A. (R) और (S) के वर्गों के खाली-न-होने वाले प्रतिच्छेदों से/Non-empty intersections of classes of (R) and (S)
Step 1
Concept
In \(R\cap S\), two elements stay together only if they are together in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
This creates intersections of blocks from the two partitions.
Step 3
Exam Tip
The non-empty intersections become the new classes. चरण 1: \(R\cap S\) में दो तत्व तभी साथ रहेंगे जब वे (R) और (S) दोनों में साथ हों। चरण 2: इसका अर्थ है कि दोनों विभाजनों के वर्गों के प्रतिच्छेद बनने लगते हैं। चरण 3: खाली प्रतिच्छेद छोड़कर बाकी प्रतिच्छेद नए वर्ग बनाते हैं।
The number of equivalence relations equals the number of partitions of the set.
Step 2
Why this answer is correct
A set with (5) elements has (52) partitions.
Step 3
Exam Tip
In such counting questions, count partitions rather than pairs directly. चरण 1: तुल्यता संबंधों की संख्या समुच्चय के विभाजनों की संख्या के बराबर होती है। चरण 2: (5) तत्वों वाले समुच्चय के विभाजनों की संख्या (52) होती है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में युग्मों के बजाय विभाजन गिनने का विचार उपयोग करें।
The remaining four elements ({2,3,4,5}) can be partitioned freely.
Step 3
Exam Tip
Four elements have (15) partitions, so the answer is (15). चरण 1: (1) का वर्ग ({1}) तय हो गया। चरण 2: बाकी चार तत्व ({2,3,4,5}) किसी भी तरह विभाजित हो सकते हैं। चरण 3: चार तत्वों के विभाजन (15) हैं, इसलिए उत्तर (15) है।
Keep (1) and (2) together, but keep (3) out of that block.
Step 2
Why this answer is correct
Each of (4,5) may or may not join the block of (1,2), and the remaining objects are partitioned.
Step 3
Exam Tip
Counting these cases gives (7) partitions. चरण 1: (1) और (2) को साथ रखें और (3) को उनसे अलग रखना है। चरण 2: (4,5) में से कोई भी (1,2) के साथ जुड़ सकता है, और बची वस्तुएँ अलग-अलग विभाजित होंगी। चरण 3: संभावनाएँ गिनने पर कुल (7) विभाजन मिलते हैं।
\(R\subseteq S\) means every pair of (R) is also in (S).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (aRb) implies (aSb).
Step 3
Exam Tip
The converse need not hold because (S) may be a larger relation. चरण 1: \(R\subseteq S\) का अर्थ है (R) का हर युग्म (S) में भी है। चरण 2: इसलिए (aRb) होने पर (aSb) अवश्य होगा। चरण 3: उल्टा कथन जरूरी नहीं, क्योंकि (S) बड़ा संबंध हो सकता है।
A. मापांक (10) के अनुसार समानता/Congruence modulo (10)
Step 1
Concept
A difference divisible by (10) is automatically divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
So requiring both conditions leaves the stronger modulo (10) condition.
Step 3
Exam Tip
Hence \(R\cap S\) is congruence modulo (10). चरण 1: (10) से विभाज्य अंतर अपने-आप (5) से भी विभाज्य होता है। चरण 2: इसलिए दोनों शर्तों को साथ रखने पर मजबूत शर्त (10) ही बचती है। चरण 3: अतः \(R\cap S\) मापांक (10) के संबंध के बराबर है।
A. मापांक (5) के अनुसार समानता/Congruence modulo (5)
Step 1
Concept
Every pair in (S) is also in (R), because divisibility by (10) implies divisibility by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Thus \(S\subseteq R\).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(R\cup S=R\), the modulo (5) relation. चरण 1: (S) की हर जोड़ी (R) में भी आती है, क्योंकि (10) से विभाज्यता (5) से विभाज्यता देती है। चरण 2: इसलिए \(S\subseteq R\)। चरण 3: जब \(S\subseteq R\), तो \(R\cup S=R\), यानी मापांक (5) वाला संबंध।
If no two distinct elements are in the same class, every class is a singleton.
Step 2
Why this answer is correct
This gives only the identity relation.
Step 3
Exam Tip
Hence there is exactly (1) such equivalence relation. चरण 1: कोई दो अलग तत्व एक ही वर्ग में नहीं हैं, इसका अर्थ हर वर्ग एकल है। चरण 2: यह केवल पहचान संबंध देता है। चरण 3: इसलिए ऐसा केवल (1) तुल्यता संबंध है।
If all elements are in one class, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
This is only the universal relation.
Step 3
Exam Tip
Therefore there is exactly (1) such equivalence relation. चरण 1: सभी तत्व एक ही वर्ग में होने का अर्थ है हर तत्व हर तत्व से संबंधित है। चरण 2: यह केवल सार्वत्रिक संबंध देता है। चरण 3: इसलिए ऐसा केवल (1) तुल्यता संबंध है।
A. जब \(R\subseteq S\) या \(S\subseteq R\)/When \(R\subseteq S\) or \(S\subseteq R\)
Step 1
Concept
If one relation is contained in the other, the union is just the larger relation.
Step 2
Why this answer is correct
The larger relation is already an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
Therefore the union is definitely an equivalence relation in this case. चरण 1: यदि एक संबंध दूसरे में समाहित है, तो संघ बड़ा संबंध ही होगा। चरण 2: बड़ा संबंध पहले से तुल्यता संबंध है। चरण 3: इसलिए \(R\subseteq S\) या \(S\subseteq R\) होने पर संघ निश्चित रूप से तुल्यता संबंध होगा।
