Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\geq 0\) होता है, इसलिए \(f(x)=2x^2\geq 0\)। \(x=0\) पर \(f(0)=0\) मिलता है। साथ ही, किसी भी \(y>0\) के लिए \(x=\sqrt{y/2}\) लेने पर \(f(x)=y\) प्राप्त होता है। अतः फलन के सभी और केवल अऋणात्मक वास्तविक मान मिलते हैं, इसलिए परास \([0,\infty)\) है। विकल्प B निकटतम गलत विकल्प है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(a>0\) वाले \(ax^2\) का न्यूनतम मान \(0\) होता है, यदि परिभाषा-क्षेत्र \(\mathbb{R}\) हो। / For every real \(x\), \(x^2\geq 0\), so \(f(x)=2x^2\geq 0\). At \(x=0\), we get \(f(0)=0\). Also, for any \(y>0\), taking \(x=\sqrt{y/2}\) gives \(f(x)=y\). Thus the function attains all and only non-negative real values, so its range is \([0,\infty)\). Option B is the closest incorrect choice because it excludes \(0\). Exam tip: for \(ax^2\) with \(a>0\) and domain \(\mathbb{R}\), the minimum value is \(0\).
A. प्रांत \(\mathbb{R}\), परिसर \(\mathbb{R}\)/Domain \(\mathbb{R}\), range \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
घन फलन हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है और हर वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए दोनों \(\mathbb{R}\) हैं। / The cubic function is defined for every real (x) and can take every real value. Hence both are \(\mathbb{R}\).
प्रांत के प्रत्येक मान पर फलन लगाएँ: \(f(1)=2\), \(f(2)=3\) और \(f(3)=4\)। इसलिए परास \(\{2,3,4\}\) है। विकल्प B प्रांत है, परास नहीं। परीक्षा में सीमित प्रांत के लिए सभी दिए गए मानों पर फलन लागू करके प्राप्त मानों का समुच्चय लिखें। / Apply the function to every element of the domain: \(f(1)=2\), \(f(2)=3\), and \(f(3)=4\). Therefore, the range is \(\{2,3,4\}\). Option B is the domain itself, not the range. Exam tip: for a finite domain, evaluate the function at each given input and collect the resulting outputs.
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+1\ge 1>0\)। अतः हर वास्तविक \(x\) पर हर भाजक शून्य से भिन्न रहता है और फलन परिभाषित है। इसलिए इसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(x=0\) रखने पर भी भाजक \(1\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: परिमेय फलन का प्रांत निकालते समय भाजक को शून्य करने वाले मानों को हटाएँ। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(x^2+1\ge 1>0\). Thus the denominator is never zero, and the function is defined for every real number. Therefore, its domain is \(\mathbb{R}\). Option B is incorrect because at \(x=0\), the denominator is \(1\), not zero. Exam tip: For a rational function, exclude only those values that make the denominator zero.
वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x+3\ge 0\), अर्थात \(x\ge -3\)। अतः प्रांत \([-3,\infty)\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट दी गई है और \(x=-3\) को शामिल किया गया है, जबकि सही प्रांत में \(-3\) शामिल है और इसके बाद की सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए मूलांक के अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be zero or positive. Thus, \(x+3\ge 0\), which gives \(x\ge -3\). Therefore, the domain is \([-3,\infty)\). Option B reverses the inequality and includes values less than or equal to \(-3\), which do not make \(x+3\) non-negative except at the endpoint. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
निरपेक्ष मान 8|x-2|9 हमेशा 0 या उससे बड़ा होता है। जब 8x=29, तब 8|x-2|=|2-2|=09 होता है, इसलिए न्यूनतम मान 0 है। विकल्प 2 केवल कुछ मानों पर फलन का मान हो सकता है, न्यूनतम मान नहीं। परीक्षा में 8|x-a|9 का न्यूनतम मान सीधे 0 याद रखें, जो 8x=a9 पर प्राप्त होता है। / An absolute value 8|x-2|9 is always greater than or equal to 0. At 8x=29, 8|x-2|=|2-2|=09, so the minimum value is 0. The value 2 can occur for some inputs, but it is not the minimum. Exam tip: for 8|x-a|9, the minimum value is 0, attained at 8x=a9.
प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(|x-2|\) का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए \(f(x)\ge 0\)। \(x=2\) रखने पर \(f(2)=0\) मिलता है, और \(x\) को 2 से दूर ले जाने पर कोई भी गैर-ऋणात्मक मान प्राप्त किया जा सकता है। अतः परास \([0,\infty)\) है। विकल्प \([2,\infty)\) इनपुट में 2 के स्थानांतरण को परास का स्थानांतरण मानने की त्रुटि है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|\) का न्यूनतम मान 0 होता है, यदि \(x=a\) डोमेन में हो। / For every real \(x\), \(|x-2|\) can never be negative, so \(f(x)\ge 0\). At \(x=2\), \(f(2)=0\), and every non-negative value is obtained by taking \(x\) suitably far from 2. Therefore, the range is \([0,\infty)\). The option \([2,\infty)\) incorrectly treats the horizontal shift in the input as a shift in the range. Exam tip: \(|x-a|\) has minimum value 0 when \(x=a\) lies in the domain.
भिन्नात्मक फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x+1\) है, जो \(x=-1\) पर शून्य हो जाता है। इसलिए \(-1\) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रांत में होंगी, अर्थात् \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)। विकल्प B में \(1\) को हटाया गया है, जबकि \(x=1\) पर फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: किसी भिन्नात्मक फलन का प्रांत निकालते समय हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान ज्ञात करें। / The denominator of a fractional function cannot be zero. Here, the denominator \(x+1\) is zero when \(x=-1\), so every real number except \(-1\) belongs to the domain. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). Option B incorrectly excludes \(1\), although the function is defined at \(x=1\). Exam tip: To find the domain of a rational function, set its denominator equal to zero and exclude the resulting values.
वर्गमूल के लिए \(9-x^2 \ge 0\) चाहिए। इससे \(x^2 \le 9\), यानी \(-3 \le x \le 3\) मिलता है। / For the square root, \(9-x^2 \ge 0\) is needed. This gives \(x^2 \le 9\), that is \(-3 \le x \le 3\).
शर्त \(9-x^2 \ge 0\) से ([-3,3]) मिलता है। सिरों को शामिल करें क्योंकि वर्गमूल (0) हो सकता है। / The condition \(9-x^2 \ge 0\) gives ([-3,3]). Include the endpoints because the square root can be (0).
