Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((1,2)) और ((2,3)) से तुरंत ((1,3)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is immediately required.
Step 2
Why this answer is correct
बाकी कड़ियां भी युग्म मांग सकती हैं, पर दिए विकल्पों में ((1,3)) सही जरूरी युग्म है। / Other chains may also require pairs, but among the given options ((1,3)) is the correct required pair.
Step 3
Exam Tip
एक-एक कड़ी से जरूरी युग्म निकालें। / Derive required pairs chain by chain.
पहले युग्म का दूसरा तत्व और दूसरे युग्म का पहला तत्व (7) है। / The second element of the first pair and the first element of the second pair are both (7).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता के कारण ((5,9)) होना चाहिए। / By transitivity, ((5,9)) must be present.
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्म में क्रम बदलना गलती हो सकती है। / Do not reverse the order in an ordered pair.
((2,4)) और ((4,6)) में बीच का तत्व (4) समान है। / In ((2,4)) and ((4,6)), the middle element (4) matches.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पहले तत्व (2) और अंतिम तत्व (6) का युग्म ((2,6)) चाहिए। / Therefore the pair from the first element (2) to the last element (6), namely ((2,6)), is required.
Step 3
Exam Tip
बीच वाला तत्व हटाकर बाहरी तत्वों का क्रमित युग्म बनाइए। / Remove the middle element and form the ordered pair of the outer elements.
तुल्यता संबंध में संक्रामकता होती है। / An equivalence relation is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
(1R2) और (2R4) से संक्रामकता द्वारा (1R4) मिलता है। / From (1R2) and (2R4), transitivity gives (1R4).
Step 3
Exam Tip
किसी तीसरे अलग तत्व (3) से जुड़ा निष्कर्ष बिना सूचना के नहीं निकाला जा सकता। / No conclusion involving the separate element (3) can be drawn without more information.
सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्तन सही है। / All self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
हर दिए गए युग्म का उल्टा भी है, इसलिए सममितता सही है। / Every listed pair has its reverse, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल होती है। / ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is missing, so transitivity fails.
सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्तन सही है। / All self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
हर युग्म का उल्टा भी है, इसलिए सममितता सही है। / Every pair has its reverse, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता की कमी है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required but missing, so transitivity fails.
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है/Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
आंशिक क्रम में संक्रमणीयता जरूरी होती है। / A partial order must be transitive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) होने पर ((1,3)) चाहिए, पर वह नहीं है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, ((1,3)) is required, but it is missing.
Step 3
Exam Tip
स्वसमता और विरोधी सममितता होने पर भी संक्रमणीयता टूटे तो आंशिक क्रम नहीं बनेगा। / Even if reflexivity and antisymmetry hold, failure of transitivity prevents partial order.
संक्रमणीयता में जुड़े हुए युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity requires a third pair from two linked pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संघ में एक युग्म पहले संबंध से और दूसरा दूसरे से आ सकता है, तब तीसरा युग्म छूट सकता है। / In a union, one pair may come from one relation and the second from another, so the third pair may be missing.
Step 3
Exam Tip
संघ के लिए संक्रमणीयता अलग से जाँचें, सीधे मानकर न चलें। / Always test transitivity of a union separately.
A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित है/because ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
संबंध प्रतिवर्ती और सममित दिखता है। / The relation appears reflexive and symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
पर ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / But ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है और यह समतुल्यता संबंध नहीं है। / Since ((1,3)) is absent, transitivity fails and it is not an equivalence relation.
C. नहीं, संक्रामकता टूट सकती है/no, transitivity may fail
Step 1
Concept
दो समतुल्यता संबंधों का संघ प्रतिवर्ती और सममित रह सकता है। / The union of two equivalence relations may remain reflexive and symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन एक युग्म पहले संबंध से और दूसरा दूसरे संबंध से आने पर जरूरी तीसरा युग्म गायब हो सकता है। / But one pair may come from one relation and the next pair from the other, so the required third pair may be missing.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संघ को बिना जांचे समतुल्यता संबंध नहीं मानना चाहिए। / Therefore the union is not always an equivalence relation.
