Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
स्थिर फलन में हर (x) का प्रतिबिंब (c) ही होता है। / In a constant function, every input has the same image (c).
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग आगतों के समान प्रतिबिंब मिलते हैं, इसलिए एकैकी होने की शर्त टूट जाती है। / Different inputs give the same output, so the one-one condition fails.
Step 3
Exam Tip
अनंत प्रांत पर स्थिर फलन कभी एकैकी नहीं होता। / A constant function on an infinite domain is never one-one.
\(x^3+x\) सख्ती से बढ़ता है क्योंकि (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है। / \(x^3+x\) is strictly increasing because its value keeps increasing with (x).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर वास्तविक मान मिलता है और फलन द्वैक है। / Hence every real value is attained and the function is bijective.
(f) एकैकी है, इसलिए अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब (B) में अलग होंगे। / Since (f) is one-one, distinct elements of (A) have distinct images in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(g) भी एकैकी है, इसलिए उन अलग प्रतिबिंबों के आगे के प्रतिबिंब (C) में अलग रहेंगे। / Since (g) is also one-one, those distinct images remain distinct in (C).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों का संयोजन एकैकी होता है। / The composition of one-one functions is one-one.
D. यह न एकैकी है न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=1) और (f(-1)=1), इसलिए एकैकी नहीं है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^4\ge 0\), इसलिए ऋणात्मक वास्तविक मान नहीं मिलते। / Since \(x^4\ge 0\), negative real values are not attained.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलनों में अक्सर समान प्रतिबिंब और सीमित परास दोनों बातों पर ध्यान दें। / For even power functions, check both repeated outputs and restricted range.
प्रांत \([0,\infty\)) है, इसलिए (x) ऋणात्मक नहीं हो सकता। / The domain is \([0,\infty\)), so (x) cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(y=x^2\) से \(x=\sqrt{y}\) मिलेगा। / From \(y=x^2\), we get \(x=\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
यहाँ \(-\sqrt{y}\) नहीं लिया जाएगा क्योंकि प्रांत में ऋणात्मक संख्या नहीं है। / \(-\sqrt{y}\) is not allowed because the domain has no negative numbers.
