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\(\sin x\) का मान केवल ([-1,1]) में आता है इसलिए \(\sin^{-1}x\) का डोमेन ([-1,1]) है। परीक्षा में पहले डोमेन जरूर जांचें। / The value of \(\sin x\) lies only in ([-1,1]) so the domain of \(\sin^{-1}x\) is ([-1,1]). In exams check the domain first.
\(\cos x\) का मान भी ([-1,1]) में रहता है इसलिए \(\cos^{-1}x\) का डोमेन ([-1,1]) है। मान रखने से पहले (x) की सीमा देखें। / The value of \(\cos x\) also lies in ([-1,1]) so the domain of \(\cos^{-1}x\) is ([-1,1]). Check the range of (x) before substitution.
A. अंतराल \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)/Interval \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(\tan^{-1}x\) का प्रधान मान \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में होता है। सिरों \(\pm\frac{\pi}{2}\) को शामिल नहीं किया जाता। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). The endpoints \(\pm\frac{\pi}{2}\) are not included.
क्योंकि \(\cos 0=1\) और \(0\in[0,\pi]\) है इसलिए \(\cos^{-1}1=0\)। \(\cos^{-1}x\) में उत्तर ऋणात्मक नहीं होता। / Because \(\cos 0=1\) and \(0\in[0,\pi]\) so \(\cos^{-1}1=0\). For \(\cos^{-1}x\) the answer is not negative.
क्योंकि \(\tan \frac{\pi}{4}=1\) और \(\frac{\pi}{4}\) प्रधान सीमा में है। मान याद रखने से मूल प्रश्न जल्दी हल होता है। / Because \(\tan \frac{\pi}{4}=1\) and \(\frac{\pi}{4}\) lies in the principal range. Remembering basic values helps solve quickly.
परिभाषा अनुसार \(\sin^{-1}x\) वह कोण \(y\in[-\pi/2,\pi/2]\) देता है जिसके लिए \(\sin y=x\) होता है। इसलिए उस कोण का sine लेने पर मूल मान वापस मिलता है: \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) जब \(x\in[-1,1]\)। विकल्प B (\(\sin^{-1}x\)) गलत है क्योंकि वह inverse फ़ंक्शन का मान है, जबकि हमें \(\sin\) को \(\sin^{-1}\) पर लागू करने पर मिलने वाला मान पूछे गए हैं; क्रम बदलने से परिणाम अलग हो सकता है। परीक्षा टिप: हमेशा अंदर वाले फलन का डोमेन और बाहरी फलन की रेंज जाँचें—यह सत्यापन का सबसे तेज़ तरीका है। / By definition, \(\sin^{-1}x\) gives the angle \(y\in[-\pi/2,\pi/2]\) such that \(\sin y=x\). Applying sine to that angle returns the original value: \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) for \(x\in[-1,1]\). Option B (\(\sin^{-1}x\)) is incorrect because it is the inverse value itself; composing in the given order returns \(x\), not the inverse. Exam tip: always check the domain of the inner function and the principal range of the inverse to verify such compositions quickly.
\(\cos^{-1}x\) वह कोण देता है (principal value) जो \(\cos\) के द्वारा \(x\) देता है; इस कोण की मात्रा \(\theta\) सदैव \([0,\pi]\) में होती है और \(\cos\theta=x\) होता है। अतः \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) जब \(x\in[-1,1]\)। विकल्प B (\(|x|\)) गलत है क्योंकि \(x\) ऋणात्मक भी हो सकता है पर \(\cos(\cos^{-1}x)\) उसे बदलकर धनात्मक नहीं कर देता। विकल्प C (\(\cos^{-1}x\)) गलत है क्योंकि वह कोण है न कि वही संख्या \(x\)। विकल्प D (\(-x\)) भी गलत है। परीक्षा टिप: ध्यान रखें कि \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) के लिए आवश्यक डोमेन \([-1,1]\) है, पर \(\cos^{-1}(\cos y)\) हमेशा \(y\) के बराबर नहीं होता — वह \([0,\pi]\) में प्रिंसिपल वैल्यू देता है। / The function \(\cos^{-1}x\) returns the principal angle \(\theta\in[0,\pi]\) such that \(\cos\theta=x\). Therefore \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) for all \(x\in[-1,1]\). Option B (|x|) is incorrect because \(x\) may be negative and composition does not take absolute value. Option C (\(\cos^{-1}x\)) is an angle, not the original numeric value \(x\). Option D (\(-x\)) is also incorrect. Exam tip: remember domain/range restrictions — \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) on \([-1,1]\), whereas \(\cos^{-1}(\cos y)\) equals \(y\) only when \(y\in[0,\pi]\).
\(\tan^{-1}x\) का डोमेन \(\mathbb{R}\) है और (\tan\(\tan^{-1}x\)=x)। यह सबसे अधिक पूछी जाने वाली पहचान है। / The domain of \(\tan^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\) and (\tan\(\tan^{-1}x\)=x). This is a very common identity.
A. जब \(x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)/When \(x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}x\) की प्रधान सीमा \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) है इसलिए इसी में \(\sin^{-1}(\sin x)=x\) सीधे सही है। सीमा के बिना यह गलती बन सकती है। / The principal range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) so \(\sin^{-1}(\sin x)=x\) is directly true there. Without range it can be a mistake.
\(\cos^{-1}x\) की प्रधान सीमा \([0,\pi]\) है। इसलिए \(\cos^{-1}(\cos x)=x\) इसी सीमा में सीधे लागू होता है। / The principal range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\). Therefore \(\cos^{-1}(\cos x)=x\) applies directly only in this range.
A. जब \(x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)/When \(x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(\tan^{-1}x\) की प्रधान सीमा \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है। इसलिए वही अंतराल सही चयन है। / The principal range of \(\tan^{-1}x\) is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). Therefore that interval is the correct choice.
हर \(x\in[-1,1]\) के लिए \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। यह पहचान अक्सर सीधे उपयोग होती है। / For every \(x\in[-1,1]\), \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). This identity is often used directly.
दोनों तरफ \(\sin\) लेने पर \(x=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) मिलता है। उल्टे फलन में कोण से मूल मान निकालें। / Taking \(\sin\) on both sides gives \(x=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\). In inverse functions convert the angle back to the original value.
दोनों तरफ \(\cos\) लेने पर \(x=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) है। कोण प्रधान सीमा में है इसलिए उत्तर मान्य है। / Taking \(\cos\) on both sides gives \(x=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\). The angle lies in the principal range so the answer is valid.
दोनों तरफ \(\tan\) लेने पर \(x=\tan\frac{\pi}{4}=1\) है। \(\tan^{-1}\) वाले प्रश्न में मान सीधे टैन से मिलता है। / Taking \(\tan\) on both sides gives \(x=\tan\frac{\pi}{4}=1\). In \(\tan^{-1}\) questions the value comes directly from tangent.
A. समस्त वास्तविक संख्याएं \(\mathbb{R}\)/All real numbers \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\cot x\) सभी वास्तविक मान ले सकता है इसलिए \(\cot^{-1}x\) का डोमेन \(\mathbb{R}\) है। इसे \(\sin^{-1}\) के डोमेन से न मिलाएं। / Since \(\cot x\) can take all real values the domain of \(\cot^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\). Do not mix it with the domain of \(\sin^{-1}x\).
\(\cot^{-1}x\) का प्रधान मान प्रायः \((0,\pi)\) में लिया जाता है। इस कारण \(\cot^{-1}0=\frac{\pi}{2}\) होता है। / The principal value of \(\cot^{-1}x\) is usually taken in \((0,\pi)\). Hence \(\cot^{-1}0=\frac{\pi}{2}\).
\(\sin^{-1}x\) केवल \(x\in[-1,1]\) के लिए परिभाषित है और \(2\notin[-1,1]\)। डोमेन आधारित प्रश्नों में विकल्प तुरंत जांचें। / The expression \(\sin^{-1}x\) is defined only for \(x\in[-1,1]\), and \(2\notin[-1,1]\). In domain questions check each option quickly.
आर्ककोस \(\(\cos^{-1}\)\) का डोमेन \([-1,1]\) है। इसलिए \(\cos^{-1}(-1)\) परिभाषित है और मान \(\cos^{-1}(-1)=\pi\) मिलता है; अतः व्यंजक \(\pi/\pi=1\) परिभाषित है। दूसरी विकल्पों में \(\cos^{-1}(3)\) और \(\sin^{-1}(5/4)\) के मूलांक डोमेन \([-1,1]\) के बाहर हैं, इसलिए वे परिभाषित नहीं हैं। \(\sec^{-1}(x)\) का डोमेन \(|x|\ge 1\) होता है, इसलिए \(\sec^{-1}(1/2)\) भी परिभाषित नहीं है। परीक्षा-सुझाव: पहले हमेशा आर्क-ट्रिगोनोमेट्रिक फ़ंक्शन का डोमेन जाँचें; डोमेन के बाहर का कोई भी मूलांक तुरंत अमान्य है। / The domain of arccos, \(\cos^{-1}\), is \([-1,1]\). Thus \(\cos^{-1}(-1)\) is defined and equals \(\pi\), so the expression equals \(\pi/\pi=1\). \(\cos^{-1}(3)\) and \(\sin^{-1}(5/4)\) are undefined because 3 and 5/4 lie outside the domain \([-1,1]\). Arcsec has domain \(|x|\ge 1\), so \(\sec^{-1}(1/2)\) is also undefined. Exam tip: always check the allowed domain of the inverse trig function before simplifying; values outside the domain make the expression invalid regardless of algebraic form.
\(\sin^{-1}x\) वास्तविक तभी है जब \(x\in[-1,1]\)। इसे असमानता के रूप में \(-1\le x\le1\) लिखते हैं। / The value \(\sin^{-1}x\) is real only when \(x\in[-1,1]\). This is written as \(-1\le x\le1\).
यदि \(\cos^{-1}x=0\) है तो \(x=\cos0=1\)। उल्टे त्रिकोणमितीय समीकरण में दोनों ओर संबंधित त्रिकोणमितीय फलन लगाएं। / If \(\cos^{-1}x=0\), then \(x=\cos0=1\). In an inverse trigonometric equation apply the corresponding trigonometric function on both sides.
दोनों तरफ \(\sin\) लेने पर \(x=\sin\frac{\pi}{2}=1\) मिलता है। यह \(\sin^{-1}x\) का अधिकतम प्रधान मान है। / Taking \(\sin\) on both sides gives \(x=\sin\frac{\pi}{2}=1\). This is the maximum principal value of \(\sin^{-1}x\).
\(\tan^{-1}x\) किसी ऐसे कोण का मान देता है जिसका tan मान x होता है। यदि \(\tan^{-1}x=0\) तो दोनों तरफ \(\tan\) लेने पर \(x=\tan0=0\)। साथ ही ध्यान दें कि arctan का प्रधान मान सीमा \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में आता है इसलिए उत्तर अद्वितीय है। विकल्प B (\(1\)) तब सही होता यदि \(\tan^{-1}x=\tfrac{\pi}{4}\) होता। विकल्प D एक कोण (\(\tfrac{\pi}{4}\)) है, x का मान नहीं—इसलिए गलत। परीक्षा युक्ति: arctan में दिए गए मान को पहले कोण समझें, फिर उस कोण का tan निकालें। / \(\tan^{-1}x\) denotes the angle whose tangent is x. If \(\tan^{-1}x=0\), taking tan of both sides gives \(x=\tan0=0\). Also note arctan's principal value lies in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\), so the solution is unique. Option B (1) would be correct only if \(\tan^{-1}x=\tfrac{\pi}{4}\). Option D is an angle (\(\tfrac{\pi}{4}\)), not the value of x. Exam tip: clearly distinguish the inverse-trig function's output (an angle) from the variable x before applying the direct trig function.
B. \(\sin^{-1}(\sin(5\pi/6))=\pi / 6 क्योंकि \(\sin^{-1}\) का प्रमुख मान \([-\pi / 2,\pi / 2]\) में होता है / 6 because the principal value of \(\sin^{-1}\) lies in \([-\pi / 2]\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin(5\pi/6)=1/2\) और \(\sin^{-1}\) का प्रमुख मान \([-\pi/2,\pi/2]\) में लिया जाता है। इसलिए \(\sin^{-1}(1/2)=\pi/6\), न कि \(5\pi/6\)। परीक्षा टिप: पहले कोण को प्रमुख मान-परास में जाँचें। / Since \(\sin(5\pi/6)=1/2\), we need the angle in the principal range \([-\pi/2,\pi/2]\) whose sine is \(1/2\). It is \(\pi/6\), not \(5\pi/6\). Exam tip: always check the principal-value range first.
(\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x) इसलिए \(\sin^{-1}x\) विषम है। \(\tan^{-1}x\) भी विषम होता है पर विकल्प में नहीं है। / Since (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x), \(\sin^{-1}x\) is odd. The function \(\tan^{-1}x\) is also odd but is not in the options.
पहचान (\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x) होती है। इसे \(\cos^{-1}x\) को विषम फलन मानकर हल न करें। / The identity is (\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x). Do not solve it by treating \(\cos^{-1}x\) as an odd function.
\(\sin^{-1}x\) विषम फलन है इसलिए (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x)। चिन्ह बदलने वाले प्रश्नों में यह पहचान उपयोगी है। / The function \(\sin^{-1}x\) is odd, so (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x). This identity is useful in sign-change questions.
\(\tan^{-1}x\) विषम फलन है इसलिए (\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x)। उत्तर हमेशा प्रधान सीमा में रखें। / The function \(\tan^{-1}x\) is odd, so (\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x). Keep the answer in the principal range.
\(-\frac{\pi}{6}\) प्रधान सीमा \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में है इसलिए मान वही है। \(\tan^{-1}\) में सीमा खुली होती है। / The angle \(-\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), so the value is the same. For \(\tan^{-1}\), the interval is open.
A. \(\sin y=x\) और \(y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)/\(\sin y=x\) and \(y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
Explanation
Simple Explanation
\(y=\sin^{-1}x\) का अर्थ है \(\sin y=x\) और (y) प्रधान सीमा में है। उल्टे फलन को परिभाषा से समझना सबसे सुरक्षित तरीका है। / The statement \(y=\sin^{-1}x\) means \(\sin y=x\) and (y) lies in the principal range. Understanding inverse functions by definition is the safest method.
A. \(\tan y=x\) और \(y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)/\(\tan y=x\) and \(y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(y=\tan^{-1}x\) का मतलब \(\tan y=x\) होता है। यहां (y) प्रधान सीमा \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में रहता है। / The expression \(y=\tan^{-1}x\) means \(\tan y=x\). Here (y) stays in the principal range \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
क्योंकि \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) है और \(\frac{\pi}{3}\) प्रधान सीमा में है। \(\tan^{-1}\) में कोण \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में लें। / Because \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) and \(\frac{\pi}{3}\) lies in the principal range. For \(\tan^{-1}\), take the angle in \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
क्योंकि \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) है। मूल त्रिकोणमितीय मानों से उल्टे मान जल्दी मिलते हैं। / Because \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Inverse values are found quickly from basic trigonometric values.
\(\frac{\pi}{4}\in[0,\pi]\) है इसलिए \(\cos^{-1}\left(\cos\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}\)। प्रधान सीमा में कोण हो तो वही उत्तर आता है। / Since \(\frac{\pi}{4}\in[0,\pi]\), \(\cos^{-1}\left(\cos\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}\). If the angle lies in the principal range, it remains unchanged.
\(\frac{\pi}{3}\) प्रधान सीमा \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में आता है। इसलिए व्यंजक का मान \(\frac{\pi}{3}\) है। / The angle \(\frac{\pi}{3}\) lies in the principal range \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). Therefore the value of the expression is \(\frac{\pi}{3}\).
क्योंकि \(\operatorname{cosec}\frac{\pi}{6}=2\) है। \(\operatorname{cosec}^{-1}x\) में (x) का परिमाण (1) से कम नहीं हो सकता। / Because \(\operatorname{cosec}\frac{\pi}{6}=2\). In \(\operatorname{cosec}^{-1}x\), the magnitude of (x) cannot be less than (1).
क्योंकि \(\cot\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}\) है और (\frac{\pi}{6}\in\(0,\pi\)) है। \(\cot^{-1}\) के प्रधान मान के लिए (\(0,\pi\)) याद रखें। / Because \(\cot\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}\) and (\frac{\pi}{6}\in\(0,\pi\)). Remember (\(0,\pi\)) for the principal value of \(\cot^{-1}\).
\(\cos^{-1}x\) केवल \(x\in[-1,1]\) पर वास्तविक है और \(\frac{7}{6}>1\) है। इसलिए यह वास्तविक मान नहीं देगा। / The expression \(\cos^{-1}x\) is real only for \(x\in[-1,1]\), and \(\frac{7}{6}>1\). Hence it will not give a real value.
\(\sin^{-1}x\) की सीमा \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) है। \(\frac{2\pi}{3}\) इस सीमा के बाहर है। / The range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). The value \(\frac{2\pi}{3}\) lies outside this range.
\(\cos^{-1}x\) की सीमा \([0,\pi]\) है इसलिए ऋणात्मक मान संभव नहीं है। ऐसे प्रश्नों में केवल आउटपुट रेंज देखें। / The range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\), so a negative value is not possible. In such questions check only the output range.
\(\tan^{-1}x\) की सीमा \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है जिसमें \(\frac{\pi}{2}\) शामिल नहीं है। खुले अंतराल पर ध्यान दें। / The range of \(\tan^{-1}x\) is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), which does not include \(\frac{\pi}{2}\). Pay attention to open intervals.
मान लें \(\theta=\cos^{-1}\frac{3}{5}\), तब \(\cos\theta=\frac{3}{5}\) और \(\theta\in[0,\pi]\)। यहां \(\sin\theta=\frac{4}{5}\) होगा। / Let \(\theta=\cos^{-1}\frac{3}{5}\), then \(\cos\theta=\frac{3}{5}\) and \(\theta\in[0,\pi]\). Here \(\sin\theta=\frac{4}{5}\).
क्योंकि \(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) है। मानक कोणों के मान परीक्षा में बहुत उपयोगी होते हैं। / Because \(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Standard angle values are very useful in exams.
क्योंकि \(\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) और \(\frac{3\pi}{4}\in[0,\pi]\) है। \(\cos^{-1}\) में प्रधान मान ऋणात्मक नहीं लेते। / Because \(\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) and \(\frac{3\pi}{4}\in[0,\pi]\). For \(\cos^{-1}\), do not take a negative principal value.
मान लें \(\theta=\sin^{-1}\frac{5}{13}\), तब \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) और \(\theta\) प्रधान सीमा में है। इसलिए \(\cos\theta=\frac{12}{13}\) होगा। / Let \(\theta=\sin^{-1}\frac{5}{13}\), then \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) and \(\theta\) is in the principal range. Therefore \(\cos\theta=\frac{12}{13}\).
मान लें \(\theta=\cos^{-1}\frac{4}{5}\), तब \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) और \(\sin\theta=\frac{3}{5}\)। इसलिए \(\tan\theta=\frac{3}{4}\) होगा। / Let \(\theta=\cos^{-1}\frac{4}{5}\), then \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) and \(\sin\theta=\frac{3}{5}\). Hence \(\tan\theta=\frac{3}{4}\).
\(\sin^{-1}(2x)\) के लिए \(-1\le 2x\le1\) होना चाहिए। इससे \(x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\) मिलता है। / For \(\sin^{-1}(2x)\), we need \(-1\le 2x\le1\). This gives \(x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\).
\(\cos^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)\) के लिए \(-1\le\frac{x}{3}\le1\) होना चाहिए। इसलिए \(-3\le x\le3\) है। / For \(\cos^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)\), we need \(-1\le\frac{x}{3}\le1\). Therefore \(-3\le x\le3\).
जब (x>0) हो तो \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। \(\cot^{-1}x\) की प्रधान सीमा का ध्यान रखें। / When (x>0), \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Keep the principal range of \(\cot^{-1}x\) in mind.
क्योंकि \(\operatorname{cosec}\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-2\) और \(-\frac{\pi}{6}\) प्रधान सीमा में है। ऋणात्मक मानों में सही प्रधान कोण चुनें। / Because \(\operatorname{cosec}\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-2\) and \(-\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range. For negative values choose the correct principal angle.
