Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(125\times8=1000\), इसलिए \( \frac{23}{125}=\frac{184}{1000}=0.184 \) है। हर को (10) की घात बनाना तेज तरीका है। / \(125\times8=1000\), so \( \frac{23}{125}=\frac{184}{1000}=0.184 \). Making the denominator a power of (10) is a fast method.
\(0.5625=\frac{5625}{10000}=\frac{9}{16}\) है। दशमलव को पहले भिन्न में लिखें और फिर सरल करें। / \(0.5625=\frac{5625}{10000}=\frac{9}{16}\). First write the decimal as a fraction and then simplify.
\(120=2^3\times3\times5\) में (3) भी है। इसलिए यह परिमेय संख्या असांत आवर्ती दशमलव देगी। / \(120=2^3\times3\times5\) also has (3). So this rational number gives a non-terminating recurring decimal.
(7) दशमलव के बाद दूसरे स्थान पर है। दूसरा दशमलव स्थान सौवां होता है। / (7) is in the second place after the decimal point. The second decimal place is hundredths.
(2) दसवें और (8) हजारवें स्थान पर है। बीच का (0) सौवें स्थान को दिखाता है। / (2) is in tenths and (8) is in thousandths. The middle (0) shows the hundredths place.
पहले (1) के बाद (45) का समूह लगातार दोहरता है। आवर्ती भाग सबसे छोटा दोहराने वाला समूह होता है। / After the first (1), the block (45) repeats continuously. The recurring part is the smallest repeating block.
\(7\div12=0.58333\ldots\) होता है। भाग देते समय दोहराने वाले अंक को पहचानें। / \(7\div12=0.58333\ldots\). While dividing, identify the repeating digit.
(1.045), (1.040) से बड़ा और (1.050) से छोटा है। बीच की संख्या खोजने के लिए दशमलव स्थान समान करें। / (1.045) is greater than (1.040) and less than (1.050). Make decimal places equal to find a number between them.
पहला (7) दशमलव के बाद दूसरे स्थान पर है। इसलिए उसका स्थानीय मान \( \frac{7}{100} \) है। / The first (7) is in the second place after the decimal point. So its place value is \( \frac{7}{100} \).
\(6.25=\frac{625}{100}=\frac{25}{4}\) है। दशमलव को भिन्न में बदलकर अंतिम उत्तर सरल करें। / \(6.25=\frac{625}{100}=\frac{25}{4}\). Convert the decimal to a fraction and simplify the final answer.
\(0.00625=\frac{625}{100000}=\frac{1}{160}\) है। पांच दशमलव स्थान हों तो हर (100000) लें। / \(0.00625=\frac{625}{100000}=\frac{1}{160}\). For five decimal places, use denominator (100000).
(0.0304) में अंकों का स्थान बदल गया है, इसलिए यह छोटा है। केवल अंत में शून्य जोड़ने या हटाने से मान नहीं बदलता। / In (0.0304), the place of digits has changed, so it is smaller. Only adding or removing zeros at the end does not change value.
\(0.064\times100=6.4\), इसलिए (6.4%) मिलेगा। दशमलव को प्रतिशत में बदलने के लिए (100) से गुणा करें। / \(0.064\times100=6.4\), so it becomes (6.4%). To convert a decimal into a percentage, multiply by (100).
\(8.406\div100=0.08406\) होता है। (100) से भाग देने पर दशमलव बिंदु दो स्थान बाईं ओर जाता है। / \(8.406\div100=0.08406\). On dividing by (100), the decimal point moves two places to the left.
(5.5=5.500), इसलिए (5.500-2.875=2.625) है। घटाते समय खाली दशमलव स्थानों में शून्य लगाएं। / (5.5=5.500), so (5.500-2.875=2.625). Add zeros in empty decimal places while subtracting.
इसमें निश्चित दोहराने वाला भाग नहीं है और यह समाप्त भी नहीं होता। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / It has no fixed repeating part and it does not terminate. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
\( \frac{63}{84}=\frac{3}{4} \) और \(4=2^2\) है। इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत होगा। / \( \frac{63}{84}=\frac{3}{4} \) and \(4=2^2\). Therefore, its decimal expansion will be terminating.
\( \frac{44}{66}=\frac{2}{3} \) है। हर में (3) होने के कारण दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{44}{66}=\frac{2}{3} \). Since the denominator has (3), the decimal will be non-terminating recurring.
(036) का पूरा समूह बार-बार आ रहा है। बार पूरे आवर्ती भाग पर लगाना चाहिए। / The whole block (036) is repeating. The bar should be placed over the entire recurring part.
\(0.0909\ldots\), \(0.0900\ldots\) से बड़ा है। तुलना में दोनों को समान दशमलव रूप में सोचें। / \(0.0909\ldots\) is greater than \(0.0900\ldots\). Think of both in comparable decimal form.
\(x=7.25\div1000=0.00725\) है। (1000) से भाग देने पर दशमलव बिंदु तीन स्थान बाईं ओर जाता है। / \(x=7.25\div1000=0.00725\). On dividing by (1000), the decimal point moves three places to the left.
\(0.875\times100=87.5\), इसलिए (87.5%) है। प्रतिशत में बदलने के लिए (100) से गुणा करें। / \(0.875\times100=87.5\), so it is (87.5%). Multiply by (100) to convert into percentage.
\(16\times625=10000\), इसलिए \( \frac{11}{16}=\frac{6875}{10000}=0.6875 \) है। हर को (10) की घात में बदलें। / \(16\times625=10000\), so \( \frac{11}{16}=\frac{6875}{10000}=0.6875 \). Convert the denominator into a power of (10).
(5) दशमलव के बाद चौथे स्थान पर है। चौथा दशमलव स्थान दस हजारवां होता है। / (5) is in the fourth place after the decimal point. The fourth decimal place is ten-thousandths.
A. \(0.\overline{6}\), \(1.2323\ldots\), \(4.105105\ldots\)
Explanation
Simple Explanation
पहले विकल्प की सभी संख्याओं में कोई न कोई भाग बार-बार दोहरता है। यही असांत आवर्ती दशमलव की पहचान है। / All numbers in the first option have some part repeating again and again. This is the key feature of non-terminating recurring decimals.
\(0.0048=\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\) है। दशमलव स्थान गिनकर सही हर लिखें। / \(0.0048=\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\). Count decimal places to write the correct denominator.
(0.0202) सबसे छोटा और (0.202) सबसे बड़ा है। तुलना के लिए सभी को समान दशमलव स्थान तक लिखें। / (0.0202) is the smallest and (0.202) is the greatest. Write all numbers up to equal decimal places for comparison.
पहला (6) दसवें और अंतिम (6) दस हजारवें स्थान पर है। इसलिए विस्तारित रूप \(5+\frac{6}{10}+\frac{6}{10000}\) है। / The first (6) is in tenths and the last (6) is in ten-thousandths. So the expanded form is \(5+\frac{6}{10}+\frac{6}{10000}\).
\( \frac{13}{40}=0.325 \), जो (0.32) से बड़ा है। भिन्न को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( \frac{13}{40}=0.325 \), which is greater than (0.32). Convert the fraction into a decimal to compare.
हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हैं। इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। / The denominator has only the factors (2) and (5). Therefore, the decimal expansion will be terminating.
हर में (3) है, जो (2) और (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator has (3), a factor other than (2) and (5). So the rational number will have a non-terminating recurring decimal.
\(0.007\div0.0007=10\) है। दशमलव स्थानों का अंतर गुणन संबंध दिखाता है। / \(0.007\div0.0007=10\). The difference in decimal places shows the multiplication relation.
दशमलव भाग में (90) का समूह बार-बार दोहरता है। इसलिए आवर्ती भाग (90) है। / In the decimal part, the block (90) repeats again and again. Therefore, the recurring part is (90).
(0.8750), (0.8705), (0.8700) और (0.8570) से बड़ा है। तुलना में समान दशमलव स्थान लिखें। / (0.8750) is greater than (0.8705), (0.8700), and (0.8570). Write equal decimal places for comparison.
\( \frac{1}{3}=0.333\ldots \) और \( \frac{1}{2}=0.5 \), इसलिए (0.34) बीच में है। सीमाओं को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( \frac{1}{3}=0.333\ldots \) and \( \frac{1}{2}=0.5 \), so (0.34) lies between them. Convert boundaries to decimals for comparison.
\( \frac{41}{200}=\frac{205}{1000}=0.205 \) है। हर (200) को (1000) बनाने के लिए (5) से गुणा करें। / \( \frac{41}{200}=\frac{205}{1000}=0.205 \). Multiply denominator (200) by (5) to make (1000).
अंतिम (4) दशमलव के बाद पांचवें स्थान पर है। पांचवां दशमलव स्थान लाखवां होता है। / The last (4) is in the fifth place after the decimal point. The fifth decimal place is hundred-thousandths.
दोनों को (100) से गुणा करने पर \(36\div12=3\) मिलता है। दशमलव भाग में समान गुणा करने से भागफल नहीं बदलता। / Multiplying both by (100) gives \(36\div12=3\). Multiplying both parts of a division by the same number does not change the quotient.
C. \(2.7182818\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(2.7182818\ldots\) without fixed repetition
Explanation
Simple Explanation
बिना निश्चित दोहराव वाला असांत दशमलव असांत अनावर्ती होता है। ऐसे दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकते हैं। / A non-terminating decimal without fixed repetition is non-terminating non-recurring. Such decimals can represent irrational numbers.
\( \frac{14}{25}=\frac{56}{100}=0.56 \) है। हर को (100) बनाकर तुलना आसान हो जाती है। / \( \frac{14}{25}=\frac{56}{100}=0.56 \). Making the denominator (100) makes comparison easy.
(312) का पूरा समूह दोहर रहा है। इसलिए बार पूरे (312) पर लगाया जाएगा। / The whole block (312) is repeating. So the bar will be placed over the whole (312).
(0.608) का दसवां स्थान (6) है जबकि (0.068) का दसवां स्थान (0) है। इसलिए (x>y) है। / The tenths digit of (0.608) is (6), while that of (0.068) is (0). Therefore, (x>y).
\( \frac{45}{150}=\frac{3}{10} \) है। हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा। / \( \frac{45}{150}=\frac{3}{10} \). The denominator has only (2) and (5), so the decimal will terminate.
\( \frac{1}{9}=0.111\ldots \), इसलिए (0.125) सबसे बड़ा है। भिन्नों को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( \frac{1}{9}=0.111\ldots \), so (0.125) is the greatest. Convert fractions into decimals for comparison.
\(400\times25=10000\), इसलिए \( \frac{27}{400}=\frac{675}{10000}=0.0675 \) है। हर को (10) की घात बनाकर दशमलव निकालें। / \(400\times25=10000\), so \( \frac{27}{400}=\frac{675}{10000}=0.0675 \). Convert the denominator into a power of (10) to find the decimal.
दसवें स्थान समान हैं और सौवें स्थान पर (a) को (3) से बड़ा होना चाहिए। इसलिए (a) का सबसे छोटा मान (4) है। / The tenths digits are equal and the hundredths digit (a) must be greater than (3). So the smallest value of (a) is (4).
इसमें शून्यों की संख्या बदलती रहती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती भाग नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros keeps changing, so there is no fixed recurring part. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
