Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sqrt{2}\) के विरोधाभास प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) और (\gcd(a,b)=1) मानने के बाद \(a^2=2b^2\) मिलता है। निर्णायक पहला विभाज्यता निष्कर्ष कौन-सा है?
\(a^2\) सम है इसलिए (a) सम होगा। परीक्षा में पहले अंश की समता लिखें। / \(a^2\) is even, so (a) is even. In exams, first write the evenness of the numerator.
\(r^2\) सम है इसलिए (r) सम होगा। परीक्षा में वर्ग से संख्या तक का नियम स्पष्ट लिखें। / \(r^2\) is even, so (r) is even. In exams, clearly write the rule from square to number.
A. पारदर्शिता और जवाबदेही की कमी/Lack of transparency and accountability
Explanation
Simple Explanation
कारण बताए बिना अधिकार सीमित करना मनमानी को बढ़ा सकता है। परीक्षा में कारणयुक्त निर्णय को कानून के शासन से जोड़ें। / Restricting rights without reasons can increase arbitrariness. In exams connect reasoned decisions with rule of law.
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है। यही (p=3r) का आधार है। / If prime (3) divides a square, it divides the number too. This is the basis for (p=3r).
\(m^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है। इसलिए (m) भी (3) से विभाज्य होगा। / \(m^2\) is divisible by (3) and (3) is prime. Therefore (m) is also divisible by (3).
B. कानून लिखा हो पर शक्तिशाली पर लागू न हो/Law is written but not applied to the powerful
Explanation
Simple Explanation
लिखा हुआ कानून तभी वास्तविक है जब वह सभी पर लागू हो। परीक्षा में औपचारिक और वास्तविक कानून शासन अलग पहचानें। / Written law becomes real only when applied to everyone. In exams distinguish formal and real rule of law.
(r=2t) रखने पर \(4t^2=2s^2\) और फिर \(s^2=2t^2\) मिलता है। इससे (s) सम सिद्ध होता है। / Putting (r=2t) gives \(4t^2=2s^2\) and then \(s^2=2t^2\). This proves (s) even.
C. क्योंकि आदेश का लागू होना भी जरूरी है/Because enforcement of orders is also necessary
Explanation
Simple Explanation
अदालत का निर्णय तभी प्रभावी होता है जब उसका पालन हो। परीक्षा में न्यायिक आदेश और लागूकरण साथ लिखें। / A court decision is effective only when it is enforced. In exams write judicial orders and enforcement together.
D. बहुमत की मनमानी पर सीमा लगाना/Limiting majority arbitrariness
Explanation
Simple Explanation
मूल अधिकार बहुमत की मनमानी पर सीमा लगाते हैं। परीक्षा में अधिकारों को बहुमत शासन की मर्यादा समझें। / Basic rights limit majority arbitrariness. In exams understand rights as limits of majority rule.
A. क्योंकि विरोधाभास के लिए (b) भी सम सिद्ध होना चाहिए/Because (b) must also be proved even for contradiction
Explanation
Simple Explanation
केवल (a) सम होने से सहभाज्य शर्त नहीं टूटती। दोनों (a) और (b) सम होने चाहिए। / Only (a) being even does not break the coprime condition. Both (a) and (b) must be even.
A. क्योंकि पहले (r) और फिर (s) दोनों सम सिद्ध होने चाहिए/Because first (r) and then (s) must both be proved even
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास सरलतम भिन्न से तभी बनता है जब अंश और हर दोनों में (2) सामान्य हो। केवल \(r^2\) सम होना मध्य चरण है। / The contradiction with lowest fraction forms only when numerator and denominator both have common factor (2). Only \(r^2\) being even is a middle step.
A. व्यक्तिगत स्वतंत्रता को मनमानी से बचाने के लिए/To protect personal liberty from arbitrariness
Explanation
Simple Explanation
गिरफ्तारी में कारण सुनवाई और न्यायिक पहुंच नागरिक स्वतंत्रता की रक्षा करते हैं। परीक्षा में वैधानिक प्रक्रिया को सुरक्षा समझें। / Reason hearing and judicial access in arrest protect civil liberty. In exams understand legal procedure as protection.
B. अभिव्यक्ति और असहमति की स्वतंत्रता/Freedom of expression and dissent
Explanation
Simple Explanation
शांतिपूर्ण आलोचना लोकतंत्र में अभिव्यक्ति का हिस्सा है। परीक्षा में आलोचना और हिंसा में अंतर रखें। / Peaceful criticism is part of expression in democracy. In exams keep criticism and violence separate.
C. (\gcd(r,s)=1) और (\gcd(r,s)\ge2) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(r,s)=1) and (\gcd(r,s)\ge2) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) सामान्य है, इसलिए महत्तम समापवर्तक कम से कम (2) होगा। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है। / Both have common factor (2), so the HCF is at least (2). This contradicts lowest form.
C. नियम आधारित निष्पक्ष प्रशासन/Rule based fair administration
Explanation
Simple Explanation
प्रशासन निजी पसंद से नहीं बल्कि नियमों और कानून से चलना चाहिए। परीक्षा में नियम आधारित प्रशासन याद रखें। / Administration should run by rules and law not personal preference. In exams remember rule based administration.
B. क्योंकि \(a^2=2b^2\) पहले \(a^2\) की समता बताता है/Because \(a^2=2b^2\) first shows evenness of \(a^2\)
Explanation
Simple Explanation
इस समीकरण से पहले (a) सम सिद्ध होता है। (b) सम (a=2k) रखने के बाद सिद्ध होता है। / This equation first proves (a) even. (b) is proved even only after putting (a=2k).
A. कानून अधिकारों की रक्षा करे और अधिकार जिम्मेदारी से प्रयोग हों/Law protects rights and rights are exercised responsibly
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में कानून और अधिकार पूरक हैं। परीक्षा में अधिकार और जिम्मेदारी साथ लिखें। / In democracy law and rights are complementary. In exams write rights and responsibility together.
A. पहले (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध किए बिना हर पर निष्कर्ष लगाना/Concluding about the denominator before proving (p) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
पहले \(p^2\) से (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। फिर (p=3r) रखकर (q) का निष्कर्ष आता है। / First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then (q) follows after taking (p=3r).
B. कानून सामान्य और निष्पक्ष नहीं है/Law is not general and fair
Explanation
Simple Explanation
कानून निजी बदले का साधन नहीं होना चाहिए। परीक्षा में सामान्य और निष्पक्ष कानून याद रखें। / Law should not be a tool of personal revenge. In exams remember general and fair law.
A. \(a^2\) सम है इसलिए (a=2k) लिखें/\(a^2\) is even, so write (a=2k)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे (a=2b) नहीं मिलता। सही कदम (a) को सम सिद्ध करना है। / The square relation does not directly give (a=2b). The correct step is proving (a) even.
C. (r) सम सिद्ध करके (r=2t) रखने के बाद/After proving (r) even and taking (r=2t)
Explanation
Simple Explanation
पहले \(r^2\) से (r) सम मिलता है। फिर (r=2t) रखने पर \(s^2=2t^2\) मिलता है। / First (r) even follows from \(r^2\). Then taking (r=2t) gives \(s^2=2t^2\).
C. कानून का निजी लाभ के लिए दुरुपयोग/Misuse of law for private benefit
Explanation
Simple Explanation
कानून को निजी बचाव का साधन बनाना कानून के शासन को कमजोर करता है। परीक्षा में निष्पक्ष कानून लिखें। / Using law for private protection weakens rule of law. In exams write fair law.
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (p=3r) लिखें/\(p^2\) is divisible by (3), so write (p=3r)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे (p=3q) नहीं निकलता। अभाज्य विभाज्यता से (p=3r) मिलता है। / The square relation does not directly give (p=3q). Prime divisibility gives (p=3r).
A. \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\)/\(m^2=3n^2\Rightarrow m\) divisible by \(3\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\)
Explanation
Simple Explanation
पहले (m) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। (m=3k) रखने के बाद ही (n) के लिए निष्कर्ष मिलता है। / First (m) is proved divisible by (3). Only after taking (m=3k), the conclusion for (n) is obtained.
अधिकार तभी वास्तविक हैं जब चुनौती और उपचार का उपाय हो। परीक्षा में लिखित और लागू अधिकार अलग समझें। / Rights are real only when challenge and remedy are available. In exams understand written and enforced rights separately.
B. \(\frac{a}{b}\) से (2) से घटाई जा सकने वाली छोटी भिन्न मिलती है/From \(\frac{a}{b}\), a smaller fraction reducible by (2) is obtained
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम भिन्न की मान्यता के विरुद्ध है। / If both are even, the fraction can be reduced by (2). This opposes the lowest fraction assumption.
A. भिन्न को (2) से घटाकर और छोटी समान भिन्न बन सकती है/The fraction can be reduced by (2) to form a smaller equal fraction
Explanation
Simple Explanation
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। दोनों सम मिलना इसी विचार से विरोधाभास है। / A lowest fraction cannot be reduced further. Both even contradicts this idea.
A. समान न्याय और अधिकार सुरक्षा से वंचित करना/Denying equal justice and rights protection
Explanation
Simple Explanation
न्यायालय तक समान पहुंच अधिकार रक्षा की जरूरी शर्त है। परीक्षा में न्याय तक पहुंच को लोकतंत्र से जोड़ें। / Equal access to courts is necessary for rights protection. In exams connect access to justice with democracy.
A. \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न बन सकती है/From \(\frac{p}{q}\), a smaller fraction reducible by (3) can be formed
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न घट सकती है। इसलिए माना गया सरलतम रूप असंभव है। / If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
B. अधिकार और सुरक्षा के संतुलन का टूटना/Breakdown of balance between rights and security
Explanation
Simple Explanation
सुरक्षा के नाम पर भी अधिकारों पर रोक सीमित और कानूनसम्मत होनी चाहिए। परीक्षा में संतुलन याद रखें। / Even in the name of security restriction on rights should be limited and lawful. In exams remember balance.
C. कानून का असमान लागूकरण और अधिकार हनन/Unequal enforcement of law and rights violation
Explanation
Simple Explanation
समर्थकों को छूट कानून की समानता के विरुद्ध और शांतिपूर्ण सभा रोकना अधिकारों के विरुद्ध है। परीक्षा में दोहरी गड़बड़ी पहचानें। / Exempting supporters violates equality of law and stopping peaceful assembly violates rights. In exams identify the double flaw.
D. कानून और संविधान की सर्वोच्चता/Supremacy of law and constitution
Explanation
Simple Explanation
कानून का शासन शासक की निजी इच्छा से ऊपर संविधान और कानून को रखता है। परीक्षा में संवैधानिक सीमा याद रखें। / Rule of law places constitution and law above ruler's personal will. In exams remember constitutional limits.
A. व्यक्ति को सम्मानपूर्ण और स्वतंत्र जीवन का आधार देकर/By giving a basis for dignified and free life
Explanation
Simple Explanation
अधिकार मानव गरिमा और स्वतंत्रता की रक्षा करते हैं। परीक्षा में गरिमा को अधिकारों के मूल से जोड़ें। / Rights protect human dignity and freedom. In exams connect dignity with the core of rights.
B. वे नियम और उल्लंघन पहचान नहीं पाएंगे/They will not identify rules and violations
Explanation
Simple Explanation
कानून की जानकारी नागरिकों को अधिकार हनन पहचानने में मदद करती है। परीक्षा में स्पष्ट कानून और जागरूकता लिखें। / Knowledge of law helps citizens identify rights violations. In exams write clear law and awareness.
विशेष छूट कानून की समानता को कमजोर करती है। परीक्षा में अधिकारी भी कानून से ऊपर नहीं लिखें। / Special exemption weakens equality before law. In exams write that officials are also not above law.
D. पारदर्शिता और जवाबदेही/Transparency and accountability
Explanation
Simple Explanation
सूचना मांगने से नागरिक शासन पर नजर रख सकते हैं। परीक्षा में पारदर्शिता को अधिकारों से जोड़ें। / Seeking information helps citizens watch governance. In exams connect transparency with rights.
A. कारणयुक्त निर्णय और कानूनी उपाय/Reasoned decision and legal remedy
Explanation
Simple Explanation
कारण और अपील निर्णय को न्यायपूर्ण और जवाबदेह बनाते हैं। परीक्षा में कारणयुक्त आदेश को वैधानिक प्रक्रिया से जोड़ें। / Reasons and appeal make decisions fair and accountable. In exams connect reasoned orders with legal procedure.
B. प्रेस स्वतंत्रता और जवाबदेही का संबंध/Relation of press freedom and accountability
Explanation
Simple Explanation
स्वतंत्र प्रेस सरकार को जवाबदेह रखने में मदद करता है। परीक्षा में प्रेस स्वतंत्रता को अभिव्यक्ति से जोड़ें। / Free press helps keep government accountable. In exams connect press freedom with expression.
C. कानून दमन का साधन बन जाता है/Law becomes a tool of repression
Explanation
Simple Explanation
कानून का उद्देश्य न्याय और सुरक्षा है मनमाना डर नहीं। परीक्षा में कानून के न्यायपूर्ण उद्देश्य को लिखें। / The purpose of law is justice and safety not arbitrary fear. In exams write the just purpose of law.
D. अभिव्यक्ति और लोकतांत्रिक जवाबदेही/Expression and democratic accountability
Explanation
Simple Explanation
नीति पर शांतिपूर्ण प्रश्न लोकतांत्रिक जवाबदेही से जुड़ा है। परीक्षा में सवाल पूछने को अधिकार मानें। / Peaceful questioning of policy is linked with democratic accountability. In exams treat questioning as a right.
A. वैधानिक आधार और अधिकार सम्मान की कमी/Lack of legal basis and respect for rights
Explanation
Simple Explanation
शांतिपूर्ण सांस्कृतिक अभिव्यक्ति रोकने के लिए कानूनी और उचित आधार चाहिए। परीक्षा में संस्कृति और अधिकार जोड़ें। / Restricting peaceful cultural expression needs legal and reasonable basis. In exams connect culture and rights.
B. न्याय की निष्पक्षता और समान पहुंच/Fairness and equal access to justice
Explanation
Simple Explanation
न्याय में पक्षपात समान न्यायिक पहुंच को कमजोर करता है। परीक्षा में निष्पक्ष न्यायालय याद रखें। / Bias in justice weakens equal judicial access. In exams remember impartial courts.
A. संवैधानिक सीमाओं का टूटना/Breakdown of constitutional limits
Explanation
Simple Explanation
कानून बनाने वाले भी संविधान की सीमाओं में रहते हैं। परीक्षा में संवैधानिक शासन याद रखें। / Lawmakers also remain within constitutional limits. In exams remember constitutional governance.
C. अधिकारों की सार्वभौमिकता/Universality of rights
Explanation
Simple Explanation
अधिकार सभी नागरिकों के लिए हैं केवल समर्थकों के लिए नहीं। परीक्षा में सार्वभौमिक अधिकार याद रखें। / Rights are for all citizens not only supporters. In exams remember universal rights.
सरकार को सुविधा से नहीं बल्कि हमेशा कानून से बंधा होना चाहिए। परीक्षा में निरंतर कानूनी जवाबदेही लिखें। / Government must be bound by law always not by convenience. In exams write continuous legal accountability.
A. वे उल्लंघन पहचानकर चुनौती नहीं दे पाएंगे/They will not identify and challenge violations
Explanation
Simple Explanation
जागरूक नागरिक अधिकार हनन को चुनौती दे सकते हैं। परीक्षा में नागरिक जागरूकता को अधिकार रक्षा से जोड़ें। / Aware citizens can challenge rights violations. In exams connect citizen awareness with rights protection.
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम निकलते हैं/\(\sqrt{2}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become even
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना सरलतम सहभाज्य रूप से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं हो सकती। / Both being even contradicts lowest coprime form. Therefore \(\sqrt{2}\) cannot be rational.
B. भेदभाव रहित समान लागूकरण/Non discriminatory equal enforcement
Explanation
Simple Explanation
जाति आधारित भेदभाव समान कानून और अधिकारों के विरुद्ध है। परीक्षा में भेदभाव रहित प्रशासन लिखें। / Caste based discrimination is against equal law and rights. In exams write non-discriminatory administration.
