Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)) और \(B\cup C={2,3,4,5}\)। इसलिए \(2\cdot4=8\) अवयव हैं। / (\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)), and \(B\cup C={2,3,4,5}\). Thus there are \(2\cdot4=8\) elements.
युग्म ((1,4),(2,5),(4,1),(5,2)) हैं, कुल (4)। उलटे क्रमित युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((1,4),(2,5),(4,1),(5,2)), totaling (4). Reversed ordered pairs are counted separately.
योग \(a+b\) तभी सम होगा जब \(a\) और \(b\) दोनों सम हों या दोनों विषम हों। सम संख्याएँ: \(A\) में 3 और \(B\) में 2, इसलिए ऐसे युग्म \(3\times2=6\) हैं। विषम संख्याएँ: \(A\) में 2 और \(B\) में 2, इसलिए \(2\times2=4\) युग्म हैं। कुल \(6+4=10\), अतः सही उत्तर B है। विकल्प 12 में सामान्यतः किसी एक समता-वर्ग की गिनती गलत जुड़ जाती है। परीक्षा-टिप: सम योग के लिए ‘सम-सम’ और ‘विषम-विषम’ मामलों को अलग-अलग गिनें। / The sum \(a+b\) is even exactly when both \(a\) and \(b\) are even or both are odd. Set \(A\) has 3 even and 2 odd elements, while set \(B\) has 2 even and 2 odd elements. Thus, the number of even-even pairs is \(3\times2=6\), and the number of odd-odd pairs is \(2\times2=4\). Therefore, the total is \(6+4=10\), so option B is correct. The distractor 12 usually results from miscounting one parity group. Exam tip: for an even sum, count the even-even and odd-odd cases separately.
(a=1,2,3,4,5,6) के लिए (b) के (4,4,4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (18)। \(\le\) में बराबरी भी गिनें। / For (a=1,2,3,4,5,6), the counts of (b) are (4,4,4,3,2,1), totaling (18). Include equality in \(\le\).
गुणनफल विषम तभी होगा जब दोनों अवयव विषम हों। (A) में (3) और (B) में (2) विषम अवयव हैं, इसलिए \(3\cdot2=6\)। / The product is odd only when both components are odd. (A) has (3) odd elements and (B) has (2), so \(3\cdot2=6\).
प्रत्येक a ∈ A के लिए b = 3a जाँचते हैं। a = 1, 2, 3, 4 के लिए क्रमशः b = 3, 6, 9, 12 प्राप्त होते हैं, और ये सभी B में हैं। a = 5 के लिए b = 15 मिलता है, जो B में नहीं है। इसलिए युग्म हैं (1, 3), (2, 6), (3, 9) और (4, 12), अर्थात कुल 4 युग्म। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में केवल वे a मान गिनें जिनके लिए 3a, B का सदस्य हो। / For each a ∈ A, evaluate b = 3a. For a = 1, 2, 3, and 4, the corresponding values of b are 3, 6, 9, and 12, all of which belong to B. For a = 5, b = 15, which is not in B. Thus the valid ordered pairs are (1, 3), (2, 6), (3, 9), and (4, 12), giving a total of 4 pairs. Exam tip: Count only those values of a for which 3a is an element of B.
समीकरण \(a-2b=1\) से \(a=2b+1\) प्राप्त होता है। \(b\) के मान \(0,1,2,3\) रखने पर क्रमशः \(a=1,3,5,7\) मिलते हैं, और ये सभी \(A\) में हैं। इसलिए युग्म \((1,0),(3,1),(5,2),(7,3)\) हैं तथा कुल 4 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले छोटे समुच्चय के प्रत्येक मान को समीकरण में रखकर जाँच करें कि प्राप्त मान दूसरे समुच्चय में है या नहीं। / From \(a-2b=1\), we get \(a=2b+1\). Substituting \(b=0,1,2,3\) gives \(a=1,3,5,7\), respectively, and all these values belong to \(A\). Thus the valid ordered pairs are \((1,0),(3,1),(5,2),(7,3)\), giving a total of 4 pairs. Exam tip: test every value of one set in the equation and retain only those for which the resulting value belongs to the other set.
दो संख्याओं का अंतर तभी सम होता है जब दोनों की समता समान हो, अर्थात दोनों सम या दोनों विषम हों। सम संख्याओं से बनने वाले युग्मों की संख्या \(2\times2=4\) है, क्योंकि \(A\) में 2 सम और \(B\) में 2 सम संख्याएँ हैं। विषम संख्याओं से बनने वाले युग्मों की संख्या \(2\times3=6\) है। अतः कुल युग्म \(4+6=10\) हैं। परीक्षा-युक्ति: सम अंतर के लिए समान समता वाले पदों की गिनती करके गुणा करें। / The difference of two integers is even exactly when both integers have the same parity—both even or both odd. Set \(A\) has 2 even and 2 odd numbers, while set \(B\) has 2 even and 3 odd numbers. Therefore, the number of valid ordered pairs is \(2\times2+2\times3=4+6=10\). The pairs are ordered, so the first element is selected from \(A\) and the second from \(B\). Exam tip: for an even difference, count pairs with matching parity.
कुल (36) युग्म हैं और बराबर युग्म (6) हैं, इसलिए (36-6=30)। पूरक गिनती तेज तरीका है। / There are (36) total pairs and (6) equal pairs, so (36-6=30). Complement counting is a quick method.
हर \(a\in A\) का \(a^2\) (B) में है, इसलिए (7) युग्म बनते हैं। ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग को ध्यान से देखें। / For every \(a\in A\), \(a^2\) is in (B), so (7) pairs are formed. Watch squares of negative numbers carefully.
