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कुल सदस्यों की संख्या के लिए संघ का सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(A\cup B)=14+10-3=21\)। विकल्प C (24) तब प्राप्त होता यदि आप ओवरलैप (साझा भाग) को भूलकर सिर्फ जोड़ दें — यह गलत है क्योंकि साझा तत्वों को एक बार घटाना आवश्यक है। परीक्षा सुझाव: एक सरल वेन आरेख बनाकर साझा भाग को छाँटें; इससे जोड़ते/घटाते समय त्रुटि कम होगी। / Use the union formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). So \(n(A\cup B)=14+10-3=21\). Option C (24) would be the result of forgetting to subtract the overlap (i.e., just adding 14 and 10), which double-counts the common elements. Exam tip: draw a Venn diagram and label the overlap first — that helps avoid double counting when computing unions.
समुच्चयों के कार्डिनेलिटी के लिए सूत्र \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) है। इसे पुनर्व्यवस्थित कर के \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\) मिलता है। यहाँ \(19+13-25=7\)। इसलिए उत्तर 7 है। विकल्प (5) तब गलत होगा जब संघ की मान को गलत तरीके से घटाया गया हो; विकल्प (12) तब आता है जब संघ को जोड़ दिया जाए बजाय घटाने के। परीक्षात्मक सुझाव: हमेशा Venn आरेख के साथ सूत्र याद रखें और यह जाँचें कि प्रतिच्छेद नकारात्मक न हो। / Use the identity \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Rearranging gives \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\). Substituting values: \(19+13-25=7\), so the intersection has 7 elements. Option 5 is wrong because it comes from an incorrect subtraction; option 12 is wrong because it would result from adding the union instead of subtracting. Exam tip: draw a simple two-circle Venn diagram and apply the formula; ensure the intersection count is non‑negative and not greater than either set size.
केवल \(A\) के अवयवों की संख्या निकालने के लिए \(A\) के कुल अवयवों में से \(A\cap B\) के अवयव घटाएँ। अतः केवल \(A\)=\(n(A)-n(A\cap B)=23-9=14\)। विकल्प (23) गलत है क्योंकि वह \(A\) के सभी अवयव हैं जिनमें साझा हिस्सा भी शामिल है; विकल्प (9) केवल साझा भाग है, न कि केवल \(A\)। परीक्षा-सूत्र: वेंन आरेख बनाकर कुल से साझा भाग घटाने से जल्दी हल करें। / Elements only in A = total in A minus those in the intersection, so only A = \(n(A)-n(A\cap B)=23-9=14\). Option 23 is wrong because it is the total in A including the shared part; option 9 is just the intersection. Exam tip: draw a Venn diagram and subtract the intersection from the set's total to get the exclusive part.
केवल B में उपस्थित अवयवों की संख्या निकालने का सिद्धांत सरल है: B के कुल अवयवों में से A∩B (अर्थात् जो दोनों में साझा हैं) घटाएँ। इसलिए केवल B = \(n(B)-n(A\cap B)=27-11=16\)। विकल्प C (27) गलत है क्योंकि इसमें A∩B भी सम्मिलित हैं; विकल्प A (11) गलत है क्योंकि वह केवल दोनों सेटों में साझा भाग की गिनती है; विकल्प D (38) असंभव है क्योंकि यह B के कुल 27 से अधिक है। परीक्षा-सुझाव: प्रश्न पढ़कर तुरंत Venn आरेख पर B और मध्यभाग (A∩B) चिह्नित करें और मध्य भाग घटाएँ। / The number only in B is found by subtracting the intersection from the total in B: only B = \(n(B)-n(A\cap B)=27-11=16\). Option C (27) is incorrect because it includes the intersection as well; option A (11) is just the intersection (elements in both A and B); option D (38) is impossible since it exceeds the total elements in B. Exam tip: sketch a two-set Venn diagram and subtract the overlap from B to get the 'only B' region quickly.
A. केवल A का वह भाग जो B में नहीं है/Only the part of A that is not in B
Explanation
Simple Explanation
\((A - B)\) का परिभाषा है: \(\{x\in A : x\notin B\}\)। इसलिए यह A के उन अवयवों का वह भाग है जो B में नहीं आते — यानी A का केवल बाहरी हिस्सा (intersection के बाहर)। विकल्प C (\((A\cap B)\)) गलत है क्योंकि वह केवल दोनों सेटों में सामान्य अवयव दिखाता है, जबकि \((A - B)\) में वे शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: वेन आरेख पर A का बायाँ/बाहरी भाग देखना सीखें — वही \((A - B)\) है। / By definition \((A - B)=\{x\in A : x\notin B\}\). So it is the part of A consisting of elements not in B — the portion of A outside the intersection. Option C (\((A\cap B)\)) is incorrect because it denotes the common part of A and B, which is excluded from \((A - B)\). Exam tip: on a Venn diagram, mark A then remove the overlapping area with B — the remaining part of A is \((A - B)\).
\(B - A\) का अर्थ है वे सभी तत्त्व जो सेट \(B\) में हैं पर सेट \(A\) में नहीं हैं — अर्थात् \(B\) का वह भाग जो \(A\) के साथ ओवरलैप नहीं करता। इसलिए सही विकल्प केवल (B) वाला क्षेत्र है। सबसे घनिष्ठ विकर्षक \(A\cap B\) गलती से उस साझा भाग को दर्शाता है जो दोनों में आता है, जबकि \(B - A\) में वह शामिल नहीं होता। परिक्षा टिप: त्वरित रूप से वेन आरेख पर \(B\) को शेड करें और फिर \(A\) के ओवरलैप को मिटा दें — बचा हुआ भाग ही \(B - A\) है। / \(B - A\) means the elements that belong to set \(B\) but not to set \(A\); i.e. the part of \(B\) excluding the overlap with \(A\). Hence the correct region is Only (B). The closest distractor, \(A\cap B\), represents the common part of both sets and so is incorrect for a set-difference. Exam tip: Shade \(B\) and remove the intersection with \(A\); the remaining shaded area is \(B - A\).
कटाव (intersection) का अर्थ उन तत्वों का समुच्चय है जो दोनों समुच्चयों में साझा हैं। \(A\) में \(1,2,3,4,5\) हैं और \(B\) में \(3,5,7\) हैं; सामान्य तत्व केवल \(3\) और \(5\) हैं, इसलिए \(A\cap B=\{3,5\}\)। विकल्प A (\(\{1,2,4\}\)) केवल \(A\) के अलग-अलग तत्व हैं, वे \(B\) में नहीं हैं; विकल्प C (\(\{7\}\)) केवल \(B\) का अनन्य तत्व है; विकल्प D पूरा योग (union) है, न कि कटाव। परीक्षा टिप: दोनों सेटों के तत्व एक-एक करके लिखकर सामान्य तत्वों की पहचान करें या छोटा वेन आरेख बनाएं। / Intersection means the elements common to both sets. \(A\) contains \(1,2,3,4,5\) and \(B\) contains \(3,5,7\); the common elements are only \(3\) and \(5\), so \(A\cap B=\{3,5\}\). Option A (\(\{1,2,4\}\)) lists elements only in \(A\), not common to \(B\); option C (\(\{7\}\)) is only in \(B\); option D is the union of the two sets, not the intersection. Exam tip: list members of both sets side by side or draw a small Venn diagram to spot common elements quickly.
"केवल A" का अर्थ है A \\ B — अर्थात् A में वे तत्व जो B में नहीं हैं। A और B का साझा भाग (intersection) {2,8} है, इसलिए उन्हें A से निकालने पर बचते हैं {4,6}। विकल्प B ({2,8}) केवल साझा तत्व हैं इसलिए गलत है; विकल्प C ({1,9}) केवल B के तत्व हैं; विकल्प D पूरा A है जबकि हमें A से B घटाना है। परीक्षा टिप: जल्दी पता करने के लिए वेंन आरेख में A के केवल बाएँ भाग को देखें या सीधे समुच्चयों का अंतर लें। / "Only A" means A \ B — the elements in A that are not in B. The common elements of A and B are {2,8}, so removing them from A leaves {4,6}. Option B ({2,8}) lists the intersection (not only A), option C ({1,9}) are elements only of B, and option D is the whole set A (not A \ B). Exam tip: Use a simple Venn diagram or compute the set difference A\B by removing common elements.
"केवल B" का अर्थ है B − A (या B में वे तत्व जो A में नहीं हैं)। B में {b, c, d, e} हैं; A के सामान्य तत्व c और e को निकालने पर केवल {b, d} बचते हैं। विकल्प A ({c, e}) गलती से B∩A यानी साझा तत्व दिखाता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा सुझाव: किसी भी समय "only B" माँगा जाए, सीधे B − A निकालें। / "Only B" means B − A (elements in B that are not in A). B contains {b, c, d, e}; removing the common elements c and e (which are in A) leaves {b, d}. Option A ({c, e}) corresponds to the intersection B∩A, not the only-B part, so it is incorrect. Exam tip: For "only B" questions compute B − A quickly by removing common elements.
समुच्चय (A) में उन तत्वों का योग आता है जो केवल A में हैं और जो A तथा B के सामान्य भाग में हैं। दिए गए अनुसार केवल A के क्षेत्र का आकार \(n(A - B)=10\) और साझा भाग का आकार \(n(A\cap B)=7\)। अतः \(n(A)=n(A - B)+n(A\cap B)=10+7=17\)। विकल्प (B) = 10 केवल \(A - B\) की गिनती है और साझा भाग को छोड़ देता है, इसलिए गलत है। विकल्प (A) और (D) व्यर्थ हैं (3 अमान्य गणना, 70 असंगत बड़ा मान)। परीक्षा-सुझाव: छोटा Venn आरेख बनाएं और हमेशा लिखें \(n(A)=n(A - B)+n(A\cap B)\)। / Set A consists of elements only in A plus those in the common part with B. Here \(n(A - B)=10\) and \(n(A\cap B)=7\), so \(n(A)=n(A - B)+n(A\cap B)=10+7=17\). Option B (10) counts only \(A - B\) and omits the intersection, so it is incorrect. Options A and D are implausible (3 is a wrong arithmetic result, 70 is inconsistent). Exam tip: draw a simple two-circle Venn diagram and use \(n(A)=n(A - B)+n(A\cap B)\) to avoid mistakes.
समुच्चय B के तत्व दो परस्पर-विषम भागों में विभाजित होते हैं: केवल B में होने वाले तत्व (\(B-A\)) और A तथा B दोनों में आने वाले तत्व (\(A\cap B\))। इसलिए कुल सदस्यता जोड़कर मिलेगी: \(n(B)=n(B-A)+n(A\cap B)=13+6=19\)। विकल्प 13 केवल \(B-A\) की संख्या है और पारस्परिक भाग \(A\cap B\) को छोड़ देता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सुझाव: वेंस आरेख पर परस्पर-विषम क्षेत्रों की पहचान कर उनकी संख्या जोड़ें — साझा और केवल-एक-समुच्चय के हिस्सों को अलग रखें। / Elements of set B split into two disjoint parts: those only in B (\(B-A\)) and those in both A and B (\(A\cap B\)). Thus add their cardinalities: \(n(B)=n(B-A)+n(A\cap B)=13+6=19\). Option 13 counts only \(B-A\) and omits the intersection, so it is incorrect. Exam tip: mark disjoint regions on a Venn diagram and sum their counts to find the total for a set.
कक्षा में 42 विद्यार्थी हैं। 24 विद्यार्थी गणित पसंद करते हैं, 18 विज्ञान पसंद करते हैं, और 7 विद्यार्थी दोनों विषय पसंद करते हैं। कम से कम एक विषय पसंद करने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
दो सेटों के लिए संघ का नियम उपयोग करें: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(24+18-7=35\) इसलिए कम से कम एक विषय पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या 35 है. विकल्प B (42) केवल 24 और 18 को जोड़कर दोनों को दोबारा गिनता है; विकल्प C (49) गलत है क्योंकि उसमें इंटरसेक्शन को जोड़ा गया है न कि घटाया गया; विकल्प D (7) केवल उन विद्यार्थियों को गिनता है जो दोनों विषय पसंद करते हैं। परीक्षा टिप: छोटे वेन-आरेख बनाकर पहले केवल एक-विशेष हिस्से की संख्या भरें और फिर संघ का सूत्र लगाकर परिणाम को कुल विद्यार्थियों से मिलान करें। / Apply the union formula for two sets: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Thus \(24+18-7=35\), so 35 students like at least one subject. Option B (42) is just 24+18 and double-counts the students who like both; option C (49) is wrong because it adds the intersection instead of subtracting it; option D (7) counts only those who like both subjects. Exam tip: draw a small Venn diagram, place the intersection first, then fill the exclusive parts and use the union formula; always check the answer does not exceed the class size.
एक सर्वेक्षण में 50 लोग शामिल थे; 28 लोग मोबाइल का उपयोग करते हैं, 20 लोग कंप्यूटर का उपयोग करते हैं, और 10 लोग दोनों का उपयोग करते हैं। कितने लोग किसी भी उपकरण का उपयोग नहीं करते?
इस प्रकार के प्रश्नों में 'कम से कम एक' उपयोग करने वालों की संख्या inclusion–exclusion सिद्धांत से निकाली जाती है: \(28+20-10=38\). यह 38 वे लोग हैं जो मोबाइल या कंप्यूटर या दोनों का उपयोग करते हैं। इसलिए जिन लोगों ने कोई भी उपकरण नहीं प्रयोग किया, उनकी संख्या कुल में से यह घटाकर है: \(50-38=12\). विकल्प C (38) गलत है क्योंकि वह 'कम से कम एक' करने वालों की संख्या है, न कि 'कोई नहीं'। विकल्प A (10) केवल दोनों उपयोग करने वालों की संख्या है, और विकल्प D (40) गलत तर्क (जैसे केवल 10 घटाने से) का परिणाम है. परीक्षा युक्ति: एक सरल वенн आरेख बनाकर पहले "केवल मोबाइल", "केवल कंप्यूटर" और "दोनों" हिस्से भरें — इससे त्रुटियाँ कम होती हैं। / Use the inclusion–exclusion idea: number using at least one = 28 + 20 − 10 = 38 (mobile or computer or both). So neither = total − at least one = 50 − 38 = 12. Option C (38) is the count of those using at least one, not those using neither. Option A (10) is only the number using both. Option D (40) comes from incorrect subtraction (e.g. 50 − 10) and is therefore wrong. Exam tip: draw a two-set Venn diagram and fill "only mobile", "only computer" and "both" to avoid sign mistakes.
समुच्चयों के योग के लिए सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। चूँकि \(A\cap B=\varnothing\) है, इसलिए \(n(A\cap B)=0\)। अतः \(n(A\cup B)=15+18-0=33\)। विकल्प B और C केवल व्यक्तिगत समुच्चयों का आकार देते हैं, इसलिए वे गलत हैं; विकल्प A कोई तार्किक गणना नहीं दर्शाता। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा यूनियन का सामान्य सूत्र लिखें और इंटरसेक्शन की संख्या की जाँच करें। / Use the union formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Since \(A\cap B=\varnothing\), \(n(A\cap B)=0\). Therefore \(n(A\cup B)=15+18-0=33\). Options B and C are the sizes of the individual sets (not the union) so they are incorrect; option A is not a valid result here. Exam tip: write the formula first and check whether the sets are disjoint (intersection zero).
यदि \(A\subseteq B\) है तो हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी होगा, अतः \(A\cup B=B\)। इसलिए \(n(A\cup B)=n(B)=26\). नजदीकी भ्रामक विकल्प \(35\) गलत है क्योंकि वह \(n(A)+n(B)=9+26\) का योग है — पर आदर्श सूत्र \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) है; यहाँ \(A\cap B=A\) होने पर ही घटाना जरूरी है और परिणाम \(26\) रहता है। परीक्षा सुझाव: जब दिया हो कि \(A\subseteq B\), तुरंत समझें कि \(A\cup B=B\)। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is already in \(B\), so \(A\cup B=B\). Hence \(n(A\cup B)=n(B)=26\). The tempting option 35 is wrong because it is just \(n(A)+n(B)=9+26\); the correct union formula is \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\), and here \(A\cap B=A\) so subtracting gives \(26\). Exam tip: whenever you see \(A\subseteq B\), immediately conclude \(A\cup B=B\) to save time.
यदि \(A\subseteq B\) है तो हर तत्व जो A में है वह B में भी होगा, अतः \(A\cap B=A\)। इसलिए \(n(A\cap B)=n(A)=12\)। निकटतम विक्षेपक \(31\) है — यह \(n(B)\) है, पर \(A\cap B\) कभी भी \(n(A)\) से बड़ा नहीं हो सकता। \(19\) उस गलत धारणा का परिणाम हो सकता है कि कोई \(n(B)-n(A)\) करके intersection मान ले रहा है; \(43\) दोनों सेटों के cardinals का जोड़ है और गलत है। परीक्षा टिप: जब \(A\subseteq B\) हो तो तुरंत मान लें \(A\cap B=A\) और cardinalities बराबर होंगे। / If \(A\subseteq B\), every element of A is in B, so \(A\cap B=A\). Therefore \(n(A\cap B)=n(A)=12\). The closest distractor is 31 — that is \(n(B)\), but the intersection cannot exceed \(n(A)\). 19 might arise from wrongly computing \(n(B)-n(A)\), and 43 is the sum \(12+31\), both incorrect. Exam tip: for a subset relation use \(A\cap B=A\) immediately to get the cardinality.
A के कुल तत्व \(n(A)=20\) में से जो केवल A में हैं वे \(A\setminus B=13\) हैं। इसलिए साझा भाग (intersection) होगा \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=20-13=7\)। विकल्प C (13) गलत है क्योंकि वह केवल A में मौजूद तत्वों की संख्या है, न कि दोनों में साझा तत्वों की। परीक्षा सुझाव: Venn आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र को नाम दे दें और सूत्र \(n(A)=n(A\setminus B)+n(A\cap B)\) याद रखें। / Out of the total \(n(A)=20\) elements of A, the elements only in A are \(A\setminus B=13\). Hence the intersection is \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=20-13=7\). Option C (13) is incorrect because it counts elements exclusive to A, not the common ones. Exam tip: draw a Venn diagram, label the regions and use \(n(A)=n(A\setminus B)+n(A\cap B)\) to avoid sign errors.
B के कुल \(30\) अवयवों में से \(21\) केवल B में हैं (A में नहीं)। अतः जो अवयव दोनों में हैं वे बचे हुए होंगे: \(n(A\cap B)=30-21=9\). विकल्प A (7) गलत है क्योंकि वह \(n(A)-21\) निकालने पर मिलता, जो इस प्रश्न में अर्थहीन है — "केवल B" का अर्थ B का अनन्य भाग है, न कि A का। विकल्प C (21) केवल B के अनन्य अवयव हैं, पर वह साझा भाग नहीं हैं; विकल्प D (30) पूरा B है, न कि केवल साझा भाग। परीक्षा टिप: "only B" का अर्थ समझें — यह B के वे सदस्य हैं जो A में नहीं हैं; साझा भाग निकालने के लिए B का कुल घटाएँ। / Out of the total \(30\) elements of B, \(21\) are only in B (not in A). Therefore the elements common to A and B are the remainder: \(n(A\cap B)=30-21=9\). Option A (7) is wrong because it corresponds to subtracting 21 from \(n(A)\) (\(28-21\)), which misinterprets "only B"; option C (21) gives the only‑B elements (not the intersection); option D (30) is the whole set B, not the common part. Exam tip: carefully parse phrases like "only B" or "only A" — they denote exclusive elements of that set and are used to find the intersection by subtraction from the set's total.
यदि \(A = B\), तो दोनों सेट एक ही हैं। इसलिए \(A \cap B = A \cap A = A\)। विकल्प \(\varnothing\) तभी सही होगा जब सेट दोनों आपस में असंगत (disjoint) हों — यहाँ ऐसा नहीं है। \(U\) केवल तब सही होगा जब \(A = U\) अर्थात सेट यूनिवर्सल सेट के बराबर हो, जो सामान्यतः सत्य नहीं माना जा सकता। \(A'\) सेट \(A\) का पूरक है और \(A\) के बराबर नहीं होता। परीक्षा-टिप्स: पहचानें कि समान सेटों का परस्पर छेदन वही सेट देता है: \(X\cap X = X\)। / If \(A = B\), the two sets are identical, so \(A \cap B = A \cap A = A\). The choice \(\varnothing\) would be true only if the sets were disjoint, which is not the case here. \(U\) (the universal set) would be the intersection only if \(A = U\), which is not generally assumed. \(A'\) is the complement of \(A\) and is not equal to \(A\). Exam tip: remember the identity law \(X\cap X = X\) and \(X\cup X = X\) for quick answers.
यदि \(A = B\), तो दोनों समुच्चय समान हैं। संघ का गुण (idempotent law) कहता है कि \(A \cup A = A\)। इसलिए \(A \cup B = A\) होगा। विकल्प (C) \(A'\) और (D) \(U\setminus A\) दोनों A का पूर्णपूरक दर्शाते हैं और केवल तभी बराबर होते यदि विशेष परिस्थितियाँ (जैसे \(A=\varnothing\) या \(A=U\)) हों — सामान्यतः वे गलत हैं। विकल्प (B) खाली समुच्चय है, जो तब ही सही होगा जब \(A\) खाली हो, पर सामान्य मान के लिए यह गलत है. परीक्षा-सूत्र: समान समुच्चयों का संघ वही समुच्चय ही होता है (याद रखें: \(A\cup A=A\)). / If \(A = B\), the two sets are identical. The idempotent law of union gives \(A \cup A = A\), so \(A \cup B = A\). Option C (\(A'\)) and D (\(U\setminus A\)) denote the complement of A and are not equal to A in general (only in special cases). Option B (\(\varnothing\)) would be true only if \(A\) itself were empty. Exam tip: use set identities on Venn diagrams — identical sets union to themselves, i.e. \(A\cup A=A\).
समुच्चयों के संघ और छेदन के संबंध का सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। इसमें दिए गए मान रखें: \(48=32+n(B)-10\)। इसका सरलीकरण करने पर \(48=22+n(B)\) इसलिए \(n(B)=26\)। नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(38\) तब बनता है जब कोई केवल \(n(A\cup B)-n(A\cap B)=48-10\) कर ले — यह गलत है क्योंकि उस विधि में \(n(A)\) को शामिल करना भूल जाता है। परिक्षा-टिप: Venn आरेख बनाकर और फार्मूला \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) को फिर से लिखकर अज्ञात को अलग करें। / Use the union formula for two sets: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Substitute the given values: \(48=32+n(B)-10\). Simplifying gives \(48=22+n(B)\), so \(n(B)=26\). The common wrong result 38 comes from doing \(48-10\) only, which omits \(n(A)\). Exam tip: draw a Venn diagram and algebraically rearrange the union formula to solve for the unknown cardinality.
