यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (a+b=5), तो (R) संक्रामक क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (a+b=5), why is (R) not transitive?
#relations
#not transitive
#sum relation
A क्योंकि ((1,4)) और ((4,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है / Because ((1,4)) and ((4,1)) are present but ((1,1)) is not
B क्योंकि ((1,4)) नहीं है / Because ((1,4)) is absent
C क्योंकि यह सममित नहीं है / Because it is not symmetric
D क्योंकि सभी स्वयं युग्म हैं / Because all self-pairs are present
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Correct Answer
A. क्योंकि ((1,4)) और ((4,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है / Because ((1,4)) and ((4,1)) are present but ((1,1)) is not
Step 1
Concept
(1+4=5), इसलिए ((1,4)) और ((4,1)) संबंध में हैं। / Since (1+4=5), ((1,4)) and ((4,1)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के अनुसार इनसे ((1,1)) चाहिए। / Transitivity would require ((1,1)).
Step 3
Exam Tip
((1,1)) नहीं है क्योंकि \(1+1\ne5\), इसलिए संक्रामकता टूटती है। / ((1,1)) is absent because \(1+1\ne5\), so transitivity fails.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3)\}\), तो (R) से बने समतुल्यता वर्ग कौन से हैं?
If \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), what are the equivalence classes formed by (R)?
#relations
#equivalence classes
#relation to partition
A ({1,2}) और ({3}) / ({1,2}) and ({3})
B ({1,3}) और ({2}) / ({1,3}) and ({2})
C ({1},{2},{3})
D ({1,2,3})
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Correct Answer
A. ({1,2}) और ({3}) / ({1,2}) and ({3})
Step 1
Concept
(1) और (2) दोनों दिशाओं में संबंधित हैं, इसलिए वे एक ही वर्ग में हैं। / (1) and (2) are related in both directions, so they are in one class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) केवल अपने आप से संबंधित है। / (3) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) हैं। / Hence the classes are ({1,2}) and ({3}).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) हैं, तो (R) में कौन सा युग्म नहीं होगा?
If the classes of (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) are ({1,2}) and ({3,4}), which pair will not be in (R)?
#relations
#equivalence classes
#partition
A ((1,3))
B ((1,2))
C ((3,4))
D ((4,3))
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Correct Answer
A. ((1,3))
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध में केवल एक ही वर्ग के भीतर युग्म बनते हैं। / In an equivalence relation, pairs are formed only within the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(1) वर्ग ({1,2}) में है और (3) वर्ग ({3,4}) में है। / (1) is in ({1,2}), while (3) is in ({3,4}).
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों के बीच ((1,3)) नहीं होगा। / Hence ((1,3)) will not be in the relation.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) है, तो इसे समतुल्यता संबंध बनाने के लिए कौन से युग्म जोड़ने होंगे?
If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which pairs must be added to make it an equivalence relation?
#relations
#equivalence closure
#missing pairs
A ((2,3)) और ((3,2)) / ((2,3)) and ((3,2))
B ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
C ((1,2)) और ((2,1)) / ((1,2)) and ((2,1))
D ((3,3)) ही / Only ((3,3))
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Correct Answer
A. ((2,3)) और ((3,2)) / ((2,3)) and ((3,2))
Step 1
Concept
(2) का संबंध (1) से है और (1) का संबंध (3) से है। / (2) is related to (1), and (1) is related to (3).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (2) का संबंध (3) से होना चाहिए। / Transitivity requires (2) to be related to (3).
Step 3
Exam Tip
सममितता बनाए रखने के लिए ((2,3)) और ((3,2)) दोनों जोड़ने होंगे। / To preserve symmetry, both ((2,3)) and ((3,2)) must be added.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\), तो \(R^{-1}\) में कौन सा युग्म होगा लेकिन (R) में नहीं होगा?
If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which pair will be in \(R^{-1}\) but not in (R)?
#relations
#inverse relation
#set comparison
A ((2,1))
B ((1,2))
C ((1,1))
D ((1,3))
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Correct Answer
A. ((2,1))
Step 1
Concept
विलोम संबंध में ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) आएगा। / The inverse relation contains the reverse ((2,1)) of ((1,2)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) मूल संबंध में नहीं है। / ((2,1)) is not in the original relation.
Step 3
Exam Tip
विलोम संबंध की तुलना करते समय हर गैर-स्वयं युग्म को उलटकर देखें। / While comparing inverse and original relation, reverse each non-self pair.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\), तो (R) किससे अधिक मिलता-जुलता है?
If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which description fits (R) best?
#relations
#partial order
#property identification
A स्वपरक, प्रतिसममित और संक्रामक / Reflexive, antisymmetric and transitive
B स्वपरक, सममित और संक्रामक / Reflexive, symmetric and transitive
C सममित पर स्वपरक नहीं / Symmetric but not reflexive
D रिक्त और संक्रामक / Empty and transitive
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Correct Answer
A. स्वपरक, प्रतिसममित और संक्रामक / Reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयं युग्म होने से स्वपरकता है। / All self-pairs make it reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
अलग तत्वों के उल्टे युग्म साथ नहीं हैं, इसलिए प्रतिसममितता है। / No reverse pair exists for distinct elements, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so it is transitive.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\), तो (R) सममित है पर स्वपरक क्यों नहीं है?
If \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) symmetric but not reflexive?
#relations
#symmetric not reflexive
#property check
A हर उल्टा युग्म है पर स्वयं युग्म नहीं हैं / Every reverse pair is present but self-pairs are absent
B हर स्वयं युग्म है पर उल्टे युग्म नहीं हैं / Every self-pair is present but reverse pairs are absent
C यह रिक्त संबंध है / It is an empty relation
D यह सार्वत्रिक संबंध है / It is a universal relation
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Correct Answer
A. हर उल्टा युग्म है पर स्वयं युग्म नहीं हैं / Every reverse pair is present but self-pairs are absent
Step 1
Concept
सभी अलग युग्मों के उल्टे युग्म मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Every distinct pair has its reverse, so symmetry holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) अनुपस्थित हैं। / ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) are absent.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संबंध सममित है, लेकिन स्वपरक नहीं है। / Hence the relation is symmetric but not reflexive.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\), तो (R) संक्रामक है या नहीं?
If \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), is (R) transitive?
#relations
#transitive relation
#chain check
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल स्वपरक / Only reflexive
D केवल सममित / Only symmetric
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
मुख्य कड़ी ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मांगती है। / The main chain ((1,2)) and ((2,3)) requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) संबंध में मौजूद है। / ((1,3)) is present.
Step 3
Exam Tip
कोई अन्य ऐसी कड़ी नहीं है जो नया अनुपस्थित युग्म मांगे, इसलिए संबंध संक्रामक है। / No other chain asks for a new missing pair, so the relation is transitive.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\), तो (R) संक्रामक क्यों नहीं है?
If \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not transitive?
#relations
#not transitive
#cyclic relation
A क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित है / Because ((1,3)) is missing
B क्योंकि ((1,2)) अनुपस्थित है / Because ((1,2)) is missing
C क्योंकि ((2,3)) अनुपस्थित है / Because ((2,3)) is missing
D क्योंकि यह संबंध नहीं है / Because it is not a relation
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Correct Answer
A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित है / Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) जरूरी है। / Transitivity requires ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
((1,3)) नहीं है, इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। / Since ((1,3)) is missing, the relation is not transitive.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) ऐसा संबंध है जिसमें दो वर्ग ({1,3}) और ({2,4}) बनते हैं, तो (R) में कुल कितने युग्म होंगे?
If a relation (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) forms two classes ({1,3}) and ({2,4}), how many pairs will be in (R)?
#relations
#equivalence classes
#counting
A 4
B 6
C 8
D 16
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Step 1
Concept
प्रत्येक वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / All ordered pairs within each class are included.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों वर्गों में (2) तत्व हैं, इसलिए प्रत्येक वर्ग \(2^2=4\) युग्म देता है। / Both classes have (2) elements, so each class gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (4+4=8) हैं। / Total pairs are (4+4=8).
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