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लड़कों की संख्या (2), (3) या (4) हो सकती है। कुल \(\binom{10}{2}\binom{9}{4}+\binom{10}{3}\binom{9}{3}+\binom{10}{4}\binom{9}{2}=23310\) है। / The number of boys can be (2), (3), or (4). The total is \(\binom{10}{2}\binom{9}{4}+\binom{10}{3}\binom{9}{3}+\binom{10}{4}\binom{9}{2}=23310\).
(4) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (13) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{13}{6}=1716\) तरीके होंगे। / After excluding (4) special students (13) students remain. So the number of ways is \(\binom{13}{6}=1716\).
चयन में ठीक 4 लड़के होने हैं, इसलिए शेष 2 विद्यार्थी लड़कियाँ होंगी। 10 लड़कों में से 4 लड़कों को
\(\binom{10}{4}=210\) तरीकों से और 8 लड़कियों में से 2 लड़कियों को \(\binom{8}{2}=28\) तरीकों से चुना जा सकता है। अतः कुल तरीके \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}=210\times28=5880\) हैं। यहाँ \(\binom{10}{6}\) लेना गलत होगा, क्योंकि उसमें लड़कों की संख्या ठीक 4 होने की शर्त सुनिश्चित नहीं होती। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक समूह से आवश्यक संख्या अलग-अलग चुनकर गुणा करें। / Exactly 4 boys must be selected, so the remaining 2 students must be girls. The 4 boys can be chosen from 10 in \(\binom{10}{4}=210\) ways, and the 2 girls can be chosen from 8 in \(\binom{8}{2}=28\) ways. Therefore, the total number of selections is \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}=210\times28=5880\). Using \(\binom{10}{6}\) alone would be incorrect because it does not enforce the condition of selecting exactly 4 boys. Exam tip: choose the required members from each group separately and multiply the results.
महिलाएं (3), (4), (5) या (6) हो सकती हैं। कुल \(\binom{7}{3}\binom{9}{3}+\binom{7}{4}\binom{9}{2}+\binom{7}{5}\binom{9}{1}+\binom{7}{6}=4396\) है। / The number of women can be (3), (4), (5), or (6). The total is \(\binom{7}{3}\binom{9}{3}+\binom{7}{4}\binom{9}{2}+\binom{7}{5}\binom{9}{1}+\binom{7}{6}=4396\).
संचय में चुनी गई वस्तुओं का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता; जैसे A, B, C और C, B, A एक ही चयन हैं। क्रमचय में क्रम बदलने पर नया विन्यास बनता है। परीक्षा में “क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं” दिखे, तो संचय पहचानें। / In a combination, order does not matter: choosing A, B, C is the same as choosing C, B, A. In a permutation, changing the order gives a new arrangement. Exam tip: the phrase “order does not matter” indicates combinations.
पहले (5) में से (3), (4) या (5) प्रश्न चुने जा सकते हैं। कुल \(\binom{5}{3}\binom{7}{4}+\binom{5}{4}\binom{7}{3}+\binom{5}{5}\binom{7}{2}=462\) है। / You can choose (3), (4), or (5) from the first (5) questions. The total is \(\binom{5}{3}\binom{7}{4}+\binom{5}{4}\binom{7}{3}+\binom{5}{5}\binom{7}{2}=462\).
कुल \(\binom{14}{6}=3003\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{12}{4}=495\) हैं। इसलिए (3003-495=2508) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{14}{6}=3003\) and ways with both special books are \(\binom{12}{4}=495\). Hence (3003-495=2508).
(4) विशेष में से (2) और बाकी (9) में से (4) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{9}{4}=756\) हैं। / Choose (2) from (4) special players and (4) from the remaining (9). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{9}{4}=756\).
कुल \(\binom{20}{2}=190\) जोड़ियां हैं। समरेखीय समूहों के लिए \(\binom{8}{2}\) और \(\binom{5}{2}\) के स्थान पर (1), (1) रेखा लेने से (154) मिलता है। / Total pairs are \(\binom{20}{2}=190\). Replacing \(\binom{8}{2}\) and \(\binom{5}{2}\) by (1), (1) for collinear groups gives (154).
कुल \(\binom{18}{3}=816\) त्रिक हैं। असफल त्रिक \(\binom{7}{3}+\binom{5}{3}=45\) हैं इसलिए (816-45=771) है। / Total triples are \(\binom{18}{3}=816\). Failed triples are \(\binom{7}{3}+\binom{5}{3}=45\), so (816-45=771).
टीमों की जोड़ियां \(\binom{16}{2}=120\) हैं। हर जोड़ी के (3) मैच होने से कुल (360) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{16}{2}=120\). With (3) matches for each pair the total is (360).
कुल \(\binom{12}{6}=924\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{10}{4}=210\) हैं। इसलिए (924-210=714) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{12}{6}=924\) and ways with both special persons are \(\binom{10}{4}=210\). Hence (924-210=714).
मामले (4), (5) और (6) गणित पुस्तकों के हैं। कुल \(\binom{11}{4}\binom{8}{2}+\binom{11}{5}\binom{8}{1}+\binom{11}{6}=13398\) है। / The cases are (4), (5), and (6) mathematics books. The total is \(\binom{11}{4}\binom{8}{2}+\binom{11}{5}\binom{8}{1}+\binom{11}{6}=13398\).
अंग्रेजी पुस्तकों की संख्या (2), (3) या (4) हो सकती है। कुल \(\binom{9}{2}\binom{10}{4}+\binom{9}{3}\binom{10}{3}+\binom{9}{4}\binom{10}{2}=23310\) है। / The number of English books can be (2), (3), or (4). The total is \(\binom{9}{2}\binom{10}{4}+\binom{9}{3}\binom{10}{3}+\binom{9}{4}\binom{10}{2}=23310\).
डॉक्टरों की संख्या (4), (5) या (6) होगी। कुल \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}+\binom{10}{5}\binom{8}{1}+\binom{10}{6}=8106\) है। / The number of doctors will be (4), (5), or (6). The total is \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}+\binom{10}{5}\binom{8}{1}+\binom{10}{6}=8106\).
चयन (4), (5) या (6) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{14}{4}+\binom{14}{5}+\binom{14}{6}=6006\) है। / The selection can be of (4), (5), or (6) gifts. The total is \(\binom{14}{4}+\binom{14}{5}+\binom{14}{6}=6006\).
एक रंग तय और एक हट गया है। बाकी (5) रंग (10) में से चुनें और दोनों अन्य रंग न आने वाले \(\binom{8}{5}\) चयन घटाएं तो (196) मिलेगा। / One color is fixed and one is excluded. Choose the remaining (5) colors from (10) and subtract \(\binom{8}{5}\) selections missing both other colors to get (196).
(5) विशेष में से (3) और बाकी (8) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{3}\binom{8}{3}=560\) हैं। / Choose (3) from (5) special students and (3) from the remaining (8). The ways are \(\binom{5}{3}\binom{8}{3}=560\).
कुल \(\binom{16}{7}=11440\) हैं। (0) और (1) विशेष वाले चयन हटाने पर \(11440-\binom{11}{7}-\binom{5}{1}\binom{11}{6}=8800\) है। / Total ways are \(\binom{16}{7}=11440\). Removing selections with (0) and (1) special student gives \(11440-\binom{11}{7}-\binom{5}{1}\binom{11}{6}=8800\).
समिति में ठीक 3 पुरुष होने पर शेष 3 सदस्य महिलाएँ होंगी। 11 पुरुषों में से 3 चुनने के \(\binom{11}{3}=165\) तरीके और 9 महिलाओं में से 3 चुनने के \(\binom{9}{3}=84\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{11}{3}\binom{9}{3}=165\times84=13860\) हैं। केवल \(\binom{20}{6}\) लेना गलत होगा, क्योंकि उससे ठीक 3 पुरुष होने की शर्त सुनिश्चित नहीं होती। परीक्षा टिप: ‘ठीक’ दिए होने पर प्रत्येक समूह से आवश्यक संख्या अलग-अलग चुनकर गुणा करें। / With exactly 3 men in the committee, the remaining 3 members must be women. There are \(\binom{11}{3}=165\) ways to choose the men and \(\binom{9}{3}=84\) ways to choose the women. Hence, the total number of committees is \(\binom{11}{3}\binom{9}{3}=165\times84=13860\). Using only \(\binom{20}{6}\) would be incorrect because it does not enforce the condition of exactly 3 men. Exam tip: When ‘exactly’ is specified, choose from each group separately and multiply.
पेन (2), (3), (4) या (5) हो सकते हैं। कुल \(\binom{10}{2}\binom{9}{5}+\binom{10}{3}\binom{9}{4}+\binom{10}{4}\binom{9}{3}+\binom{10}{5}\binom{9}{2}=47502\) है। / The number of pens can be (2), (3), (4), or (5). The total is \(\binom{10}{2}\binom{9}{5}+\binom{10}{3}\binom{9}{4}+\binom{10}{4}\binom{9}{3}+\binom{10}{5}\binom{9}{2}=47502\).
\(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=153\), यानी \(n(n-1)=306\)। क्योंकि \(18\times17=306\), इसलिए \(n=18\) है। विकल्प 17 सही नहीं है, क्योंकि \(\binom{17}{2}=136\) होता है। परीक्षा टिप: संयोजन के ऐसे प्रश्नों में पहले \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) लिखकर क्रमागत संख्याओं का गुणनफल जाँचें। / \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\). Hence, \(\frac{n(n-1)}{2}=153\), so \(n(n-1)=306\). Since \(18\times17=306\), \(n=18\). Option 17 is not correct because \(\binom{17}{2}=136\). Exam tip: For such questions, first use \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) and look for consecutive integers whose product matches the result.
संयोजन का गुणधर्म है कि \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। यहाँ \(\binom{n}{6}=\binom{n}{10}\) होने के लिए 6 और 10, \(n\) के सापेक्ष पूरक होने चाहिए। अतः \(n-6=10\), इसलिए \(n=16\)। विकल्प 14 में \(14-6=8\) होता है, इसलिए वह समानता नहीं देता। परीक्षा टिप: जब \(\binom{n}{r}=\binom{n}{s}\) और \(r\ne s\) हो, तो सामान्यतः \(r+s=n\) का उपयोग करें। / Use the identity \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). For \(\binom{n}{6}=\binom{n}{10}\), 6 and 10 must be complementary with respect to \(n\). Thus, \(n-6=10\), giving \(n=16\). For option 14, \(14-6=8\), so it does not give the stated equality. Exam tip: when \(\binom{n}{r}=\binom{n}{s}\) and \(r\ne s\), usually use \(r+s=n\).
एक समूह में n भिन्न वस्तुएँ हैं। उनमें से r वस्तुओं का चयन करते समय यदि एक निश्चित वस्तु का चयन अनिवार्य हो, तो चयन की संख्या किस व्यंजक से दर्शाई जाएगी?
निश्चित वस्तु पहले ही चुनी जा चुकी है। इसलिए शेष n−1 वस्तुओं में से केवल r−1 वस्तुएँ चुननी होती हैं, अतः संख्या \(\binom{n-1}{r-1}\) है। \(\binom{n-1}{r}\) में निश्चित वस्तु शामिल नहीं मानी जाती। परीक्षा टिप: ‘अनिवार्य’ वस्तु को पहले चुनें। / The specified object is already fixed in the selection. Thus, choose the remaining r−1 objects from the other n−1 objects, giving \(\binom{n-1}{r-1}\). \(\binom{n-1}{r}\) instead excludes the specified object. Exam tip: fix every compulsory object first.
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{13}{6}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{13}{6}\).
पास्कल के सर्वसमिका के अनुसार \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\)। अतः \(\binom{14}{7}-\binom{13}{7}=\binom{13}{6}=1716\)। इसलिए सही विकल्प B है। \(3432\), \(\binom{14}{7}\) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर वाले प्रश्नों में सीधे पास्कल की सर्वसमिका लगाकर गणना कम करें। / Using Pascal’s identity, \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\). Therefore, \(\binom{14}{7}-\binom{13}{7}=\binom{13}{6}=1716\). Hence, option B is correct. The value \(3432\) is \(\binom{14}{7}\), not the difference. Exam tip: For differences of adjacent binomial coefficients, apply Pascal’s identity to avoid lengthy calculation.
(1) और (2) तय हैं तथा (3), (4) हट गए हैं। बाकी (4) तत्व (9) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) है। / The elements (1), (2) are fixed and (3), (4) are excluded. The remaining (4) elements are chosen from (9), so \(\binom{9}{4}=126\).
(1) तय है इसलिए (5) तत्व (11) में से चुनेंगे। (5), (6) दोनों होने पर \(\binom{9}{3}=84\) घटाने से (462-84=378) मिलता है। / The element (1) is fixed so choose (5) elements from (11). Subtracting \(\binom{9}{3}=84\) cases containing both (5), (6) gives (462-84=378).
(4) की (9) गुणज और (27) गैर-गुणज संख्याएं हैं। तरीके \(\binom{9}{3}\binom{27}{2}=29484\) हैं। / There are (9) multiples of (4) and (27) non-multiples. The ways are \(\binom{9}{3}\binom{27}{2}=29484\).
विषम संख्याएं (15) और सम संख्याएं (15) हैं। तरीके \(\binom{15}{3}\binom{15}{3}=207025\) हैं। / There are (15) odd numbers and (15) even numbers. The ways are \(\binom{15}{3}\binom{15}{3}=207025\).
(6) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (14) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{14}{7}=3432\) तरीके हैं। / After removing (6) special students (14) students remain. Hence there are \(\binom{14}{7}=3432\) ways.
समूह में शिक्षकों की संख्या 3, 4, 5, 6 या 7 हो सकती है। अतः कुल तरीके हैं: \(\binom{10}{3}\binom{12}{4}+\binom{10}{4}\binom{12}{3}+\binom{10}{5}\binom{12}{2}+\binom{10}{6}\binom{12}{1}+\binom{10}{7}\binom{12}{0}\) = \(59400+46200+16632+2520+120=124872\)। इसलिए सही विकल्प C है। केवल \(\binom{10}{3}\binom{12}{4}\) लेने पर केवल ठीक 3 शिक्षकों वाला मामला गिना जाएगा, जबकि प्रश्न में कम से कम 3 शिक्षक हैं। परीक्षा टिप: “कम से कम” वाले प्रश्नों में सभी संभव मामलों का योग करें। / The number of teachers in the group can be 3, 4, 5, 6, or 7. Hence, the total number of groups is \(\binom{10}{3}\binom{12}{4}+\binom{10}{4}\binom{12}{3}+\binom{10}{5}\binom{12}{2}+\binom{10}{6}\binom{12}{1}+\binom{10}{7}\binom{12}{0}\) = \(59400+46200+16632+2520+120=124872\). Therefore, option C is correct. Using only \(\binom{10}{3}\binom{12}{4}\) counts exactly 3 teachers, not at least 3 teachers. Exam tip: for “at least” conditions, add all the valid cases.
कुल \(\binom{19}{6}=27132\) हैं। सभी सफेद \(\binom{9}{6}=84\) और सभी काली \(\binom{10}{6}=210\) हटाने पर (26838) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{19}{6}=27132\). Removing all-white \(\binom{9}{6}=84\) and all-black \(\binom{10}{6}=210\) gives (26838).
सभी पुरस्कार समान हैं, इसलिए चुने गए 5 उम्मीदवारों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। अतः संयोजनों की संख्या
\(\binom{15}{5}=\frac{15!}{5!\,10!}=3003\) होगी। विकल्प 360360 क्रमचय \(^{15}P_5\) है, जो तब लिया जाता जब पुरस्कार अलग-अलग होते। परीक्षा टिप: ‘समान’ वस्तुओं के चयन में क्रम नहीं गिनते, इसलिए संयोजन लगाएँ। / Since all the prizes are identical, the order of the 5 selected candidates does not matter. Hence, the number of selections is
\(\binom{15}{5}=\frac{15!}{5!\,10!}=3003\). The value 360360 is \(^{15}P_5\), which would apply if the prizes were distinct. Exam tip: when identical items are awarded, use combinations because order is irrelevant.
कुल \(\binom{12}{6}=924\) हैं और कोई विशेष मित्र न जाए तो \(\binom{8}{6}=28\) हैं। इसलिए (924-28=896) है। / Total ways are \(\binom{12}{6}=924\) and if no special friend goes then \(\binom{8}{6}=28\). Hence (924-28=896).
विशेष फलों में से (2) और बाकी (8) में से (4) चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{2}\binom{8}{4}=700\) हैं। / Choose (2) from the special fruits and (4) from the remaining (8). The ways are \(\binom{5}{2}\binom{8}{4}=700\).
हर रंग की शर्त अलग गिनी जाएगी। तरीके \(\binom{8}{2}\binom{9}{2}\binom{10}{2}=45360\) हैं। / Each color condition is counted separately. The ways are \(\binom{8}{2}\binom{9}{2}\binom{10}{2}=45360\).
(a) तय है और (b) हट गया है। (c,d) में से (1) और शेष (8) में से (3) चुनेंगे इसलिए \(\binom{2}{1}\binom{8}{3}=112\) है। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded. Choose (1) from (c,d) and (3) from the remaining (8), so \(\binom{2}{1}\binom{8}{3}=112\).
रसायन तय और जीवविज्ञान हट गया है। बाकी (4) विषय (8) में से चुनें और गणित-भौतिकी दोनों वाले \(\binom{6}{2}\) चयन घटाएं तो (55) मिलते हैं। / Chemistry is fixed and biology is excluded. Choose the remaining (4) subjects from (8) and subtract \(\binom{6}{2}\) selections containing both mathematics and physics to get (55).
(3) संख्याएं तय हैं और (2) हट गई हैं। बाकी (4) संख्याएं (11) में से \(\binom{11}{4}=330\) नहीं, बल्कि (16-3-2=11) से \(\binom{11}{4}=330\) होती हैं। / The (3) numbers are fixed and (2) are excluded. The remaining (4) numbers are chosen from (16-3-2=11), so \(\binom{11}{4}=330\).
असफल त्रिभुज के लिए (9) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{9}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (9) collinear points. So the number is \(\binom{9}{3}\).
(5) खराब कुर्सियां हटाने पर (9) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (7) चुनने के तरीके \(\binom{9}{7}=36\) हैं। / After removing (5) broken chairs (9) good chairs remain. The ways to choose (7) are \(\binom{9}{7}=36\).
दोनों शामिल हों तो \(\binom{11}{4}=330\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{11}{6}=462\) तरीके हैं। कुल (792) है। / If both are included there are \(\binom{11}{4}=330\) ways and if both are excluded there are \(\binom{11}{6}=462\) ways. The total is (792).
अंतिम (6) में से (4), (5) या (6) प्रश्न चुने जा सकते हैं। कुल \(\binom{6}{4}\binom{8}{4}+\binom{6}{5}\binom{8}{3}+\binom{6}{6}\binom{8}{2}=1414\) है। / You can choose (4), (5), or (6) from the last (6) questions. The total is \(\binom{6}{4}\binom{8}{4}+\binom{6}{5}\binom{8}{3}+\binom{6}{6}\binom{8}{2}=1414\).
वरिष्ठों की संख्या (0), (1), (2) या (3) हो सकती है। कुल \(\binom{9}{0}\binom{11}{7}+\binom{9}{1}\binom{11}{6}+\binom{9}{2}\binom{11}{5}+\binom{9}{3}\binom{11}{4}=48840\) है। / The number of seniors can be (0), (1), (2), or (3). The total is \(\binom{9}{0}\binom{11}{7}+\binom{9}{1}\binom{11}{6}+\binom{9}{2}\binom{11}{5}+\binom{9}{3}\binom{11}{4}=48840\).
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (5) कार्ड (12) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{12}{5}=1584\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (5) cards from the remaining (12). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{12}{5}=1584\).
14 अलग-अलग सिक्कों के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{14}=16384\) है। प्रत्येक विषम संख्या वाले चयन को एक निश्चित सिक्के को शामिल/हटाकर सम संख्या वाले चयन से जोड़ा जा सकता है; इसलिए सम और विषम चयन बराबर होते हैं। अतः सम संख्या में सिक्के चुनने के तरीके \(\frac{2^{14}}{2}=2^{13}=8192\) हैं। \(16384\) सभी चयन हैं, केवल सम संख्या वाले चयन नहीं। परीक्षा टिप: \(n\geq1\) अलग-अलग वस्तुओं में सम तथा विषम आकार के उपसमुच्चयों की संख्या प्रत्येक \(2^{n-1}\) होती है। / The total number of subsets of 14 distinct coins is \(2^{14}=16384\). Every odd-sized selection can be paired with an even-sized selection by including or removing one fixed coin, so the numbers of even and odd selections are equal. Hence, the number of ways to select an even number of coins is \(\frac{2^{14}}{2}=2^{13}=8192\). \(16384\) counts all selections, not only the even-sized ones. Exam tip: For \(n\geq1\) distinct objects, the number of even-sized subsets and odd-sized subsets is \(2^{n-1}\) each.
विषम चयन की संख्या \(2^{13-1}=4096\) होती है। परीक्षा में सम और विषम चयन बराबर याद रखें। / The number of odd selections is \(2^{13-1}=4096\). Remember that even and odd selections are equal in such questions.
(13) खिलाड़ियों में से (6) खिलाड़ियों का चयन करना है। एक कप्तान पहले से तय है और उसे चुना नहीं जाना है लेकिन उपकप्तान अवश्य चुना जाना है। कितने तरीके हैं?
कप्तान हट गया और उपकप्तान तय है। बाकी (5) खिलाड़ी (11) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{11}{5}=462\) है। / The captain is excluded and the vice-captain is fixed. The remaining (5) players are chosen from (11), so \(\binom{11}{5}=462\).
विशेष वस्तुएं (0), (1) या (2) चुनी जा सकती हैं। कुल \(\binom{6}{0}\binom{12}{7}+\binom{6}{1}\binom{12}{6}+\binom{6}{2}\binom{12}{5}=18216\) है। / The number of special objects can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{6}{0}\binom{12}{7}+\binom{6}{1}\binom{12}{6}+\binom{6}{2}\binom{12}{5}=18216\).
