1,2,4,5,6,8,10\}\) आता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल पारस्परिक अवयव \((A\cap B=\{2,10\})\) दे रहा है और विकल्प D सार्वत्रिक सेट है जो उन तत्वों को भी शामिल करता है जो \(A\) या \(B\) में नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: संघ निकालते समय दोनों सेट के सारे तत्व लिखें और फिर डुप्लिकेट हटा दें — यह तेज और त्रुटि-रहित तरीका है। / The union \((A\cup B)\) contains every distinct element that belongs to either \(A\) or \(B\). Combining \(A=\{1,2,5,10\}\) and \(B=\{2,4,6,8,10\}\) gives \(\{1,2,5,10,2,4,6,8,10\}\); removing duplicates yields \(\{1,2,4,5,6,8,10\}\), so option A is correct. Option B lists only the common elements (the intersection), and option D is the entire universal set which wrongly includes elements not in \(A\) or \(B\). Exam tip: to find a union, list elements of both sets and cross out repeats — or use a Venn diagram for a quick visual check.
A और B का प्रतिच्छेदन उन तत्वों का समुच्चय है जो दोनों में सामान्य हों। A और B दोनों में केवल \(c\) और \(e\) हैं, इसलिए \(A\cap B=\{c,e\}\)। विकल्प B (\{a,g\}) में दिए तत्व केवल A में हैं, विकल्प C (\{b,f\}) केवल B में हैं, और विकल्प D (\{d\}) किसी भी सेट A या B में नहीं है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी समुच्चय का प्रतिच्छेदन निकालते समय प्रत्येक तत्व की दोनों सेटों में उपस्थिति जाँच कर लें और केवल साझा तत्व लिखें। / The intersection of A and B consists of elements common to both sets. Checking A and B shows only \(c\) and \(e\) appear in both, so \(A\cap B=\{c,e\}\). Option B (\{a,g\}) lists elements only in A, option C (\{b,f\}) lists elements only in B, and option D (\{d\}) is in the universal set but in neither A nor B. Exam tip: For intersections, check membership of each element in both sets and record only those present in both.
पहले \(B\setminus A\) निकालें: \(B\setminus A=\{5,6\}\) क्योंकि 3 और 4 पहले से \(A\) में हैं। अब \(A\cap (B\setminus A)\) का अर्थ है \(A\) और \(\{5,6\}\) का सामान्य भाग। \(A\) में 5 या 6 शामिल नहीं हैं, इसलिए सामान्य भाग शून्य सेट है, यानी \(\emptyset\)। सबसे नज़दीकी ग़लत विकल्प \(\{5,6\}\) (विकल्प C) है — वह केवल \(B\setminus A\) है, परन्तु प्रश्न उसका \(A\) से प्रतिच्छेद पूछ रहा है। परीक्षा टिप: पहले हमेशा सेट-फरक (\(B\setminus A\)) निकालें और फिर प्रतिच्छेद लें; छोटे सेटों पर तत्वों की जाँच करते समय Venn आरेख मददगार होता है। / Compute \(B\setminus A\) first: \(B\setminus A=\{5,6\}\) because 3 and 4 are already in \(A\). Then \(A\cap (B\setminus A)\) is the common elements of \(A\) and \(\{5,6\}\). Since \(A\) has no 5 or 6, the intersection is the empty set \(\emptyset\). The closest distractor is \(\{5,6\}\) (option C), which equals \(B\setminus A\) but is not the intersection with \(A\). Exam tip: perform the set difference before taking the intersection; for small finite sets, list elements or draw a Venn diagram to avoid mistakes.
