Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(a-2-b-2=(a-b)(a+b)), जहाँ \(a-b=2\sqrt{5}\) और (a+b=6) है। इसलिए मान \(12\sqrt{5}\) है। / (a-2-b-2=(a-b)(a+b)), where \(a-b=2\sqrt{5}\) and (a+b=6). So the value is \(12\sqrt{5}\).
\(\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\) होता है। इसलिए \(x+\sqrt{2}=2\sqrt{2}-1\) नहीं, बल्कि (\(\sqrt{2}-1\)+\sqrt{2}=2\sqrt{2}-1) है। / \(\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\). So (x+\sqrt{2}=\(\sqrt{2}-1\)+\sqrt{2}=2\sqrt{2}-1).
हर के संयुग्मी \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करने पर हर (1) और अंश (\(2+\sqrt{3}\)2) बनता है। इसलिए उत्तर \(7+4\sqrt{3}\) है। / Multiplying by the conjugate \(2+\sqrt{3}\) makes the denominator (1) and numerator (\(2+\sqrt{3}\)2). So the answer is \(7+4\sqrt{3}\).
पहला पद \(\sqrt{2}-1\) और दूसरा \(\sqrt{2}+1\) बनता है। योग \(2\sqrt{2}\) है। / The first term becomes \(\sqrt{2}-1\) and the second becomes \(\sqrt{2}+1\). Their sum is \(2\sqrt{2}\).
\(x^2=6+2+2\sqrt{12}=8+4\sqrt{3}\) है। वर्ग करते समय मध्य पद को सही सरल करें। / \(x^2=6+2+2\sqrt{12}=8+4\sqrt{3}\). Simplify the middle term correctly while squaring.
(a-2-b-2=(a-b)(a+b)), जहाँ \(a-b=2\sqrt{3}\) और (a+b=10) है। इसलिए मान \(20\sqrt{3}\) है। / (a-2-b-2=(a-b)(a+b)), where \(a-b=2\sqrt{3}\) and (a+b=10). So the value is \(20\sqrt{3}\).
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) और \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) है। इसलिए परिणाम \(\sqrt{5}\) है। / \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), and \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\). Therefore the result is \(\sqrt{5}\).
\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) है। इसलिए परिणाम \(6\sqrt{3}\) है। / \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\). Therefore the result is \(6\sqrt{3}\).
संयुग्मी \(\sqrt{5}-2\) से गुणा करने पर हर (5-4=1) होता है। इसलिए \(p=\sqrt{5}-2\) है। / Multiplying by the conjugate \(\sqrt{5}-2\) makes the denominator (5-4=1). So \(p=\sqrt{5}-2\).
\(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), इसलिए अंश \(11\sqrt{2}\) है। \(\sqrt{2}\) से भाग देने पर (11) मिलता है। / \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), so the numerator is \(11\sqrt{2}\). Dividing by \(\sqrt{2}\) gives (11).
B. यह वास्तविक संख्या है और इसका वर्ग \(3+\sqrt{5}\) है/It is real and its square is \(3+\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
किसी धनात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक होता है और उसका वर्ग वही संख्या देता है। यहाँ \(3+\sqrt{5}\) धनात्मक है। / The square root of a positive number is real and its square gives the same number. Here \(3+\sqrt{5}\) is positive.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) है। इसलिए (m-n=0) मिलता है। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\). Therefore (m-n=0).
पहले वर्ग में \(2\sqrt{10}\) जुड़ता है और दूसरे में \(2\sqrt{10}\) घटता है। अंतर \(4\sqrt{10}\) है। / The first square adds \(2\sqrt{10}\) and the second subtracts \(2\sqrt{10}\). The difference is \(4\sqrt{10}\).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (9-5=4) और अंश (\(3+\sqrt{5}\)2=14+6\sqrt{5}) मिलता है। इसलिए उत्तर \(\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\) है। / Multiplying by the conjugate gives denominator (9-5=4) and numerator (\(3+\sqrt{5}\)2=14+6\sqrt{5}). So the answer is \(\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\).
हर का संयुग्मी \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) है और हर (1) बनता है। इसलिए मान (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}) है। / The conjugate of the denominator is \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) and the denominator becomes (1). So the value is (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}).
\(\sqrt{7}+\sqrt{28}=3\sqrt{7}\) है जो अपरिमेय है। बाकी विकल्पों में मूल हटकर परिमेय मान मिलते हैं। / \(\sqrt{7}+\sqrt{28}=3\sqrt{7}\), which is irrational. In the other options the radicals simplify to rational values.
\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) और \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) है। इसलिए \(r=5\sqrt{5}\) है। / \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) and \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\). Therefore \(r=5\sqrt{5}\).
B. इसका वर्ग \(6+\sqrt{11}\) है/Its square is \(6+\sqrt{11}\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(6+\sqrt{11}\) धनात्मक है, इसका वर्गमूल वास्तविक है। वर्ग करने पर अंदर की संख्या \(6+\sqrt{11}\) मिलती है। / Since \(6+\sqrt{11}\) is positive, its square root is real. Squaring it gives the inside number \(6+\sqrt{11}\).
\(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) और \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), इसलिए \(u=\sqrt{5}\) है। अतः \(u+v=2\sqrt{5}\) है। / \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) and \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), so \(u=\sqrt{5}\). Hence \(u+v=2\sqrt{5}\).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (6-1=5) बनता है। इसलिए रूप (\frac{5\(\sqrt{6}+1\)}{5}), यानी \(\sqrt{6}+1\), है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (6-1=5). So the form is (\frac{5\(\sqrt{6}+1\)}{5}), that is \(\sqrt{6}+1\).
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), इसलिए योग \(5\sqrt{3}\) है। इसका वर्ग (75) है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), so the sum is \(5\sqrt{3}\). Its square is (75).
अपरिमेय दशमलव असांत और अनावर्ती होता है। चौथे विकल्प में कोई निश्चित दोहराव नहीं है। / An irrational decimal is non-terminating and non-repeating. The fourth option has no fixed repetition.
(ab=7-3=4) और \(a+b=2\sqrt{7}\) है। संयुग्मी में गुणन और योग अलग-अलग देखें। / (ab=7-3=4) and \(a+b=2\sqrt{7}\). In conjugates check product and sum separately.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), इसलिए कोष्ठक \(2\sqrt{2}\) है। \(\sqrt{2}\) से गुणा करने पर (4) मिलता है। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), so the bracket is \(2\sqrt{2}\). Multiplying by \(\sqrt{2}\) gives (4).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (7-5=2) बनता है। इसलिए (\frac{2\(\sqrt{7}-\sqrt{5}\)}{2}=\sqrt{7}-\sqrt{5}) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (7-5=2). So (\frac{2\(\sqrt{7}-\sqrt{5}\)}{2}=\sqrt{7}-\sqrt{5}).
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए \(2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0\) है। पहले मूल को सरल करना जरूरी है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so \(2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0\). Simplifying the radical first is necessary.
एक ही वर्गमूल का अपने आप से गुणन अंदर की संख्या देता है। इसलिए मान \(3+\sqrt{2}\) है। / Multiplying the same square root by itself gives the number inside. Therefore the value is \(3+\sqrt{2}\).
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) है। इसलिए परिणाम \(11\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Therefore the result is \(11\sqrt{2}\).
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए \(s=5\sqrt{3}\) है। \(\sqrt{3}\) से भाग देने पर (5) मिलता है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so \(s=5\sqrt{3}\). Dividing by \(\sqrt{3}\) gives (5).
संयुग्मी से गुणा करने पर (\frac{\(\sqrt{3}-1\)2}{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}) मिलता है। हर का परिमेयकरण करें। / Multiplying by the conjugate gives (\frac{\(\sqrt{3}-1\)2}{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}). Rationalise the denominator.
\(x=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\) और \(y=3\sqrt{2}\) है। इसलिए (x-y=0) है। / \(x=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\) and \(y=3\sqrt{2}\). Therefore (x-y=0).
पहले तीन विकल्प क्रमशः (4), (3) और (3) देते हैं। चौथा \(\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। / The first three options give (4), (3), and (3) respectively. The fourth is \(\sqrt{10}\), which is irrational.
पहचान ((a+b)2-(a-b)2=4ab) लगाएं। यहाँ \(a=\sqrt{13}\) और (b=2), इसलिए मान \(8\sqrt{13}\) है। / Use ((a+b)2-(a-b)2=4ab). Here \(a=\sqrt{13}\) and (b=2), so the value is \(8\sqrt{13}\).
क्षेत्रफल (\(3+\sqrt{2}\)\(3-\sqrt{2}\)=9-2=7) है। संयुग्मी आयामों का गुणन परिमेय क्षेत्रफल दे सकता है। / Area is (\(3+\sqrt{2}\)\(3-\sqrt{2}\)=9-2=7). Multiplying conjugate dimensions can give a rational area.
\(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) है। इसलिए परिणाम \(5\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). Therefore the result is \(5\sqrt{2}\).
पहला पद \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) और दूसरा \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) बनता है। योग \(2\sqrt{3}\) है। / The first term becomes \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) and the second becomes \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\). Their sum is \(2\sqrt{3}\).
(\(\sqrt{11}-\sqrt{7}\)2=11+7-2\sqrt{77}) है। मध्य पद का चिन्ह ऋणात्मक रहेगा। / (\(\sqrt{11}-\sqrt{7}\)2=11+7-2\sqrt{77}). The middle term stays negative.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) है। इसलिए योग \(7\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). So the sum is \(7\sqrt{2}\).
क्योंकि (6<6.5<7), इसलिए \(\sqrt{6.5}\) दोनों के बीच होगा। धनात्मक वर्गमूलों में अंदर की संख्या से तुलना करें। / Since (6<6.5<7), \(\sqrt{6.5}\) lies between them. For positive square roots compare the numbers inside.
\(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) और \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), इसलिए \(A=5\sqrt{7}\) है। अतः (A=B) है। / \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) and \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), so \(A=5\sqrt{7}\). Hence (A=B).
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए अंश \(\sqrt{5}\) है। भाग देने पर (1) मिलता है। / \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so the numerator is \(\sqrt{5}\). Dividing gives (1).
वर्गमूल का वर्ग अंदर की संख्या देता है। इसलिए (\left\(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right\)2=2+\sqrt{3}) है। / The square of a square root gives the number inside. So (\left\(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right\)2=2+\sqrt{3}).
\(\sqrt{11}\) और \(-\sqrt{11}\) दोनों अपरिमेय हैं और योग (0) है। (0) परिमेय संख्या है। / \(\sqrt{11}\) and \(-\sqrt{11}\) are both irrational and their sum is (0). (0) is rational.
यह \(a^2-b^2\) रूप है, इसलिए मान (8-18=-10) है। संयुग्मी गुणन में सीधे वर्गों का अंतर लें। / This is the \(a^2-b^2\) form, so the value is (8-18=-10). In conjugate multiplication take the difference of squares directly.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), इसलिए \(a=7\sqrt{3}\) है। अतः (a-b=0) है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), so \(a=7\sqrt{3}\). Hence (a-b=0).
