Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. अंत में सामान्य गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास बनाना/To create contradiction when a common factor appears later
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (\gcd(a,b)=1) होता है। बाद में दोनों सम मिलना इसी शर्त से टकराता है। / In lowest form (\gcd(a,b)=1). Later both becoming even contradicts this condition.
A. समान और निष्पक्ष कानून प्रयोग का अभाव/Absence of equal and fair application of law
Explanation
Simple Explanation
कानून का शासन चयनात्मक कार्रवाई नहीं मानता। परीक्षा में समान मामले और समान कानून साथ देखें। / Rule of law does not accept selective action. Exam tip: check similar cases and equal law together.
B. क्योंकि न्यायिक उपचार का रास्ता बंद होगा/Because the path of judicial remedy will be closed
Explanation
Simple Explanation
अदालत तक पहुंच अधिकारों की रक्षा का महत्वपूर्ण साधन है। परीक्षा में अधिकार और उपचार को साथ याद रखें। / Access to court is an important tool to protect rights. Exam tip: remember rights and remedies together.
A. क्योंकि वर्ग संबंध से केवल \(a^2\) सम और फिर (a) सम मिलता है/Because the square relation only gives \(a^2\) even and then (a) even
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल लेते समय \(\sqrt{2b^2}\) को (2b) नहीं लिख सकते। सही कदम (a=2k) है। / While taking square root \(\sqrt{2b^2}\) cannot be written as (2b). The correct step is (a=2k).
C. अभिव्यक्ति की स्वतंत्रता पर मनमानी चोट हो सकती है/Freedom of expression may be arbitrarily harmed
Explanation
Simple Explanation
अस्पष्ट और व्यापक कानून अधिकारों को दबाने का साधन बन सकता है। परीक्षा में आलोचना और हिंसा को अलग समझें। / A vague and broad law can become a tool to suppress rights. Exam tip: distinguish criticism from violence.
A. पहले \(x^2\) का (3) से विभाज्य होना और फिर (x=3k) लिखना चाहिए/First show \(x^2\) is divisible by (3) and then write (x=3k)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=3y^2\) से सीधे (x=3y) नहीं मिलता। अभाज्य विभाज्यता से (x=3k) मिलता है। / \(x^2=3y^2\) does not directly give (x=3y). Prime divisibility gives (x=3k).
D. बहुमत पर अधिकारों और कानून की सीमा/Limit of rights and law on majority
Explanation
Simple Explanation
बहुमत भी नागरिक अधिकारों से ऊपर नहीं होता। परीक्षा में अल्पसंख्यक अधिकारों को लोकतंत्र की कसौटी मानें। / Majority is not above citizens' rights. Exam tip: treat minority rights as a test of democracy.
A. क्योंकि सिर्फ (a) सम होना विरोधाभास नहीं देता/Because only (a) being even does not give contradiction
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास तब बनता है जब (a) और (b) दोनों सम हों। दोनों सम होने से वे सहभाज्य नहीं रह सकते। / The contradiction forms when both (a) and (b) are even. Then they cannot remain coprime.
A. कानून का शासन सत्ता को सीमित करता है जबकि कानून द्वारा शासन कानून को दमन का साधन बना सकता है/Rule of law limits power while rule by law may use law as repression
Explanation
Simple Explanation
कानून का शासन न्यायपूर्ण सीमा और समानता मांगता है। परीक्षा में कानून के उद्देश्य और प्रयोग दोनों देखें। / Rule of law demands just limits and equality. Exam tip: check both purpose and use of law.
A. क्योंकि तभी (p) और (q) में सामान्य गुणनखंड (3) मिलेगा/Because only then common factor (3) will appear in (p) and (q)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना विरोधाभास नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य हो तो सहभाज्य शर्त टूटती है। / Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction. If (q) is also divisible by (3), the coprime condition breaks.
B. न्यायपूर्ण प्रक्रिया और बचाव का अधिकार/Fair process and right to defence
Explanation
Simple Explanation
बचाव तभी संभव है जब आरोप और प्रमाण की जानकारी मिले। परीक्षा में सुनवाई और प्रमाण दोनों याद रखें। / Defence is possible only when accusation and evidence are known. Exam tip: remember hearing and evidence both.
A. क्योंकि दाएँ पक्ष का सम होना \(a^2\) के बारे में बताता है/Because the even right side tells about \(a^2\)
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=2b^2\) से पहले \(a^2\) सम सिद्ध होता है। \(b^2\) सम (a=2k) रखने के बाद मिलता है। / From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\) is proved even. \(b^2\) even is obtained only after taking (a=2k).
C. न्यायिक स्वतंत्रता और अधिकार संरक्षण/Judicial independence and rights protection
Explanation
Simple Explanation
स्वतंत्र न्यायालय सत्ता की मनमानी रोकने में मदद करते हैं। परीक्षा में न्यायालय को नियंत्रण संस्था समझें। / Independent courts help stop arbitrary power. Exam tip: understand courts as checking institutions.
A. क्योंकि पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध करके (p=3r) रखना पड़ता है/Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3r) must be used
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) पहले \(p^2\) की विभाज्यता देता है। \(q^2=3r^2\) बाद में प्रतिस्थापन से मिलता है। / \(p^2=3q^2\) first gives divisibility of \(p^2\). \(q^2=3r^2\) comes later by substitution.
D. आपात शक्ति मनमानी बन सकती है/Emergency power can become arbitrary
Explanation
Simple Explanation
संकट में भी सत्ता पर कुछ कानूनी नियंत्रण जरूरी है। परीक्षा में सुरक्षा और अधिकार का संतुलन देखें। / Some legal control over power is necessary even in crisis. Exam tip: see balance between security and rights.
A. सहभाज्य संख्याओं का सामान्य गुणनखंड (1) होता है/Coprime numbers have common factor (1) only
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। दोनों सम हों तो सामान्य गुणनखंड (2) होगा। / In lowest form numerator and denominator are coprime. If both are even, common factor (2) exists.
अधिकार तभी प्रभावी होते हैं जब उल्लंघन पर उपचार मिले। परीक्षा में अधिकार और उपाय साथ लिखें। / Rights are effective only when remedy exists for violation. Exam tip: write rights and remedies together.
A. क्योंकि फिर (\gcd(p,q)\ge3) होगा/Because then (\gcd(p,q)\ge3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (\gcd(p,q)=1) होना चाहिए। दोनों (3) से विभाज्य हों तो यह शर्त टूटती है। / In lowest form (\gcd(p,q)=1) should hold. If both are divisible by (3), this condition breaks.
B. समान दंड और समान कानून का उल्लंघन/Violation of equal punishment and equal law
Explanation
Simple Explanation
समान अपराध पर अलग दंड कानून की बराबरी को कमजोर करता है। परीक्षा में समान परिस्थिति में समान प्रक्रिया देखें। / Different punishment for the same offence weakens equality of law. Exam tip: check same procedure in same situation.
A. सरलतम \(\frac{a}{b}\) से और छोटी भिन्न मिल जाती है/From lowest \(\frac{a}{b}\) an even smaller fraction is obtained
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम मिलने पर \(\frac{a}{b}\) को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम भिन्न के विचार के विरुद्ध है। / When both are even, \(\frac{a}{b}\) can be reduced by (2). This opposes the idea of a lowest fraction.
C. सत्ता की जांच और सूचना पाने की क्षमता/Ability to scrutinise power and get information
Explanation
Simple Explanation
स्वतंत्र प्रेस सत्ता को जवाबदेह बनाने में मदद करती है। परीक्षा में प्रेस स्वतंत्रता को जवाबदेही से जोड़ें। / Free press helps make power accountable. Exam tip: connect press freedom with accountability.
A. सरलतम \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न मिलती है/From lowest \(\frac{p}{q}\) a smaller fraction reducible by (3) is obtained
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य हों तो भिन्न घट सकती है। इसलिए माना गया सरलतम रूप संभव नहीं है। / If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
D. पूर्वानुमेय कानून और न्यायपूर्णता की चिंता/Concern of predictable law and fairness
Explanation
Simple Explanation
नागरिक को पहले से पता होना चाहिए कि कौन सा कार्य दंडनीय है। परीक्षा में कानून की निश्चितता याद रखें। / Citizens should know beforehand which act is punishable. Exam tip: remember certainty of law.
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होती है/In a perfect square the exponent of (2) is even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(2b^2\) में (2) की घात विषम बनने से विरोधाभास समझ आता है। / In a perfect square every prime exponent is even. In \(2b^2\), the exponent of (2) becoming odd explains the contradiction.
न्याय तक पहुंच व्यवहार में भी संभव होनी चाहिए। परीक्षा में भाषा और न्याय को जोड़ें। / Access to justice must be possible in practice too. Exam tip: connect language and justice.
A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square the exponent of (3) must be even
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=3b^2\) में \(a^2\) पूर्ण वर्ग है। पर दाएँ पक्ष में (3) की घात विषम हो सकती है। / In \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is a perfect square. But the right side can make the exponent of (3) odd.
B. चयनात्मक और पक्षपातपूर्ण अधिकार प्रयोग/Selective and biased use of rights
Explanation
Simple Explanation
समान परिस्थिति में अलग अनुमति पक्षपात का संकेत है। परीक्षा में समान अधिकार और समान व्यवहार देखें। / Different permission in similar situations signals bias. Exam tip: check equal rights and equal treatment.
A. \(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) सम/\(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) even
Explanation
Simple Explanation
प्रतिस्थापन के बाद \(b^2=2k^2\) मिलता है। इससे \(b^2\) सम और फिर (b) सम है। / After substitution \(b^2=2k^2\) is obtained. Hence \(b^2\) is even and then (b) is even.
C. वैधता उचितता और अनुपातिकता परीक्षण/Test of legality reasonableness and proportionality
Explanation
Simple Explanation
सुरक्षा कारण भी मनमानी रोक का आधार नहीं बनना चाहिए। परीक्षा में उचित और अनुपातिक सीमा याद रखें। / Security reason should not become a basis for arbitrary ban. Exam tip: remember reasonable and proportionate limits.
A. \(9r^2=3q^2\Rightarrow q^2=3r^2\Rightarrow q\) (3) से विभाज्य/\(9r^2=3q^2\Rightarrow q^2=3r^2\Rightarrow q\) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(q^2=3r^2\) मिलता है। इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। / Dividing both sides by (3) gives \(q^2=3r^2\). Therefore (q) is also divisible by (3).
D. सार्वजनिक नियमों का निजी लाभ के लिए दुरुपयोग/Misuse of public rules for private benefit
Explanation
Simple Explanation
नियम सार्वजनिक हित के लिए होते हैं निजी लाभ के लिए नहीं। परीक्षा में भाई भतीजावाद को पहचानें। / Rules are for public interest, not private gain. Exam tip: identify nepotism.
केवल (a) सम होना सामान्य गुणनखंड नहीं दिखाता। विरोधाभास के लिए (b) भी सम होना चाहिए। / Only (a) being even does not show a common factor. For contradiction (b) must also be even.
सूचना मांगना सत्ता को जवाबदेह बनाने में मदद करता है। परीक्षा में सूचना को पारदर्शिता से जोड़ें। / Seeking information helps make power accountable. Exam tip: connect information with transparency.
A. केवल (p) (3) से विभाज्य है/Only (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य चाहिए। / Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction to coprime condition. (q) must also be divisible by (3).
B. शांतिपूर्ण अधिकार मांगने पर मनमाना दंड/Arbitrary punishment for peaceful demand of rights
Explanation
Simple Explanation
अधिकार मांगना लोकतांत्रिक नागरिकता का हिस्सा है। परीक्षा में शांतिपूर्ण मांग और अपराध अलग रखें। / Demanding rights is part of democratic citizenship. Exam tip: keep peaceful demand and crime separate.
A. भिन्न (2) से घट सकती है इसलिए वह सरलतम नहीं रहती/The fraction can be reduced by (2), so it is not lowest
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर (2) सामान्य गुणनखंड है। सरलतम भिन्न में ऐसा नहीं हो सकता। / If both are even, (2) is a common factor. This cannot happen in a lowest fraction.
C. संगठन की स्वतंत्रता और प्राकृतिक न्याय/Freedom of association and natural justice
Explanation
Simple Explanation
कारण और सुनवाई मनमानी रोकने के साधन हैं। परीक्षा में संगठन अधिकार और सुनवाई साथ देखें। / Reasons and hearing are tools to prevent arbitrariness. Exam tip: see association right and hearing together.
A. वह (3) से घटाई जा सकती है इसलिए सरलतम नहीं है/It can be reduced by (3), so it is not lowest
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है। इसलिए सरलतम रूप की मान्यता गलत होती है। / Both have common factor (3). Therefore the lowest-form assumption becomes false.
D. निजता और कानूनी प्रक्रिया का मुद्दा/Issue of privacy and legal process
Explanation
Simple Explanation
निगरानी के लिए कानून और नियंत्रण जरूरी हैं। परीक्षा में निजता को नागरिक स्वतंत्रता से जोड़ें। / Surveillance needs law and control. Exam tip: connect privacy with civil liberty.
A. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास बनाता है/\(b\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) creates contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना परिभाषा की शर्त है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है। / Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
अदालत का आदेश लागू होना वास्तविक अधिकार रक्षा के लिए जरूरी है। परीक्षा में निर्णय और अनुपालन दोनों देखें। / Implementation of court order is necessary for real rights protection. Exam tip: check both judgment and compliance.
A. \(q\neq0\) भिन्न के लिए जरूरी है और (\gcd(p,q)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है/\(q\neq0\) is needed for the fraction and (\gcd(p,q)=1) is the basis of final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है। (\gcd(p,q)=1) दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास देता है। / \(q\neq0\) keeps the fraction defined. (\gcd(p,q)=1) gives contradiction when both are divisible by (3).
B. संवैधानिक सीमित सरकार/Constitutional limited government
Explanation
Simple Explanation
कानून बनाने वाली संस्था भी संविधान की सीमा में रहती है। परीक्षा में सत्ता की संवैधानिक सीमा याद रखें। / The law-making body also remains within constitutional limits. Exam tip: remember constitutional limits on power.
A. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge2) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge2) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों सम होने से वह कम से कम (2) होगा। / Being coprime means the highest common factor is (1). Both even means it is at least (2).
C. चयनात्मक और दंडात्मक कानून प्रयोग का प्रश्न/Question of selective and punitive use of law
Explanation
Simple Explanation
समान मामलों में अलग कार्रवाई पक्षपात दिखा सकती है। परीक्षा में चयनात्मक दंड पहचानें। / Different action in similar cases can show bias. Exam tip: identify selective punishment.
A. (\gcd(p,q)=1) और (\gcd(p,q)\ge3) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(p,q)=1) and (\gcd(p,q)\ge3) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से (\gcd(p,q)=1) है। दोनों (3) से विभाज्य होने से (\gcd(p,q)\ge3) होगा। / Coprime means (\gcd(p,q)=1). Both divisible by (3) means (\gcd(p,q)\ge3).
D. सांस्कृतिक अधिकार और अभिव्यक्ति की स्वतंत्रता/Cultural rights and freedom of expression
Explanation
Simple Explanation
भाषा पहचान और अभिव्यक्ति दोनों से जुड़ी हो सकती है। परीक्षा में सांस्कृतिक अधिकारों को पहचानें। / Language can be linked with identity and expression. Exam tip: identify cultural rights.
A. दोनों में परिमेय मान्यता और सहभाज्य भिन्न से विरोधाभास है/Both use rational assumption and contradiction from coprime fraction
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों की संरचना समान है। फर्क केवल (2) और (3) के अभाज्य गुणनखंड का है। / Both proofs have the same structure. The difference is only the prime factors (2) and (3).
A. भेदभाव रहित समान कानून का दावा/Claim of non-discriminatory equal law
Explanation
Simple Explanation
जाति आधारित कानून प्रयोग समानता के विरुद्ध है। परीक्षा में भेदभाव रहित कानून को मुख्य रखें। / Caste-based application of law is against equality. Exam tip: keep non-discriminatory law central.
