Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(|A\times B|=3\cdot2=6\) और फिर \(6\cdot2=12\)। नेस्टेड गुणनफल में भी कार्डिनलिटी गुणा होती है। / \(|A\times B|=3\cdot2=6\), and then \(6\cdot2=12\). Cardinality still multiplies in nested products.
कुल (16) युग्म हैं और विकर्ण युग्म (4) हैं, इसलिए (16-4=12)। विकर्ण हटाने पर \(a\ne b\) वाले युग्म बचते हैं। / There are (16) total pairs and (4) diagonal pairs, so (16-4=12). Removing the diagonal leaves pairs with \(a\ne b\).
a + b, 2 से तभी विभाज्य होगा जब a और b दोनों सम हों या दोनों विषम हों। सम संख्याएँ: A में 2 और B में 2, इसलिए 2 × 2 = 4 युग्म। विषम संख्याएँ: A में 3 और B में 2, इसलिए 3 × 2 = 6 युग्म। अतः कुल युग्म 4 + 6 = 10 हैं। ध्यान रखें कि क्रमित युग्मों में (a, b) और (b, a) सामान्यतः अलग माने जाते हैं। / a + b is divisible by 2 precisely when a and b have the same parity. The even elements are 2 in A and 2 in B, giving 2 × 2 = 4 pairs. The odd elements are 3 in A and 2 in B, giving 3 × 2 = 6 pairs. Therefore, the total number of pairs is 4 + 6 = 10. Exam tip: count even-even and odd-odd pairs separately for divisibility by 2.
(a=1) पर (b=3,4) और (a=2) पर (b=4) मिलता है, कुल (3)। शर्त को प्रत्येक पहले अवयव पर लगाएँ। / For (a=1), (b=3,4); for (a=2), (b=4), giving total (3). Apply the condition to each first component.
\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से आता है। क्रमित युग्म में स्थान बदलना गलती कराता है। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). Changing positions is a common mistake.
मान लें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\)। यदि \(A=\{x\in\mathbb{N}:3\le x\le 8\}\) और \(B=\{y\in\mathbb{N}:y\le 4\}\) हैं, तो \(|A\times B|\) का मान क्या है?
समुच्चय \(A\) में \(3,4,5,6,7,8\) हैं, इसलिए \(|A|=6\)। \(\mathbb{N}\) को धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय मानने पर \(B=\{1,2,3,4\}\), अतः \(|B|=4\)। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|A\times B|=|A|\times|B|=6\times4=24\)। इसलिए सही उत्तर 24 है। परीक्षा में पहले दोनों समुच्चयों की cardinality गिनकर गुणा करें। / Set \(A\) contains \(3,4,5,6,7,8\), so \(|A|=6\). Since \(\mathbb{N}\) is specified as the set of positive integers, \(B=\{1,2,3,4\}\), giving \(|B|=4\). For Cartesian products, \(|A\times B|=|A|\times|B|=6\times4=24\). Hence, the correct answer is 24. Exam tip: count the elements of both sets first, then multiply their cardinalities.
तीन समुच्चयों में कार्डिनलिटी \(2\cdot3\cdot2=12\) होती है। क्रमित त्रिक में सभी आकार गुणा करें। / The cardinality for three sets is \(2\cdot3\cdot2=12\). For ordered triples, multiply all sizes.
कार्तीय गुणनफल में पहले समुच्चय के प्रत्येक अवयव को दूसरे समुच्चय के प्रत्येक अवयव के साथ जोड़ा जाता है। इसलिए \(|B\times A|=|B|\times|A|=4\times2=8\)। विकल्प 16 लेने पर प्रायः \(4\times4\) जैसी गलत गणना होती है, जबकि दूसरे समुच्चय में केवल 2 अवयव हैं। परीक्षा-युक्ति: \(|X\times Y|=|X||Y|\) सूत्र याद रखें; क्रम बदलने पर युग्म बदल सकते हैं, पर उनकी संख्या समान रहती है। / In a Cartesian product, each element of the first set is paired with every element of the second set. Hence, \(|B\times A|=|B|\times|A|=4\times2=8\). Choosing 16 usually results from incorrectly using \(4\times4\), even though the second set has only 2 elements. Exam tip: use \(|X\times Y|=|X||Y|\); reversing the order may change the pairs, but not their total number.
शर्त \(a+b=9\) से \(b=9-a\) प्राप्त होता है। \(a=1,2,3,4,5\) के लिए क्रमशः \(b=8,7,6,5,4\) मिलते हैं। इनमें केवल \((3,6)\) और \((5,4)\) में पहला अवयव \(A\) तथा दूसरा अवयव \(B\) का सदस्य है। इसलिए ऐसे क्रमित युग्मों की संख्या 2 है। परीक्षा-युक्ति: हर \(a\) के लिए \(b=9-a\) निकालकर जाँचें कि \(b\in B\) है या नहीं। / From \(a+b=9\), we get \(b=9-a\). For \(a=1,2,3,4,5\), the corresponding values of \(b\) are \(8,7,6,5,4\), respectively. Only \((3,6)\) and \((5,4)\) have the first component in \(A\) and the second component in \(B\). Hence, the number of required ordered pairs is 2. Exam tip: For each \(a\in A\), calculate \(b=9-a\) and check whether \(b\in B\).
(a=0,1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (14)। असमानता में पंक्ति अनुसार गिनें। / For (a=0,1,2,3,4), the counts of (b) are (4,4,3,2,1), totaling (14). Count row-wise in inequality questions.
