Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
किसी भी चुने गए (5) अंकों का बढ़ता हुआ क्रम केवल (1) होता है, इसलिए संख्या (8C5) है। क्रम निश्चित हो तो केवल चयन गिनें। / Any chosen set of (5) digits has only (1) increasing order, so the count is (8C5). If the order is fixed, count only selection.
कुल \(\frac{8!}{2!}\) और (C) साथ वाले (7!) हैं, इसलिए अलग रहने वाली (20160-5040) हैं। अलग रहने पर कुल से साथ वाला case घटाएँ। / Total arrangements are \(\frac{8!}{2!}\), and adjacent (C) cases are (7!), so separated cases are (20160-5040). For separated objects, subtract adjacent cases from total.
एक निश्चित विद्यार्थी को स्थिर करें, दूसरा उसके सामने निश्चित होगा और बाकी (6) विद्यार्थी (6!) तरीकों से बैठेंगे। सामने की सीट वाली वृत्तीय समस्या में एक व्यक्ति स्थिर करें। / Fix one particular student; the other is fixed opposite, and the remaining (6) students can be seated in (6!) ways. For opposite-seat circular problems, fix one person.
(10) अलग-अलग लोगों को एक पंक्ति में बैठाया जाता है। दो निश्चित लोग साथ-साथ बैठें और तीसरा निश्चित व्यक्ति उनके किसी भी सिरे पर न बैठे, ऐसे कितने क्रम हैं?
दो साथ बैठे लोगों को ब्लॉक मानकर \(9!\cdot2\) से वे cases घटाएँ जहाँ तीसरा व्यक्ति सिरों पर है, जो \(2\cdot8!\cdot2\) हैं। संयुक्त शर्तों में पहले आसान कुल बनाकर निषिद्ध घटाएँ। / Treat the adjacent pair as a block giving \(9!\cdot2\), then subtract cases where the third person is at an end, \(2\cdot8!\cdot2\). For combined conditions, count a simple total and subtract forbidden cases.
दो सिरों पर (T,E) को (2!) तरीकों से रखें और बीच के (6) अक्षर (6!) तरीकों से सजाएँ। सिरों की शर्त में endpoints पहले भरें। / Place (T,E) at the two ends in (2!) ways and arrange the remaining (6) letters in (6!) ways. For endpoint constraints, fill endpoints first.
बाकी (4) अंक (8) में से चुनें और (5) स्थानों में (0) पहले स्थान को छोड़कर (4) स्थानों पर हो सकता है, फिर (4!) क्रम हैं। शून्य के स्थानों को अलग गिनें। / Choose the other (4) digits from (8); (0) can occupy (4) non-first positions, and the rest arrange in (4!) ways. Count zero positions separately.
दोनों निश्चित अक्षर चुने जाते हैं, बाकी (3) अक्षर (7) में से चुनें और ब्लॉक सहित \(4!\cdot2!\) क्रम बनते हैं। आंशिक चयन में पहले चुनी हुई वस्तुएँ तय करें। / The two particular letters are selected, choose (3) more from (7), and arrange the block and others in \(4!\cdot2!\) ways. In partial selection, fix chosen objects first.
(5) अलग-अलग गणित की और (4) अलग-अलग भौतिकी की पुस्तकों को शेल्फ पर सजाना है। किसी भी दो भौतिकी पुस्तकों के बीच कम से कम एक गणित पुस्तक हो, ऐसे कितने क्रम हैं?
पहले गणित पुस्तकों को (5!) तरीकों से रखें और (6) खाली स्थानों में (4) भौतिकी पुस्तकें (6P4) तरीकों से रखें। बीच में अलगाव के लिए gaps method लगाएं। / Arrange mathematics books in (5!) ways and place (4) physics books in (6) gaps in (6P4) ways. Use the gaps method for separation.
कुल (8!) व्यवस्थाओं से (E,O) साथ वाले \(2\cdot7!\) घटाएँ। दो विशेष वस्तुओं के न-साथ होने पर कुल से ब्लॉक-केस घटाएँ। / Subtract adjacent cases \(2\cdot7!\) from total (8!). For two special objects not adjacent, subtract the block case from total.
विशेष झंडा पहले स्थान पर तय है और बाकी (3) स्थान (9P3) तरीकों से भरेंगे। तय स्थान को पहले लॉक करें। / The particular flag is fixed at the first position, and the remaining (3) places are filled in (9P3) ways. Lock the fixed position first.
कुल (7) अक्षर हैं और (S,C) क्रमशः (3,2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{7!}{3!2!}\) है। पुनरावृत्त अक्षरों को अलग-अलग न गिनें। / There are (7) letters with (S,C) repeated (3,2) times, so the count is \(\frac{7!}{3!2!}\). Do not count repeated letters as distinct.
अंतिम दो अंक केवल (25,75) हो सकते हैं और पहले दो स्थान (6P2) तरीकों से भरते हैं। (25) से विभाज्यता में अंतिम दो अंक तय करें। / The last two digits can only be (25,75), and the first two places are filled in (6P2) ways. For divisibility by (25), fix the last two digits.
शुरुआत लड़के या लड़की से हो सकती है, इसलिए (2) पैटर्न हैं और हर पैटर्न में \(6!\cdot6!\) क्रम हैं। बराबर संख्या पर दो वैकल्पिक पैटर्न बनते हैं। / The row may start with a boy or a girl, giving (2) patterns, each with \(6!\cdot6!\) orders. Equal numbers create two alternating patterns.
कुल \(\frac{7!}{2!}\) और साथ वाले (6!) हैं, इसलिए अंतर (2520-720) है। न-साथ वाली स्थिति में कुल से साथ वाली घटाएँ। / Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\) and together cases are (6!), so the difference is (2520-720). For not-together cases, subtract together cases from total.
तीन लोगों को एक ब्लॉक मानकर (6) इकाइयों की वृत्तीय व्यवस्था (5!) है और ब्लॉक के अंदर (3!) क्रम हैं। वृत्तीय ब्लॉक में इकाइयों की संख्या घटती है। / Treat the three people as one block; (6) units around a circle give (5!), and the block has (3!) internal orders. Circular blocks reduce the number of units.
(9) अलग-अलग विद्यार्थियों में से (6) को एक पंक्ति में बैठाना है। एक निश्चित विद्यार्थी अवश्य बैठे और दूसरा निश्चित विद्यार्थी न बैठे, ऐसे कितने क्रम हैं?
अनिवार्य विद्यार्थी के साथ बाकी (5) विद्यार्थी (7) में से चुनें और (6!) तरीकों से सजाएँ। शामिल और बाहर वाली शर्तें पहले लगाएं। / With the compulsory student, choose (5) more from the remaining (7) and arrange (6!) ways. Apply inclusion and exclusion conditions first.
अंतिम दो अंकों के (14) वैध क्रम हैं; जिनमें (0) नहीं है उनके लिए \(5\cdot5P2\) और जिनमें (0) है उनके लिए (6P3) गिनें। (4) से विभाज्यता में अंतिम दो अंक देखें। / There are (14) valid ordered endings; endings without (0) give \(5\cdot5P2\) and endings with (0) give (6P3). For divisibility by (4), check the last two digits.
दोनों विशेष लोग चुने जाएँगे, बाकी (3) लोग (6) में से चुने जाएँगे और ब्लॉक सहित \(4!\cdot2!\) क्रम होंगे। पहले चयन, फिर व्यवस्था करें। / The two particular people are selected, choose (3) more from (6), then arrange the block and others in \(4!\cdot2!\) ways. Choose first, then arrange.
कुल \(\frac{7!}{2!}\) व्यवस्थाएँ हैं और (3) अलग स्वरों के (3!) क्रम समान रूप से संभव हैं, इसलिए भाग दें। क्रम-प्रतिबंध में अक्सर कुल को संभव क्रमों से बाँटते हैं। / Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\), and the (3) distinct vowels have (3!) equally likely orders, so divide by (3!). For order restrictions, divide by possible orders.
माला के लिए संख्या (\frac{(7-1)!}{2}) होती है क्योंकि पलटाव भी समान है। वृत्त और माला में अंतर याद रखें। / For a necklace, the count is (\frac{(7-1)!}{2}) because reflection is also identical. Remember the difference between circular arrangements and necklaces.
दोनों चुने जाने पर \(8C2\cdot4!\) और दोनों न चुने जाने पर \(8C4\cdot4!\) मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में cases अलग करके जोड़ें। / If both are selected, count \(8C2\cdot4!\); if both are not selected, count \(8C4\cdot4!\). Split such problems into cases and add.
हजारों का अंक (3,4,5,6) होगा और बाकी (3) स्थान (7P3) तरीकों से भरेंगे। सीमा वाली संख्या में पहला अंक तय करने से काम आसान होता है। / The thousands digit is (3,4,5,6), and the remaining (3) places can be filled in (7P3) ways. For range questions, fix the first digit first.
दो (N) को एक ब्लॉक मानने पर (5) इकाइयों में (A) तीन बार है, इसलिए \(\frac{5!}{3!}\) है। समान अक्षर और ब्लॉक दोनों का ध्यान रखें। / Treat the two (N)s as one block; among (5) units, (A) repeats (3) times, so the count is \(\frac{5!}{3!}\). Track both blocks and repeated letters.
निश्चित अक्षर के साथ बाकी (4) अक्षर (7) में से चुनकर (5!) तरीकों से सजते हैं। अनिवार्य वस्तु को पहले अलग कर लें। / With the particular letter included, choose (4) more from (7) and arrange the (5) in (5!) ways. Separate the compulsory object first.
यह derangement है और ( !6=265) होता है। पूरी तरह गलत मिलान में derangement सूत्र याद रखें। / This is a derangement and ( !6=265). For completely wrong matching, remember the derangement formula.
(5) स्वरों को एक ब्लॉक मानें, फिर (5!) बाहरी और (5!) आंतरिक व्यवस्थाएँ मिलती हैं। स्वर साथ हों तो पूरे स्वर-समूह को एक इकाई बनाएं। / Treat the (5) vowels as one block, giving (5!) outside arrangements and (5!) internal arrangements. When vowels are together, make one vowel block.
अंतिम अंक (0,2,4) हो सकता है; (0) और गैर-शून्य अंतिम अंक के मामले अलग करके कुल (120+96) मिलता है। शून्य को अंतिम और प्रथम स्थान पर सावधानी से संभालें। / The last digit can be (0,2,4); separating the (0) and nonzero last-digit cases gives (120+96). Handle zero carefully at the first and last positions.
महिलाओं को एक ब्लॉक मानकर (8!) क्रम बनते हैं और ब्लॉक के अंदर (3!) क्रम हैं। लगातार रहने पर ब्लॉक विधि लगती है। / Treat the women as one block giving (8!) orders and (3!) internal orders. Use the block method for consecutive objects.
कुल (9) अक्षर हैं और (M,T,E) प्रत्येक (2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{9!}{2!2!2!}\) है। समान अक्षर permutation को घटाते हैं। / There are (9) letters and (M,T,E) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{9!}{2!2!2!}\). Identical letters reduce permutations.
दो विशेष लोगों के स्थान (4) दूरी पर होंगे, ऐसे (5) जोड़े हैं और उनका क्रम (2) तरीकों से होगा, फिर बाकी (7!) हैं। दूरी वाले प्रश्नों में स्थान-जोड़े गिनें। / The two particular people occupy positions (4) apart, giving (5) position pairs and (2) orders, then arrange the remaining (7!). Count position pairs for distance constraints.
