Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सममित संबंध में यदि ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) है, पर ((3,2)) नहीं है। बाकी ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं। / ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing. The pair ((1,2)) already has ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में हर असमान युग्म का उल्टा युग्म जरूर जाँचें। / In exams, always check the reverse of every non-diagonal pair.
शुद्ध निवेश (150 - 40 = 110) होगा। परीक्षा में सकल निवेश से मूल्यह्रास घटाएँ। / Net investment will be (150 - 40 = 110). In exams, subtract depreciation from gross investment.
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because changing the order of addition does not change the sum.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। / So whenever \((a,b)\in R\), we also get \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
जहाँ शर्त (a) और (b) को बदलने पर वही रहती है, वहाँ सममितता जल्दी जाँची जा सकती है। / If the condition remains unchanged after swapping (a) and (b), symmetry is usually satisfied.
मूल्यह्रास (90 - 65 = 25) है। परीक्षा में मूल्यह्रास को सकल और शुद्ध निवेश के अंतर से निकालें। / Depreciation is (90 - 65 = 25). In exams, calculate depreciation as the difference between gross and net investment.
(a-b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / (a-b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
तब (b-a) भी सम होगा, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में आएगा। / Then (b-a) is also even, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाली शर्तों में चिह्न बदल सकता है, पर सम-विषम गुण नहीं बदलता। / For difference-based conditions, the sign may change, but parity remains the same.
सकल निवेश (75 + 35 = 110) होगा। परीक्षा में शुद्ध निवेश में मूल्यह्रास जोड़कर सकल निवेश निकालें। / Gross investment will be (75 + 35 = 110). In exams, add depreciation to net investment to get gross investment.
A. हाँ, क्योंकि हर असमान युग्म का उल्टा युग्म है/Yes, because every non-diagonal pair has its reverse
Step 1
Concept
सममितता के लिए केवल यह जरूरी है कि हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) हो। / Symmetry only requires that every ((a,b)) has ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) है। विकर्ण युग्म अपना उल्टा खुद होते हैं। / Here ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)). A diagonal pair is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
सभी विकर्ण युग्म होना सममितता के लिए अनिवार्य नहीं है। / All diagonal pairs are not required for symmetry.
D. पूंजी स्टॉक लगभग स्थिर रहेगा/Capital stock will remain nearly constant
Explanation
Simple Explanation
जब सकल निवेश मूल्यह्रास के बराबर हो तो शुद्ध निवेश शून्य होता है। इसलिए पूंजी स्टॉक में शुद्ध वृद्धि नहीं होती। / When gross investment equals depreciation, net investment is zero. So there is no net addition to capital stock.
सममित संबंध में क्रमित युग्म को उलटने पर भी युग्म संबंध में रहना चाहिए। / In a symmetric relation, reversing an ordered pair must still give a pair in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((4,7)) का उल्टा ((7,4)) है, इसलिए यह निश्चित रूप से होगा। / The reverse of ((4,7)) is ((7,4)), so it must be present.
Step 3
Exam Tip
सममितता से विकर्ण युग्म अपने आप जरूरी नहीं हो जाते। / Symmetry does not automatically force diagonal pairs like ((4,4)) or ((7,7)).
A. नहीं, क्योंकि \((1,2)\in R\) पर \((2,1)\notin R\)/No, because \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
Step 1
Concept
सममितता जाँचने के लिए एक विरोधी उदाहरण पर्याप्त है। / One counterexample is enough to disprove symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) संबंध में है क्योंकि \(1\leq2\), लेकिन ((2,1)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(2\leq1\) गलत है। / \((1,2)\in R\) because \(1\leq2\), but \((2,1)\notin R\) because \(2\leq1\) is false.
Step 3
Exam Tip
क्रम वाले संबंधों में सममितता अक्सर असफल हो जाती है। / Order-based relations often fail to be symmetric.
C. सकल निवेश मूल्यह्रास से अधिक हो/Gross investment is greater than depreciation
Explanation
Simple Explanation
सकल निवेश मूल्यह्रास से अधिक होने पर पूंजी स्टॉक में शुद्ध जोड़ होता है। यही धनात्मक शुद्ध निवेश है। / When gross investment is greater than depreciation, there is a net addition to capital stock. This is positive net investment.
स्थितिज ऊर्जा ऋण द्विध्रुव आघूर्ण गुणा क्षेत्र गुणा कोज्या कोण होती है। / Potential energy is negative dipole moment times field times cosine of angle.
Step 2
Why this answer is correct
समांतर स्थिति में कोज्या शून्य अंश का मान एक है। / In parallel position cosine of zero degree is one.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ऊर्जा ऋण तीस जूल होगी। / Therefore energy is negative thirty joule.
यदि (a+b=6), तो (b+a=6) भी होगा। / If (a+b=6), then (b+a=6) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए किसी भी ((a,b)) के लिए उल्टा ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Thus the reverse ((b,a)) belongs to the relation whenever ((a,b)) does.
Step 3
Exam Tip
योग की समानता वाले संबंधों में (a) और (b) बदलने से शर्त नहीं बदलती। / Sum-based equality conditions usually remain unchanged after swapping the variables.
सकल और शुद्ध निवेश बराबर होने पर मूल्यह्रास शून्य होता है। परीक्षा में depreciation को difference से पहचानें। / When gross and net investment are equal, depreciation is zero. In exams, identify depreciation from the difference.
सममित संबंध में दिए गए हर युग्म का उल्टा युग्म होना जरूरी है। / In a symmetric relation, the reverse of each given pair is compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) से ((3,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलते हैं। / From ((1,3)), we need ((3,1)), and from ((2,3)), we need ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
दिए गए युग्मों से केवल उनके उल्टे युग्म ही निश्चित माने जाते हैं, बाकी नहीं। / Only the required reverse pairs are guaranteed, not unrelated diagonal or other pairs.
शुद्ध निवेश (55 - 70 = -15) होगा। परीक्षा में मूल्यह्रास अधिक हो तो शुद्ध निवेश ऋणात्मक हो सकता है। / Net investment will be (55 - 70 = -15). In exams, net investment can be negative when depreciation is higher.
\(R^{-1}\) में हर युग्म उलट जाता है। / In \(R^{-1}\), every ordered pair is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता का अर्थ ही है कि \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी हो, इसलिए उलटने पर वही संबंध मिलता है। / Symmetry means \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\), so reversing all pairs gives the same relation.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध की पहचान \(R=R^{-1}\) से भी की जा सकती है। / A symmetric relation can also be identified by \(R=R^{-1}\).
सकल घरेलू उत्पाद से मूल्यह्रास घटाने पर शुद्ध घरेलू उत्पाद मिलता है। सकल से शुद्ध जाने के लिए depreciation घटाएँ। / Net domestic product is obtained by deducting depreciation from gross domestic product. Deduct depreciation to move from gross to net.
तीन विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The three diagonal pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
असमान युग्मों के तीन जोड़े हैं: ({(1,2),(2,1)}), ({(1,3),(3,1)}), ({(2,3),(3,2)}); हर जोड़ा साथ में चुना या छोड़ा जाएगा। / There are three unordered off-diagonal pair groups, and each group must be selected together or left together.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (3+3=6), इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। / There are (3+3=6) independent choices, so the number of symmetric relations is \(2^6=64\).
सकल राष्ट्रीय उत्पाद से मूल्यह्रास घटाने पर शुद्ध राष्ट्रीय उत्पाद मिलता है। परीक्षा में GNP से NNP बनाते समय depreciation घटाएँ। / Net national product is obtained by deducting depreciation from gross national product. In exams, deduct depreciation while converting GNP into NNP.
A. ऋण आधा द्विध्रुव आघूर्ण गुणा क्षेत्र/Negative half of dipole moment times field
Step 1
Concept
स्थितिज ऊर्जा ऋण द्विध्रुव आघूर्ण गुणा क्षेत्र गुणा कोज्या कोण होती है। / Potential energy is negative dipole moment times field times cosine of angle.
Step 2
Why this answer is correct
साठ अंश का कोज्या एक बटा दो होता है। / Cosine of sixty degrees is one half.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ऊर्जा ऋण आधा द्विध्रुव आघूर्ण गुणा क्षेत्र होगी। / Therefore energy is negative half of dipole moment times field.
(n) अवयवों वाले समुच्चय पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on a set with (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (n=4), इसलिए स्वतंत्र चुनाव \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) हैं। / Here (n=4), so the number of independent choices is \(\frac{4\cdot5}{2}=10\).
Step 3
Exam Tip
सूत्र याद रखने के साथ यह भी समझें कि विकर्ण युग्म अकेले और बाकी युग्म जोड़ों में चुने जाते हैं। / Remember that diagonal pairs are chosen singly, while off-diagonal pairs are chosen in reverse-pair groups.
B. घिसी हुई पूंजी की भरपाई करना/To replace worn-out capital
Explanation
Simple Explanation
प्रतिस्थापन निवेश पुरानी या घिसी पूंजी की भरपाई करता है। परीक्षा में replacement को depreciation recovery से जोड़ें। / Replacement investment replaces old or worn-out capital. In exams, connect replacement with depreciation recovery.
केवल मूल्यह्रास की भरपाई होने पर शुद्ध जोड़ नहीं होता। इसलिए शुद्ध निवेश शून्य होता है। / When only depreciation is replaced, there is no net addition. Therefore, net investment is zero.
सममितता के लिए हर असमान युग्म का उल्टा युग्म चाहिए। / Symmetry needs the reverse of every off-diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा ((3,3)) अपना उल्टा खुद है। / In the first option, ((1,2)) and ((2,1)) are both present, and ((3,3)) is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
विकल्पों को जाँचते समय पहले टूटे हुए उल्टे युग्म खोजें। / While checking options, first look for missing reverse pairs.
शुद्ध निवेश पूंजी स्टॉक में नया शुद्ध जोड़ दिखाता है। परीक्षा में productive capacity growth को net investment से जोड़ें। / Net investment shows new net addition to capital stock. In exams, connect growth in productive capacity with net investment.
शर्त \(a+b\leq5\) में (a) और (b) को बदलने पर \(b+a\leq5\) मिलता है। / Swapping (a) and (b) in \(a+b\leq5\) gives \(b+a\leq5\).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ क्रम बदलने पर वही रहता है, इसलिए उल्टा युग्म भी शर्त पूरी करेगा। / Since addition is commutative, the condition remains true for the reverse pair.
Step 3
Exam Tip
असमानता में भी यदि अभिव्यक्ति बदलकर वही रहे, तो सममितता बनी रहती है। / Even in inequalities, if the expression is unchanged by swapping, symmetry holds.
D. पूंजी स्टॉक घट रहा है/Capital stock is decreasing
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक शुद्ध निवेश बताता है कि मूल्यह्रास नई पूंजी से अधिक है। इससे पूंजी स्टॉक घटता है। / Negative net investment means depreciation exceeds new capital addition. This reduces capital stock.
यदि (a+b) विषम है, तो (b+a) भी विषम होगा। / If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Hence the reverse pair ((b,a)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
सम और विषम दोनों प्रकार के योग-आधारित संबंधों में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / In sum-based parity relations, changing the order does not change the sum.
शुद्ध निवेश (300 - 80 = 220) होगा। परीक्षा में सकल निवेश से मूल्यह्रास घटाना मुख्य चरण है। / Net investment will be (300 - 80 = 220). In exams, subtracting depreciation from gross investment is the main step.
सममितता के लिए शर्त उलटने पर भी सही रहनी चाहिए। / Symmetry requires the condition to remain valid after reversing a pair.
Step 2
Why this answer is correct
\((2,1)\in R\) है क्योंकि \(2=2\cdot1\), पर \((1,2)\notin R\) क्योंकि \(1\neq2\cdot2\)। / \((2,1)\in R\) because \(2=2\cdot1\), but \((1,2)\notin R\) because \(1\neq2\cdot2\).
Step 3
Exam Tip
गुणा से बनी दिशात्मक शर्तों में उल्टा युग्म अलग परिणाम दे सकता है। / Directional multiplication conditions may fail after reversing the pair.
