Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\csc^{-1}x\) तब परिभाषित है जब \(|x|\ge 1\) अर्थात् डोमेन \(( -\infty,-1 ]\cup[1,\infty )\)। इसलिए \(x=\frac{1}{2}\) (जहाँ \(|x|<1\)) पर \(\csc^{-1}x\) परिभाषित नहीं है। अन्य विकल्पों में \(x=2\) और \(x=-3\) सीधे डोमेन में आते हैं और \(x=-1\) भी सीमा बिंदु होने के कारण परिभाषित है। परीक्षा टिप: उल्टी cosecant का डोमेन याद रखें — केवल उन मानों को चुनें जिनका मौलिक cosecant मान \(\le -1\) या \(\ge 1\) हो। / \(\csc^{-1}x\) is defined only for \(|x|\ge 1\), i.e. the domain is \(( -\infty,-1 ]\cup[1,\infty )\). Hence \(x=\tfrac{1}{2}\) is not allowed because \(|\tfrac{1}{2}|<1\). The other choices satisfy the domain: \(x=2\) and \(x=-3\) are valid, and \(x=-1\) is valid as an endpoint. Exam tip: memorize domains of inverse trig functions (especially arccsc/arccot) to avoid common mistakes on boundaries.
\(\sin^{-1}(2x)\) के लिए \(-1\le 2x\le 1\) चाहिए। अतः \(-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\) मिलेगा। / For \(\sin^{-1}(2x)\), we need \(-1\le 2x\le 1\). Hence \(-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\).
\(\sin^{-1}x\) (arcsin) उसी समय परिभाषित होता है जब \(x\) साइन फलन के संभावित मानों में हो। किसी भी वास्तविक \(y\) के लिए \(\sin y\) का मान केवल \([-1,1]\) में आता है, और प्राथमिक शाखा के लिए \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) पर भी \(\sin y=\pm1\) संभव है। इसलिए \(\sin^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(x\in[-1,1]\) (यह कारण विकल्प A को सही बनाता है)। विकल्प B गलत है क्योंकि यह अंत-बिंदु \(\pm1\) को छोड़ देता है जबकि \(\sin^{-1}(\pm1)=\pm\tfrac{\pi}{2}\) परिभाषित हैं। विकल्प C और D स्पष्ट रूप से गलत हैं: C में सभी वास्तविक संख्याएँ दी गई हैं जो संभव नहीं हैं, और D एक कोण अंतराल है न कि \(x\) के लिए योग्य वास्तविक मानों का सेट। परीक्षा-टिप: किसी भी inverse trigonometric फलन की domain जानने के लिए पहले मूल trigonometric फलन की range याद रखें। / \(\sin^{-1}x\) (arcsin) is defined only when \(x\) lies within the range of the sine function. For real \(y\), \(\sin y\) takes values only in \([-1,1]\); moreover on the principal branch \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) the values \(\pm1\) also occur. Thus \(\sin^{-1}x\) is defined exactly for \(x\in[-1,1]\), so option A is correct. Option B is incorrect because it excludes the endpoints \(\pm1\), but \(\sin^{-1}(\pm1)=\pm\tfrac{\pi}{2}\) are valid. Options C and D are clearly wrong: C allows all real numbers (not possible), and D gives an angle interval, not valid values of \(x\). Exam tip: to find the domain of an inverse trig function, first recall the range of the original trig function (e.g., range(sin) = [-1,1]).
B. केवल \(x\in[-1,1]\) के लिए/Only for \(x\in[-1,1]\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}x\) का डोमेन \([-1,1]\) है, इसलिए इसी पर \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) होगा। composition में inner function का domain देखें। / The domain of \(\sin^{-1}x\) is \([-1,1]\), so \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) there. In composition, check the inner function domain.
\(\sin^{-1}(2x)\) के लिए \(-1\le 2x\le1\) होना चाहिए। इससे \(x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\) मिलता है। / For \(\sin^{-1}(2x)\), we need \(-1\le 2x\le1\). This gives \(x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\).
\(\cos^{-1}(3x-1)\) के लिए \(-1\le3x-1\le1\) चाहिए। हल करने पर \(0\le x\le\frac{2}{3}\) मिलता है। / For \(\cos^{-1}(3x-1)\), we need \(-1\le3x-1\le1\). Solving gives \(0\le x\le\frac{2}{3}\).
\(-1\le x^2-1\le1\) से \(0\le x^2\le2\) मिलता है। इसलिए \(x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\), जो दिए विकल्पों में नहीं है। / From \(-1\le x^2-1\le1\), we get \(0\le x^2\le2\). Thus \(x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\), so none of the first three is exact.
\(\tan^{-1}u\) हर real \(u\) के लिए परिभाषित होता है। इसलिए \(x^2+1\) के कारण (x) पर कोई प्रतिबंध नहीं है। / \(\tan^{-1}u\) is defined for every real (u). Hence \(x^2+1\) puts no restriction on (x).
\(cosec y=\frac{1}{sin y}\), इसलिए \(cosec y\) के values \(|x|\ge1\) होते हैं। domain याद करते समय reciprocal nature देखें। / \(cosec y=\frac{1}{sin y}\), so values of \(cosec y\) satisfy \(|x|\ge1\). Use the reciprocal nature to remember the domain.
C. यह वास्तविक संख्याओं में परिभाषित नहीं है/It is not defined in real numbers
Explanation
Simple Explanation
यदि फंक्शन \(\sin^{-1}x\) (arcsin) वास्तविक मान में परिभाषित है तो निर्भरशील मान \(x\) का अवसरा \([-1,1]\) होना चाहिए। चूँकि \(2\notin[-1,1]\), इसलिए \(\sin^{-1}2\) वास्तविक संख्याओं के संदर्भ में परिभाषित नहीं है। (ध्यान रखें: जटिल गणित में \(\sin^{-1}2\) का जटिल मान मौजूद है, पर यह विकल्प वास्तविक परिभाषा के बारे में पूछता है।) परीक्षा संकेत: हमेशा inverse trig फ़ंक्शन का domain पहले जाँचें। / The real-valued arcsin function \(\sin^{-1}x\) is defined only for \(x\in[-1,1]\). Since \(2\notin[-1,1]\), \(\sin^{-1}2\) is not defined as a real number. (Note: arcsin can be extended to complex values, but the question concerns real definition.) Exam tip: first check the domain of the inverse trigonometric function before evaluating.
A. वास्तविक संख्याओं में परिभाषित नहीं/Not defined in real numbers
Explanation
Simple Explanation
\(\cos^{-1}x\) (arccos) केवल तब वास्तविक मान देता है जब \(x\in[-1,1]\)। इसकी वास्तविक छवि मूल श्रेणी \([0,\pi]\) में होती है। यहाँ \(\tfrac{3}{2}=1.5>1\), इसलिए \(\cos^{-1}\left(\tfrac{3}{2}\right)\) का वास्तविक मान नहीं है — यह वास्तविक संख्या नहीं दे सकता। विकल्प \(\dfrac{\pi}{3}\) भ्रम पैदा कर सकता है क्योंकि \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\), न कि \(\tfrac{3}{2}\)। परीक्षा-सुझाव: किसी भी inverse-trig प्रश्न में पहले फंक्शन का domain चेक करें (उदा. arccos के लिए \([-1,1]\))। / The function \(\cos^{-1}x\) (arccos) has real values only for \(x\in[-1,1]\); its principal range for real inputs is \([0,\pi]\). Since \(\tfrac{3}{2}=1.5>1\), \(\cos^{-1}\left(\tfrac{3}{2}\right)\) has no real value. Option \(\dfrac{\pi}{3}\) is a tempting distractor but incorrect because \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\), not \(\tfrac{3}{2}\). Exam tip: always check the domain of inverse trigonometric functions before attempting to find a value.
सामान्य रूप से \(\sec^{-1}u\) तभी परिभाषित होता है जब \(|u|\ge1\)। यहाँ \(u=2x+1\) है, इसलिए आवश्यकता है \(|2x+1|\ge1\)। इसे हल करने पर दो स्थितियाँ मिलती हैं: \(2x+1\ge1\) यानी \(x\ge0\) या \(2x+1\le-1\) यानी \(x\le-1\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(|u|\le1\) उल्टा है। विकल्प C (सिर्फ सकारात्मक होना) पर्याप्त नहीं है क्योंकि \(2x+1\) नकारात्मक पर भी मान्य हो सकता है यदि उसका परिमाण 1 से बड़ा हो। विकल्प D (\(\ne0\)) आवश्यक परन्तु पर्याप्त नहीं है — उदाहरण के लिए \(2x+1=0.5\) पर \(\sec^{-1}\) परिभाषित नहीं होगा। परीक्षा टिप: पहले \(|u|\ge1\) लागू करें, फिर абсолют मान तोड़ कर दो रेंज प्राप्त करें। / By definition \(\sec^{-1}u\) is defined only when \(|u|\ge1\). With \(u=2x+1\) this gives \(|2x+1|\ge1\). Solving yields \(2x+1\ge1\Rightarrow x\ge0\) or \(2x+1\le-1\Rightarrow x\le-1\). Option B is the reverse inequality and is incorrect. Option C (requiring positivity) is not sufficient because negative values with magnitude ≥1 are also allowed. Option D (nonzero) is necessary but not sufficient — values like \(2x+1=0.5\) are nonzero yet outside the domain. Exam tip: always convert \(|u|\ge1\) into the two linear inequalities to get the domain explicitly (here \(x\le-1\) or \(x\ge0\)).
किसी भी \(cosec^{-1}(u)\) के लिए तर्क \(u\) का मान ऐसे होना चाहिए कि \(|u|\ge1\) क्योंकि cosec के मान केवल \(\le-1\) या \(\ge1\) हो सकते हैं। यहाँ \(u=x-2\) है, अतः \(|x-2|\ge1\) चाहिए। इसका अर्थ है \(x-2\le-1\) या \(x-2\ge1\), अर्थात् \(x\le1\) या \(x\ge3\)। इसलिए डोमेन \((-
\infty,1]\cup[3,\infty)\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि वह endpoints \(x=1\) और \(x=3\) को निकाल देता है जबकि वे वैध हैं (\(|x-2|=1\) पर भी cosec^{-1} परिभाषित है)। परीक्षायी सुझाव: inverse cosec के लिए हमेशा तर्क पर \(|\cdot|\ge1\) की शर्त लागू करें और बराबरी के मामलों को शामिल करना न भूलें। / For \(cosec^{-1}(u)\) the argument must satisfy \(|u|\ge1\) because cosecant values lie in \((-
\infty,-1]\cup[1,\infty)\). Here \(u=x-2\), so require \(|x-2|\ge1\), giving \(x\le1\) or \(x\ge3\). Thus the domain is \((-
\infty,1]\cup[3,\infty)\). Option C is a close distractor but wrong because it excludes the endpoints \(x=1,3\), which are allowed (\(|x-2|=1\) is permitted). Exam tip: convert inverse trigonometric domains into inequalities on the argument (e.g. \(|\cdot|\ge1\) for \(cosec^{-1}\)) and check inclusivity of boundary points.
