Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. हाँ, क्योंकि कोई विपरीत गैर-विकर्ण जोड़ा साथ नहीं है/yes, because no reverse off-diagonal pair occurs together
Step 1
Concept
प्रतिसममितता केवल अलग अवयवों के बीच दोनों दिशाओं के साथ होने को रोकती है। / Antisymmetry only forbids two-way pairs between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, और ((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, and ((1,3)) is present but ((3,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म प्रतिसममितता में बाधा नहीं बनते। / Diagonal pairs do not violate antisymmetry.
A. ((2,3)) का अभाव संक्रामकता तोड़ता है/absence of ((2,3)) breaks transitivity
Step 1
Concept
सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्तिता है। / All diagonal pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((1,3)) के उल्टे युग्म भी हैं, इसलिए सममितता है। / The reverses of ((1,2)) and ((1,3)) are also present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है; इसलिए संक्रामकता टूटती है। / From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing; hence transitivity fails.
योग सम होने के लिए दोनों संख्याएं सम या दोनों विषम होनी चाहिए। / The sum is even when both numbers are odd or both are even.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (3) विषम और (2) सम संख्याएं हैं, इसलिए युग्म \(3^2+2^2=9+4=13\) होंगे। / (A) has (3) odd and (2) even numbers, so pairs are \(3^2+2^2=9+4=13\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में क्रमित युग्म होने के कारण वर्ग गिनती लगती है। / Since the pairs are ordered, use square counts for each group.
(a=1) के लिए (4) विकल्प, (a=2) के लिए (3), (a=3) के लिए (2), और (a=4) के लिए (1) विकल्प हैं। / For (a=1), there are (4) choices; for (a=2), (3); for (a=3), (2); and for (a=4), (1).
Step 2
Why this answer is correct
कुल (4+3+2+1=10) युग्म मिलते हैं। / Total pairs are (4+3+2+1=10).
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्म गिनते समय पहले अवयव को स्थिर करके दूसरे विकल्प गिनें। / To count ordered pairs, fix the first element and count possible second elements.
सममितता में हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) चाहिए। / Symmetry requires ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) है, इसलिए ((2,1)) जोड़ना जरूरी है। / Since ((1,2)) is present, ((2,1)) must be added.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म सममितता के लिए अपने आप उल्टे होते हैं, पर यहां मुख्य कमी उल्टा युग्म है। / Diagonal pairs are their own reverses, but the missing reverse pair is the key issue here.
((1,2)) और ((2,3)) एक श्रृंखला बनाते हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) form a chain.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए इससे ((1,3)) का होना जरूरी है। / Transitivity then requires ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में बीच वाला अवयव समान देखकर पहला और तीसरा अवयव जोड़ें। / In such questions, match the middle element and connect the first element to the third.
B. ((1,3)) और ((3,1)) का अभाव/absence of ((1,3)) and ((3,1))
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्तिता है। / Diagonal pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए गैर-विकर्ण युग्म अपने उल्टे युग्मों के साथ हैं, इसलिए सममितता है। / Each non-diagonal pair has its reverse, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है; इसलिए संक्रामकता टूटती है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required but missing; hence transitivity fails.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
बाकी संभावित संक्रामी स्थितियों में भी जरूरी युग्म उपलब्ध हैं या शर्त बनती ही नहीं। / Other possible chains either have the required pair or do not form a chain.
Step 3
Exam Tip
((3,3)) नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती न मानें। / Since ((3,3)) is missing, do not call it reflexive.
तीनों विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्ती है। / All three diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममितता बनी रहती है। / ((1,2)) is accompanied by ((2,1)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है; इसलिए संक्रामी भी है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present; hence transitivity also holds.
(A) से (B) में संबंध के हर युग्म का पहला तत्व (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। / In a relation from (A) to (B), the first entry must come from (A) and the second from (B).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((2,4)) इस नियम को पूरा करते हैं। / ((1,3)) and ((2,4)) follow this rule.
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्मों में स्थान बदलने से संबंध बदल जाता है। / Changing the order in ordered pairs changes the relation.
संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,c)) होने पर ((a,c)) भी होना चाहिए। / Transitivity means if ((a,b)) and ((b,c)) are present, then ((a,c)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) और ((2,3)) के साथ ((1,3)) भी दिया है। / Here ((1,2)) and ((2,3)) are accompanied by ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता में तीसरा आवश्यक युग्म जरूर जांचें। / In transitivity, always check the required third pair.
रिक्त संबंध में कोई भी क्रमित युग्म नहीं होता। / An empty relation has no ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
समुच्चय में कितने भी तत्व हों, रिक्त संबंध में युग्मों की संख्या (0) ही रहती है। / The number of elements in the set does not matter for an empty relation.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध और सार्वत्रिक संबंध को अलग पहचानना परीक्षा में जरूरी है। / Always distinguish empty relation from universal relation in exams.
प्रांत के अवयव पहले घटक बनते हैं। / Elements of the domain become first components.
Step 2
Why this answer is correct
परिसर के अवयव दूसरे घटक बनते हैं इसलिए ((1,3)) संभव है। / Elements of the range become second components, so ((1,3)) may be possible.
Step 3
Exam Tip
युग्म बनाते समय पहला स्थान प्रांत से और दूसरा परिसर से लें। / While forming a pair take the first position from the domain and the second from the range.
