Practice focused topic-wise MCQs with answers and explanations for quick revision and exam preparation.
Difficulty select karke sirf is topic ke focused MCQs practice karein. Score, timer aur explanations student-friendly flow me milenge.
Showing 521-530 of 609 questions.
How many diagonals are there in a convex polygon with (10) sides?
B. (35)
दो शीर्ष चुनने के कुल तरीके \(^{10}C_{2}\) हैं। भुजाएं (10) घटाने पर विकर्ण (35) मिलते हैं। / Total ways to choose two vertices are \(^{10}C_{2}\). Subtract (10) sides to get (35) diagonals.
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How many quadrilaterals can be formed from a convex polygon with (12) sides?
C. 495
उत्तल 12-भुज के किसी भी 4 शीर्षों को चुनने पर एक चतुर्भुज बनता है। अतः चतुर्भुजों की संख्या \(\binom{12}{4}=495\) होगी। यहाँ शीर्षों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है, इसलिए क्रमचय नहीं बल्कि संयोजन प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 450 जैसा मान \(\binom{10}{2}\) से मिलता है, जो इस प्रश्न में आवश्यक 4 शीर्षों के चयन को नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: उत्तल \(n\)-भुज से बनने वाले चतुर्भुजों की संख्या \(\binom{n}{4}\) होती है। / Every selection of 4 vertices of a convex 12-sided polygon determines exactly one quadrilateral. Therefore, the required number is \(\binom{12}{4}=495\). Since the order of selecting vertices does not matter, combinations—not permutations—are used. For instance, 450 equals \(\binom{10}{2}\), which does not represent choosing 4 vertices here. Exam tip: The number of quadrilaterals formed from a convex \(n\)-gon is \(\binom{n}{4}\).
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A. 1583
कुल 13 खिलाड़ियों में से 6 चुनने के तरीके \(\binom{13}{6}=1716\) हैं। इनमें उन समूहों को हटाएँ जिनमें 0 या 1 गेंदबाज है। 0 गेंदबाज के लिए \(\binom{7}{6}=7\) तरीके और 1 गेंदबाज के लिए \(\binom{6}{1}\binom{7}{5}=6\times21=126\) तरीके हैं। अतः आवश्यक संख्या \(1716-7-126=1583\) है। विकल्प 1589 में एक गेंदबाज वाले मामलों की गणना गलत होती है। परीक्षा टिप: “कम से कम” वाली शर्त में प्रायः पूरक मामलों को घटाना तेज रहता है। / There are \(\binom{13}{6}=1716\) ways to choose 6 players from all 13 players. Exclude groups containing 0 or 1 bowler. With 0 bowlers, the number of groups is \(\binom{7}{6}=7\). With 1 bowler, it is \(\binom{6}{1}\binom{7}{5}=6\times21=126\). Hence the required number is \(1716-7-126=1583\). The option 1589 results from an incorrect count of the one-bowler cases. Exam tip: for an “at least” condition, counting by complement is often quicker.
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C. (310)
कुल \(^{11}C_{4}=330\) से केवल भारतीय \(^{6}C_{4}=15\) और केवल विदेशी \(^{5}C_{4}=5\) हटाएं। उत्तर (310)। / Subtract all-Indian \(^{6}C_{4}=15\) and all-foreign \(^{5}C_{4}=5\) from total \(^{11}C_{4}=330\). Answer (310).
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A. (875)
पहले (5) में से (3,4,5) चुनकर बाकी (10) से पूर्ति करें। \(^{5}C_{3}{}^{10}C_{7}+^{5}C_{4}{}^{10}C_{6}+^{5}C_{5}{}^{10}C_{5}=875\)। / Choose (3,4,5) from the first (5) and complete from the remaining (10). \(^{5}C_{3}{}^{10}C_{7}+^{5}C_{4}{}^{10}C_{6}+^{5}C_{5}{}^{10}C_{5}=875\).
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D. (945)
मामले (3,5), (4,4), और (5,3) हैं। योग \(^{6}C_{3}{}^{7}C_{5}+^{6}C_{4}{}^{7}C_{4}+^{6}C_{5}{}^{7}C_{3}=945\)। / Cases are (3,5), (4,4), and (5,3). Sum \(^{6}C_{3}{}^{7}C_{5}+^{6}C_{4}{}^{7}C_{4}+^{6}C_{5}{}^{7}C_{3}=945\).
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B. (21)
विशेष अभ्यर्थी को निश्चित मानें और बाकी (2) को (7) में से चुनें। संख्या \(^{7}C_{2}=21\)। / Fix the particular candidate and choose remaining (2) from (7). The number is \(^{7}C_{2}=21\).
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A. (105)
कुल \(^{9}C_{4}=126\) हैं। दोनों विरोधी साथ होने पर \(^{7}C_{2}=21\) हटाएं, उत्तर (105)। / Total selections are \(^{9}C_{4}=126\). Remove \(^{7}C_{2}=21\) selections containing both rivals, answer (105).
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B. (60)
ठीक (2) भौतिकी के लिए \(^{4}C_{2}\) और (3) गणित के लिए \(^{5}C_{3}\)। गुणन से (60) मिलता है। / For exactly (2) physics books use \(^{4}C_{2}\), and for (3) mathematics books use \(^{5}C_{3}\). Product is (60).
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C. 2170
5 गेंदों में तीनों रंगों की कम से कम एक गेंद होने पर रंगों का वितरण केवल (3,1,1) या (2,2,1) हो सकता है। वितरण (3,1,1) के लिए चयन हैं: \(\binom63\binom51\binom41+\binom61\binom53\binom41+\binom61\binom51\binom43=760\)। वितरण (2,2,1) के लिए चयन हैं: \(\binom62\binom52\binom41+\binom62\binom51\binom42+\binom61\binom52\binom42=1410\)। अतः कुल चयन \(760+1410=2170\) हैं। विकल्प 1410 केवल दूसरे वितरण का योग है। परीक्षा टिप: रंग-वितरण लिखते समय एक ही वितरण के रंगों के सभी क्रम अवश्य शामिल करें। / Since each colour must be represented among 5 balls, the only possible colour distributions are (3,1,1) and (2,2,1). For (3,1,1), the number of selections is \(\binom63\binom51\binom41+\binom61\binom53\binom41+\binom61\binom51\binom43=760\). For (2,2,1), it is \(\binom62\binom52\binom41+\binom62\binom51\binom42+\binom61\binom52\binom42=1410\). Hence, the total is \(760+1410=2170\). Option 1410 counts only the second distribution. Exam tip: when listing colour distributions, include every assignment of the quantities to the colours.
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