Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. डिग्री 3 है, क्योंकि शून्येतर गुणांक वाले पदों में \(y\) की सबसे बड़ी घात 3 है।/The degree is 3 because the greatest exponent of \(y\) among terms with non-zero coefficients is 3.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री उसके शून्येतर गुणांक वाले पदों में चर की सबसे बड़ी घात होती है। \(6y^3-y+9\) में \(y\) की घातें क्रमशः 3, 1 और 0 हैं; अतः सबसे बड़ी घात 3 है और डिग्री 3 है। केवल \(-y\) पद की घात देखकर 1 कहना गलत है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद के प्रत्येक पद की घात पहचानें, फिर सबसे बड़ी घात चुनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among terms with non-zero coefficients. In \(6y^3-y+9\), the exponents of \(y\) are 3, 1, and 0 respectively, so the greatest exponent is 3. Looking only at the term \(-y\) and choosing 1 is incorrect. Exam tip: identify the exponent in every term before selecting the greatest one.
बहुपद की डिग्री चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(ax^7\) में \(x\) की घात 7 है और \(a\neq0\) होने से इसका गुणांक शून्य नहीं है। अतः बहुपद की डिग्री 7 है। \(bx^3\) की घात 3 है, इसलिए वह डिग्री निर्धारित नहीं करता। परीक्षा टिप: उच्चतम घात वाले पद का गुणांक शून्य नहीं है, यह पहले जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Here, \(ax^7\) has exponent 7, and its coefficient is non-zero because \(a\neq0\). Therefore, the degree is 7. The term \(bx^3\) has exponent 3, so it cannot determine the degree. Exam tip: first check that the coefficient of the highest-power term is not zero.
\(a=0\) रखने पर \(ax^7\) वाला पद शून्य हो जाता है। बहुपद \(bx^3+2\) रह जाता है। क्योंकि \(b\neq0\), \(x^3\) का गुणांक शून्य नहीं है, इसलिए शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात 3 है। अतः इसकी डिग्री 3 है। विकल्प 2 अचर पद \(2\) को देखकर भ्रमित कर सकता है, पर अचर पद की डिग्री 0 होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / When \(a=0\), the term \(ax^7\) becomes zero. The polynomial is then \(bx^3+2\). Since \(b\neq0\), the coefficient of \(x^3\) is non-zero, so the highest remaining power of \(x\) is 3. Hence, its degree is 3. Option 2 may seem tempting because of the constant \(2\), but a non-zero constant has degree 0. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before identifying the highest exponent.
\(\sqrt{5}\) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, क्योंकि इसमें \(x\) वाला कोई पद नहीं है। प्रत्येक अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री \(0\) होती है। \(5x\) की डिग्री \(1\) तथा \(x^2+5\) की डिग्री \(2\) है। विकल्प A में शून्य बहुपद है, जिसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। परीक्षा टिप: किसी अशून्य नियतांक की घात \(0\) मानी जाती है। / \(\sqrt{5}\) is a non-zero constant polynomial because it has no term containing \(x\). Every non-zero constant polynomial has degree \(0\). The degree of \(5x\) is \(1\), while that of \(x^2+5\) is \(2\). Option A is the zero polynomial, whose degree is not defined. Exam tip: Any non-zero constant has degree \(0\).
\(b=0\) रखने पर \(bx^5=0\) हो जाता है, इसलिए व्यंजक \(ax^2-4\) रह जाता है। चूँकि \(a\neq0\) है, इसलिए \(x^2\) का गुणांक शून्य नहीं है। अतः शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी डिग्री 2 होगी। विकल्प 5 गलत है क्योंकि \(x^5\) वाला पद शून्य हो जाता है। परीक्षा टिप: दिए गए गुणांकों के मान पहले रखिए और शून्य गुणांक वाले पद हटाने के बाद सबसे बड़ी घात ज्ञात कीजिए। / Substituting \(b=0\) makes \(bx^5=0\), so the expression reduces to \(ax^2-4\). Since \(a\neq0\), the coefficient of \(x^2\) is non-zero. Thus, the highest power of \(x\) remaining in the polynomial is 2, so its degree is 2. Option 5 is incorrect because the \(x^5\) term becomes zero. Exam tip: first substitute the given coefficient values, remove terms with zero coefficients, and then find the highest remaining exponent.
B. यह एक बहुपद है जिसकी डिग्री \(3\) है/It is a polynomial of degree \(3\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^3}{4}-\sqrt{6}x+10\) में \(x\) की घातें \(3\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं। इसलिए यह एक बहुपद है। बहुपद के गुणांक वास्तविक संख्याएँ हो सकते हैं, इसलिए \(\frac14\) और \(-\sqrt{6}\) दोनों मान्य गुणांक हैं। \(x\) की सबसे बड़ी घात \(3\) है, अतः इसकी डिग्री \(3\) है। \(\sqrt{6}\) जैसा अपरिमेय गुणांक बहुपद को अमान्य नहीं बनाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें, गुणांक का प्रकार नहीं। / In \(\frac{x^3}{4}-\sqrt{6}x+10\), the powers of \(x\) are \(3\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Therefore, it is a polynomial. Polynomial coefficients may be real numbers, so both \(\frac14\) and \(-\sqrt{6}\) are valid coefficients. The highest power of \(x\) is \(3\), so its degree is \(3\). An irrational coefficient such as \(\sqrt{6}\) does not make an expression non-polynomial. Exam tip: find the degree by identifying the greatest exponent of the variable, not by checking the type of coefficient.
\(x^5-3x+2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(5\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(5\) है, जो \(2\) से अधिक है। \(9x^2+1\) की डिग्री \(2\) और \(4x-5\) की डिग्री \(1\) है। \(\frac{1}{x}+2\) बहुपद नहीं है, क्योंकि \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) में चर की घात ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सबसे बड़ी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात ही उसकी डिग्री होती है। / In \(x^5-3x+2\), the highest power of \(x\) is \(5\), so its degree is \(5\), which is greater than \(2\). \(9x^2+1\) has degree \(2\), and \(4x-5\) has degree \(1\). \(\frac{1}{x}+2\) is not a polynomial because \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) has a negative exponent of the variable. Exam tip: the degree of a polynomial is the highest non-negative integer exponent of its variable.
\(3x^4-7x+6\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है। अतः यह डिग्री \(4\) का बहुपद है और \(4<5\), इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A बहुपद तो है, पर उसकी डिग्री \(5\) है। विकल्प B में \(x\) हर में है और विकल्प D में \(x\) की भिन्नात्मक घात है, इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। / In \(3x^4-7x+6\), the highest power of \(x\) is \(4\). Therefore, it is a polynomial of degree \(4\), and since \(4<5\), option C is correct. Option A is a polynomial but has degree \(5\). In option B, \(x\) occurs in the denominator, and option D has a fractional exponent, so neither is a polynomial. Exam tip: The exponents of a variable in a polynomial must be non-negative integers.
