Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कुल (11) अक्षर हैं और (B,I) दो-दो बार आते हैं, इसलिए संख्या \(\frac{11!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में हर repeated letter के factorial से अलग-अलग भाग दें। / There are (11) letters, with (B) and (I) repeated twice, so the count is \(\frac{11!}{2!,2!}\). Exam tip: divide by the factorial of each repeated letter.
(A) के साथ बाकी (4) लोग \(\binom{11}{4}\) तरीकों से चुनें और (5!) तरीकों से व्यवस्थित करें। परीक्षा में compulsory object को पहले शामिल मानें। / Choose the other (4) people from (11) in \(\binom{11}{4}\) ways and arrange the (5) people in (5!) ways. Exam tip: include the compulsory object first.
पहले लड़कों को (7!) तरीकों से बैठाएं और (8) gaps में (3) लड़कियों को \(^{8}P_{3}\) तरीकों से रखें। परीक्षा में separated objects को gaps में permute करें। / Arrange the boys in (7!) ways and place the (3) girls in \(^{8}P_{3}\) of the (8) gaps. Exam tip: permute separated objects into gaps.
कुल (8!) से सभी (5) स्वरों को एक खंड मानकर \(4!\times5!\) घटाएं। परीक्षा में not all together का अर्थ सभी एक ही खंड में नहीं है। / Subtract the cases where all (5) vowels form one block, \(4!\times5!\), from total (8!). Exam tip: not all together means not in one single block.
सही जाने वाले (4) पत्र \(\binom{6}{4}\) तरीकों से चुनें और बाकी (2) का derangement (!2=1) है। परीक्षा में ठीक वाली शर्त के लिए fixed और deranged भाग अलग करें। / Choose the (4) correct letters in \(\binom{6}{4}\) ways, and derange the remaining (2) letters in (!2=1) way. Exam tip: split exact conditions into fixed and deranged parts.
माला में घूर्णन और पलटना दोनों समान होते हैं, इसलिए संख्या (\frac{(9-1)!}{2}) है। परीक्षा में circular और necklace में अंतर याद रखें। / For a necklace, both rotation and reflection are identical, so the count is (\frac{(9-1)!}{2}). Exam tip: remember the difference between circular arrangements and necklaces.
अंतिम स्थान (1,3,5,7) में से (4) तरीकों से और पहला स्थान शून्य छोड़कर (6) तरीकों से भरेगा, फिर (6) और (5) तरीके मिलेंगे। परीक्षा में अंतिम अंक और प्रथम अंक की शर्त पहले संभालें। / The last place has (4) choices from (1,3,5,7), the first place then has (6) nonzero choices, followed by (6) and (5) choices. Exam tip: handle last digit and first digit restrictions first.
स्वर (U,E) को एक खंड मानें; (5) वस्तुओं में (S) दो और (C) दो हैं, इसलिए \(\frac{5!}{2!,2!}\times2!\) मिलता है। परीक्षा में स्वर-खंड के अंदरूनी क्रम को अलग गिनें। / Treat vowels (U,E) as one block; among (5) objects, (S) and (C) repeat twice, giving \(\frac{5!}{2!,2!}\times2!\). Exam tip: count the internal order of the vowel block separately.
कुल गोल व्यवस्थाएं ((6-1)!) हैं और (A,B) साथ होने पर \(2!\times4!\) व्यवस्थाएं हैं। परीक्षा में नहीं साथ के लिए कुल से साथ वाला मामला घटाएं। / Total circular arrangements are ((6-1)!), and adjacent (A,B) arrangements are \(2!\times4!\). Exam tip: for not adjacent, subtract the adjacent case from total.
यह (5) वस्तुओं का derangement है, जिसकी संख्या (!5=44) होती है। परीक्षा में किसी भी सही मिलान के न होने पर derangement पहचानें। / This is the derangement of (5) objects, so the number is (!5=44). Exam tip: identify derangement when no object goes to its own position.
दोनों विशेष वस्तुओं के चुने जाने वाले \(^{8}P_{2}\times{}^{4}P_{2}\) प्रतिकूल मामलों को कुल \(^{10}P_{4}\) से घटाएं। परीक्षा में अधिकतम एक का अर्थ दोनों साथ नहीं है। / Subtract unfavorable cases where both special objects are selected, \(^{8}P_{2}\times{}^{4}P_{2}\), from total \(^{10}P_{4}\). Exam tip: at most one means not both.
(MM) को एक खंड मानें; अब (10) वस्तुओं में (A) और (T) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या \(\frac{10!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में खंड बनाने के बाद शेष पुनरावृत्ति न भूलें। / Treat (MM) as one block; now there are (10) objects with (A) and (T) repeated twice, so the count is \(\frac{10!}{2!,2!}\). Exam tip: after blocking, do not forget remaining repetitions.
पहले (6) पुरुषों को (6!) तरीकों से बैठाएं, फिर (7) खाली स्थानों में (4) महिलाओं को \(^{7}P_{4}\) तरीकों से रखें। परीक्षा में अलग-अलग रखने के लिए gaps विधि लगाएं। / Arrange (6) men in (6!) ways, then place (4) women in \(^{7}P_{4}\) of the (7) gaps. Exam tip: use the gaps method for non-adjacent placement.
(P) और (Q) की जगहों के (5) जोड़े हैं और उनका क्रम (2!) है, बाकी (7) लोग (7!) तरीकों से बैठते हैं। परीक्षा में दूरी वाली शर्त को स्थान-जोड़ों से गिनें। / There are (5) position pairs for (P) and (Q), with (2!) orders, and the remaining (7) people can be arranged in (7!) ways. Exam tip: count distance conditions by position pairs.
किसी भी (4) अंकों के चयन का केवल (1) बढ़ता क्रम होता है, इसलिए संख्या \(\binom{8}{4}=70\) है। परीक्षा में क्रम तय हो तो चयन ही पर्याप्त होता है। / Each selection of (4) digits has exactly (1) increasing arrangement, so the count is \(\binom{8}{4}=70\). Exam tip: when order is fixed, selection alone is counted.
अंतिम अंक (0) या (5) होगा; दोनों मामलों को अलग गिनने पर कुल (300) मिलता है। परीक्षा में शून्य को प्रथम स्थान पर न आने दें। / The last digit must be (0) or (5); counting both cases separately gives (300). Exam tip: never allow zero in the first place.
(TT) को एक खंड मानने पर (8) वस्तुएं मिलती हैं जिनमें (M), (E) और (T)-खंड जैसी पुनरावृत्तियां संभलती हैं, संख्या \(\frac{8!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में पहले खंड बनाकर फिर समान अक्षर देखें। / Treat (TT) as one block, giving (8) objects with (M) and (E) repeated, so the count is \(\frac{8!}{2!,2!}\). Exam tip: form the block first, then handle repetitions.
कुल (7) अक्षर हैं और (R) दो बार आता है, इसलिए संख्या \(\frac{7!}{2!}\) है। परीक्षा में समान अक्षरों के फैक्टोरियल से भाग दें। / There are (7) letters and (R) repeats twice, so the count is \(\frac{7!}{2!}\). Exam tip: divide by factorials of repeated letters.
कुल (7!) से उन व्यवस्थाओं को घटाएं जिनमें (3) विशेष पुस्तकें एक खंड बनती हैं, यानी \(5!\times3!\)। परीक्षा में निषेध शर्त के लिए कुल से प्रतिकूल घटाएं। / Subtract arrangements where the (3) special books form one block, that is \(5!\times3!\), from total (7!). Exam tip: for not-together cases, subtract unfavorable cases.
(A) और (B) को एक खंड मानें, इसलिए (7) वस्तुओं की गोल व्यवस्था (6!) और अंदर (2!) तरीके हैं। परीक्षा में साथ वाली शर्त पर खंड विधि लगाएं। / Treat (A) and (B) as one block, so circular arrangements are (6!) and internal arrangements are (2!). Exam tip: use block method for together conditions.
पहले व्यंजनों को \(\frac{6!}{3!2!}\) तरीकों से सजाएँ और (7) खाली स्थानों में स्वरों को \(\binom{7}{5}\frac{5!}{3!2!}\) तरीकों से रखें। स्वर साथ न हों तो gap method लगाएँ। / Arrange the consonants in \(\frac{6!}{3!2!}\) ways and place the vowels in (7) gaps in \(\binom{7}{5}\frac{5!}{3!2!}\) ways. Use the gap method when vowels must not be adjacent.
(10) अलग-अलग वस्तुओं को एक पंक्ति में सजाया जाता है। तीन निश्चित वस्तुओं का आपसी क्रम (A) पहले, फिर (B), फिर (C) होना चाहिए, लेकिन वे साथ-साथ होना जरूरी नहीं है। कुल व्यवस्थाएँ कितनी हैं?
कुल (10!) क्रमों में तीन विशेष वस्तुओं के (3!) आपसी क्रम समान रूप से संभव हैं, इसलिए \(\frac{10!}{3!}\) है। relative order fixed हो तो कुल को उस group के factorial से बाँटें। / Among total (10!) arrangements, the (3!) relative orders of the three special objects are equally likely, so the count is \(\frac{10!}{3!}\). If relative order is fixed, divide by that group's factorial.
स्वर (E,E,I,O) एक ब्लॉक हैं, इसलिए बाहरी (6) इकाइयाँ (6!) तरीकों से और अंदर स्वर \(\frac{4!}{2!}\) तरीकों से सजते हैं। vowel block में repeated vowels का भाग देना न भूलें। / The vowels (E,E,I,O) form one block, so (6) outside units arrange in (6!) ways and the vowels arrange internally in \(\frac{4!}{2!}\) ways. Do not forget repeated vowels inside the vowel block.
दो विशेष कार्डों के स्थानों में अंतर (3) होगा, ऐसे (5) स्थान-जोड़े हैं और उनका क्रम (2) तरीकों से है, फिर (6!) क्रम हैं। exact gap में position pairs गिनें। / The positions of the two particular cards differ by (3), giving (5) position pairs and (2) orders, then the remaining (6!) arrangements. Count position pairs for exact gaps.
(9) अलग-अलग खिलाड़ियों को एक पंक्ति में खड़ा करना है। कप्तान हमेशा गोलकीपर से बाएँ हो लेकिन उनके बीच लोगों की संख्या कोई भी हो सकती है। कितने क्रम संभव हैं?
कुल (9!) क्रमों में कप्तान और गोलकीपर के दो आपसी क्रम बराबर हैं, इसलिए आधे क्रम मान्य हैं। relative order fixed हो तो कुल को (2) से बाँटें। / In total (9!) orders, the two relative orders of captain and goalkeeper are equally likely, so half are valid. If relative order is fixed, divide by (2).
कुल (11) अक्षर हैं और (N,E,D) क्रमशः (3,3,2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{3!3!2!}\) है। repeated letters की सभी आवृत्तियाँ लिखें। / There are (11) letters with (N,E,D) repeated (3,3,2) times, so the count is \(\frac{11!}{3!3!2!}\). Write all repeated-letter frequencies.
अंतिम अंक (0) होने पर (9P5) और अंतिम अंक (2,4,6,8) होने पर \(4\cdot8\cdot8P4\) मिलते हैं। शून्य और गैर-शून्य अंतिम अंक के cases अलग करें। / If the last digit is (0), count (9P5); if it is (2,4,6,8), count \(4\cdot8\cdot8P4\). Separate zero and nonzero last-digit cases.
पहली जोड़ी को ब्लॉक बनाकर कुल \(2\cdot5!\) हैं और दूसरी जोड़ी साथ हो तो \(2\cdot2\cdot4!\) घटाएँ। मिश्रित वृत्तीय शर्तों में block और subtraction साथ प्रयोग करें। / Make the first pair a block giving \(2\cdot5!\), then subtract cases where the second pair is adjacent, \(2\cdot2\cdot4!\). Use block and subtraction together in mixed circular constraints.
(12) अलग-अलग पुरस्कारों को (5) विद्यार्थियों में बाँटना है, यदि एक विद्यार्थी को (4) पुरस्कार और बाकी (4) विद्यार्थियों को (2)-(2) पुरस्कार मिलें। वितरण के कितने तरीके हैं?
(4) पुरस्कार पाने वाला विद्यार्थी (5) तरीकों से चुनेगा और वितरण (\frac{12!}{4!(2!)4}) से होगा। वस्तुएँ अलग हों तो समूह-आकारों से भाग दें। / Choose the student receiving (4) prizes in (5) ways and distribute as (\frac{12!}{4!(2!)4}). For distinct objects in fixed group sizes, divide by group factorials.
कुल (11) अक्षर हैं और (B,I) प्रत्येक (2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{2!2!}\) है। बड़े शब्दों में अक्षर आवृत्ति सावधानी से गिनें। / There are (11) letters and (B,I) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{11!}{2!2!}\). Count letter frequencies carefully in long words.
