Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
(|a-a|=0<1), इसलिए परावर्ती है।
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममित है। / (|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(0R0.6) और (0.6R1.2) सही हैं, पर (0R1.2) गलत है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (0R0.6) and (0.6R1.2) are true, but (0R1.2) is false, so it is not transitive.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
\(0\cdot0=0\), इसलिए (0) स्वयं से संबंधित नहीं है और परावर्तन नहीं है। / \(0\cdot0=0\), so (0) is not related to itself and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
(ab>0) होने पर (ba>0) भी होगा, इसलिए सममितता है। / If (ab>0), then (ba>0), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक-दोनों या ऋणात्मक-दोनों स्थिति आगे भी समान चिन्ह बनाए रखती है, इसलिए संक्रामकता है। / Same-sign non-zero numbers keep the sign class through a chain, so transitivity holds.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(3) और (4) अपने आप से संबंधित नहीं होंगे, इसलिए परावर्ती नहीं है। / (3) and (4) are not related to themselves, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के (3) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममित है। / The condition that both elements are less than (3) remains true after reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संबंध केवल ({1,2}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है। / The relation is complete within ({1,2}), so it is transitive.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((1,3)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs for ((1,2)) and ((1,3)) are also present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing, so transitivity fails.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(1) और (4) अभाज्य नहीं हैं, इसलिए उनके स्वयुग्म नहीं आएंगे और परावर्तन नहीं होगा। / (1) and (4) are not prime, so their self-pairs will not occur and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों अभाज्य होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition that both are prime does not change with order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
संबंध केवल ({2,3}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है। / The relation is complete within ({2,3}), so transitivity holds.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(1) और (3) के स्वयुग्म नहीं आएंगे, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। / Self-pairs for (1) and (3) will not occur, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्व सम होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। / The condition that both elements are even remains true after reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि संबंध केवल सम तत्वों के बीच है, तो उनके बीच की श्रृंखला भी सम तत्वों में ही रहती है, इसलिए संक्रामकता है। / Chains stay within even elements, so transitivity holds.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0) परिमेय है, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। / (a-a=0) is rational, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) अपरिमेय है, तो (b-a) भी अपरिमेय है, इसलिए सममित है। / If (a-b) is irrational, then (b-a) is also irrational, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) जैसे अंतर मिलकर (0) दे सकते हैं, इसलिए संक्रामकता जरूरी नहीं रहती। / Differences like \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) can add to (0), so transitivity need not hold.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
\(|a-a|=0\le 1\), इसलिए परावर्ती है। / \(|a-a|=0\le 1\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममित है। / (|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं क्योंकि अंतर (2) है, इसलिए संक्रामक नहीं। / ((1,2)) and ((2,3)) exist, but ((1,3)) does not because the difference is (2), so it is not transitive.
A. नहीं, \(A=\{1,2,3\}\) पर ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) प्रति-उदाहरण है/No, on \(A=\{1,2,3\}\), ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) is a counterexample
Step 1
Concept
परावर्ती और सममित होना पर्याप्त नहीं है। / Reflexive and symmetric together are not sufficient.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए उदाहरण में ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है। / In the given example, ((1,2)) and ((2,3)) exist but ((1,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध साबित करने के लिए तीनों गुण अलग-अलग जांचना जरूरी है। / To prove an equivalence relation, all three properties must be checked separately.
A. नहीं, उदाहरण के लिए \(A=\{1,2\}\) पर ({(1,1)}) सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/No, for example on \(A=\{1,2\}\), ({(1,1)}) is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
सममित और संक्रामक होना अपने आप सभी स्वयुग्म नहीं देता। / Being symmetric and transitive does not automatically give all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(A=\{1,2\}\) पर ({(1,1)}) में ((2,2)) नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं। / On \(A=\{1,2\}\), ({(1,1)}) misses ((2,2)), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
ऐसे सिद्धांत प्रश्नों में एक छोटा प्रति-उदाहरण सबसे तेज तरीका होता है। / For such theory questions, a small counterexample is the fastest method.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but not reflexive and not transitive
Step 1
Concept
\(a\neq a\) असत्य है, इसलिए कोई स्वयुग्म नहीं और संबंध परावर्ती नहीं। / \(a\neq a\) is false, so no self-pair exists and the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\neq b\), तो \(b\neq a\), इसलिए सममित है। / If \(a\neq b\), then \(b\neq a\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(1\neq 2\) और \(2\neq 1\) हैं पर \(1\neq 1\) नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / \(1\neq 2\) and \(2\neq 1\) hold but \(1\neq 1\) does not, so transitivity fails.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but not reflexive and not transitive
Step 1
Concept
((2,2)) में समापवर्तक (2) है, इसलिए परावर्ती नहीं। / For ((2,2)), the greatest common divisor is (2), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं का सबसे बड़ा समापवर्तक क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममित है। / The greatest common divisor does not change when order is changed, so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(2) और (3) सहअभाज्य हैं तथा (3) और (4) सहअभाज्य हैं, पर (2) और (4) नहीं, इसलिए संक्रामक नहीं। / (2) is coprime to (3), and (3) is coprime to (4), but (2) is not coprime to (4), so transitivity fails.
A. यह परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/It is reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((1,3)) के साथ ((3,1)) हैं, इसलिए सममित है। / ((1,2)) has ((2,1)) and ((1,3)) has ((3,1)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामक नहीं। / From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing, so it is not transitive.
A. यह सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/It is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
कोई भी ((a,a)) मौजूद नहीं है, इसलिए यह परावर्ती नहीं है। / No ((a,a)) pair is present, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
उल्टे युग्म या संक्रामकता को तोड़ने वाला कोई युग्म नहीं है, इसलिए सममित और संक्रामक शर्त खाली रूप से पूरी होती है। / There is no pair that can violate symmetry or transitivity, so those conditions hold vacuously.
Step 3
Exam Tip
खाली संबंध में परावर्तन जरूर जांचें, वही मुख्य फर्क बनाता है। / For an empty relation, reflexivity is the main condition to check.
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममितता बनी रहती है। / ((1,2)) and ((2,1)) both exist, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
जरूरी संयोजन जांचने पर संक्रामकता नहीं टूटती, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Checking all needed chains shows transitivity is not broken, so it is an equivalence relation.
A. सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं/symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
\(a+b\le6\) होने पर \(b+a\le6\) भी होगा, इसलिए सममितता है। / If \(a+b\le6\), then \(b+a\le6\), so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((5,5)) नहीं है क्योंकि \(10\le6\) गलत है, इसलिए प्रतिवर्तिता नहीं है। / ((5,5)) is absent because \(10\le6\) is false, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
((1,5)) और ((5,1)) हैं, पर ((1,1)) है; फिर भी ((2,4)) और ((4,2)) से समस्या नहीं; संक्रामकता को ((5,1)) और ((1,5)) से ((5,5)) चाहिए, जो नहीं है। / Since ((5,1)) and ((1,5)) are present but ((5,5)) is absent, it is not transitive.
A. सममित पर न प्रतिवर्ती और न संक्रामी/symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a+b=6) हो तो (b+a=6) भी होगा, इसलिए सममित है। / If (a+b=6), then (b+a=6), so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
सभी ((a,a)) नहीं हैं, जैसे ((1,1)) नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / Not all diagonal pairs are present, for example ((1,1)) is absent, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
((1,5)) और ((5,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामी नहीं है। / From ((1,5)) and ((5,1)), transitivity would need ((1,1)), which is absent.
\(a^2+b^2=1\) में (a) और (b) की जगह बदलने से शर्त नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition \(a^2+b^2=1\) is unchanged when (a) and (b) are interchanged, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
हर (a) पर \(2a^2=1\) सही नहीं, इसलिए प्रतिवर्तिता नहीं है। / \(2a^2=1\) is not true for every (a), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
((1,0)) और ((0,1)) हैं, पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((1,0)) and ((0,1)) belong, but ((1,1)) does not, so it is not transitive.
