Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(1<x<4) पर (\operatorname{sgn}(x-1)=1) और (\operatorname{sgn}(x-4)=-1) है। परीक्षा में हर साइनम पद का चिह्न अलग जांचें। / For (1<x<4), (\operatorname{sgn}(x-1)=1) and (\operatorname{sgn}(x-4)=-1). In exams, check the sign of each signum term separately.
हर (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) शून्य होने पर (x=1) और (x=3) हैं। परीक्षा में हर के शून्यों से लंबवत आसमापी खोजें। / The denominator (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) is zero at (x=1) and (x=3). In exams, find vertical asymptotes from the zeroes of the denominator.
\(x\ge4\) पर (|x-1|=x-1) और (|x-4|=x-4) इसलिए (y=3)। परीक्षा में मापांक को सही अंतराल में खोलें। / For \(x\ge4\), (|x-1|=x-1) and (|x-4|=x-4), so (y=3). In exams, open modulus correctly in the given interval.
A. प्रांत \([3,\infty\)) और परिसर (\(-\infty,2]\)/domain \([3,\infty\)) and range (\(-\infty,2]\)
Explanation
Simple Explanation
\(x-3\ge0\) से प्रांत \([3,\infty\)) है और ऋण चिह्न से \(y\le2\)। परीक्षा में वर्गमूल और बाहरी ऋण दोनों का प्रभाव देखें। / From \(x-3\ge0\), the domain is \([3,\infty\)), and the negative sign gives \(y\le2\). In exams, check both the square root and the outside negative sign.
\(|x^2-9|=0\) तब \(x^2-9=0\) होता है इसलिए \(x=\pm3\)। परीक्षा में मापांक शून्य तभी होता है जब अंदर की राशि शून्य हो। / \(|x^2-9|=0\) when \(x^2-9=0\), so \(x=\pm3\). In exams, modulus is zero only when the inside expression is zero.
\(y=1/x\) में \(x\) और \(y\) के चिह्न समान होते हैं, इसलिए शाखाएँ प्रथम व तृतीय चतुर्थांश में होती हैं। \(x=0\) और \(y=0\) नहीं मिलते, अतः दोनों अक्ष स्पर्शोन्मुख हैं। \(1/x^2\) की शाखाएँ केवल ऊपर होती हैं। टिप: घात के चिह्न से चतुर्थांश पहचानें। / For \(y=1/x\), x and y have the same sign, so its branches lie in quadrants I and III. Neither x nor y can be zero, making both axes asymptotes. In contrast, \(1/x^2\) remains above the x-axis. Exam tip: use signs and powers to locate branches.
हर (x-5=0) से (x=5) और समान घातों के अग्र गुणांकों का अनुपात (3) है। परीक्षा में दोनों आसमापी अलग नियम से निकालें। / The denominator (x-5=0) gives (x=5), and the ratio of leading coefficients is (3). In exams, find the two asymptotes using different rules.
मापांक ग्राफ का शीर्ष (x=-4) है और उसके बाद ग्राफ बढ़ता है। परीक्षा में (V)-ग्राफ का दायां भाग बढ़ता हुआ याद रखें। / The modulus graph has vertex at (x=-4), and after that it increases. In exams, remember the right arm of a (V)-graph is increasing.
मान लें \(t=|x|\ge0\) तब (f=t-2-4t=(t-2)2-4) है। परीक्षा में (|x|) को नए चर की तरह लेकर न्यूनतम निकालें। / Let \(t=|x|\ge0\), then (f=t-2-4t=(t-2)2-4). In exams, use (|x|) as a new variable to find the minimum.
\(\sqrt{x+1}=x-1\) में \(x\ge1\) और (x=3) रखने पर दोनों (2) हैं। परीक्षा में वर्ग करने से पहले दाईं ओर अनऋणात्मक होनी चाहिए। / In \(\sqrt{x+1}=x-1\), \(x\ge1\), and at (x=3) both sides are (2). In exams, the right side must be non-negative before squaring.
