Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \(a<a\) असत्य है/Because \(a<a\) is false for every \(a\in A\)
Explanation
Simple Explanation
स्वसमता के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना आवश्यक है। यहाँ \((a,a)\in R\) तभी होगा जब \(a<a\) सत्य हो, लेकिन कोई भी संख्या स्वयं से छोटी नहीं होती। इसलिए \(R\) स्वसम नहीं, बल्कि अस्वसम (irreflexive) है। विकल्प B भी गलत है, क्योंकि \(a<b\) सममित नहीं है; और सममितता स्वसमता की शर्त नहीं है। परीक्षा-युक्ति: स्वसमता जाँचने के लिए हर अवयव के लिए \((a,a)\) अवश्य जाँचें। / For reflexivity, \((a,a)\) must belong to \(R\) for every \(a\in A\). Here, \((a,a)\in R\) would require \(a<a\), but no number is less than itself. Therefore, \(R\) is not reflexive; it is irreflexive. Option B is also incorrect because \(a<b\) is not symmetric, and symmetry is a different property from reflexivity. Exam tip: To test reflexivity, check whether every pair \((a,a)\) is present in the relation.
यदि \((a,b)\in R\), तो \(|a-b|=2\) होता है। चूँकि \(|b-a|=|a-b|=2\), इसलिए \((b,a)\in R\) भी होगा; अतः सम्बन्ध सममित है। यह स्वसम नहीं है, क्योंकि किसी भी \(a\) के लिए \(|a-a|=0\ne2\), इसलिए \((a,a)\notin R\)। यह संकर्मक भी नहीं है; उदाहरण के लिए \((1,3)\in R\) और \((3,5)\in R\), लेकिन \((1,5)\notin R\)। परीक्षा-युक्ति: निरपेक्ष अन्तर वाले सम्बन्धों में \(|a-b|=|b-a|\) देखकर पहले सममितता जाँचें। / If \((a,b)\in R\), then \(|a-b|=2\). Since \(|b-a|=|a-b|=2\), we also have \((b,a)\in R\); hence the relation is symmetric. It is not reflexive because \(|a-a|=0\ne2\), so \((a,a)\notin R\) for every \(a\). It is also not transitive: \((1,3)\in R\) and \((3,5)\in R\), but \((1,5)\notin R\). Exam tip: for relations involving absolute differences, use \(|a-b|=|b-a|\) to test symmetry first.
संबंध के प्रत्येक युग्म \((a,b)\) में \(a,b\in A\) होने चाहिए और \(a+2b=6\) संतुष्ट होना चाहिए। \(b=1\) रखने पर \(a=4\), जिससे \((4,1)\) मिलता है; \(b=2\) रखने पर \(a=2\), जिससे \((2,2)\) मिलता है। \(b=3\) पर \(a=0\) और \(b=4\) पर \(a=-2\) मिलता है, जो \(A\) में नहीं हैं। अतः कुल 2 क्रमित युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: संबंध के युग्मों की संख्या निकालते समय दोनों अवयवों का दिए गए समुच्चय में होना अवश्य जाँचें। / Each ordered pair \((a,b)\) must have both entries in \(A\) and satisfy \(a+2b=6\). For \(b=1\), \(a=4\), giving \((4,1)\); for \(b=2\), \(a=2\), giving \((2,2)\). For \(b=3\), \(a=0\), and for \(b=4\), \(a=-2\); neither value belongs to \(A\). Therefore, the relation contains 2 ordered pairs. Exam tip: when counting relation pairs, verify that both components belong to the specified set, not just that the equation is satisfied.
क्योंकि \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\), इसलिए यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\) भी होगा; अतः संबंध सममित है। यह स्वसम नहीं है, क्योंकि \(\gcd(2,2)=2\neq 1\)। यह संक्रामक भी नहीं है: \(\gcd(2,3)=1\) और \(\gcd(3,4)=1\), लेकिन \(\gcd(2,4)=2\)। साथ ही, \((2,3)\) और \((3,2)\) दोनों संबंध में हैं, जबकि \(2\neq3\), इसलिए यह प्रतिसममित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\gcd(a,b)=1\) वाले संबंधों में सममिति जाँचने के लिए महत्तम समापवर्तक की अदला-बदली संपत्ति याद रखें। / Since \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\), whenever \((a,b)\in R\), we also have \((b,a)\in R\); hence the relation is symmetric. It is not reflexive because \(\gcd(2,2)=2\neq1\). It is not transitive: \(\gcd(2,3)=1\) and \(\gcd(3,4)=1\), but \(\gcd(2,4)=2\). It is also not antisymmetric because both \((2,3)\) and \((3,2)\) belong to \(R\), although \(2\neq3\). Exam tip: for relations defined by \(\gcd(a,b)=1\), first use the symmetry \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\).
सममित संबंध की परिभाषा के अनुसार, यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\) भी होना चाहिए। यहाँ \((2,5)\in R\) दिया है, इसलिए इसका क्रम-विपरीत युग्म \((5,2)\) निश्चित रूप से \(R\) में होगा। \((2,2)\), \((5,5)\) या \((1,2)\) के लिए दी गई जानकारी से कोई निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता। परीक्षा-युक्ति: सममित संबंध में युग्म के दोनों अवयवों का स्थान बदलकर दूसरा युग्म लिखें। / By definition of a symmetric relation, if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) as well. Since \((2,5)\in R\), its reversed pair \((5,2)\) must belong to \(R\). The given information does not require \((2,2)\), \((5,5)\), or \((1,2)\) to be in the relation. Exam tip: For a symmetric relation, interchange the two entries of any given ordered pair.
संकर्मकता के अनुसार, यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) अवश्य होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=6\) हैं, इसलिए \((1,6)\in R\)। अन्य विकल्पों में युग्मों का क्रम उलट गया है; संकर्मकता ऐसे उलटे युग्मों की गारंटी नहीं देती। परीक्षा-युक्ति: संकर्मकता में पहले युग्म का दूसरा अवयव और दूसरे युग्म का पहला अवयव समान होना चाहिए। / By transitivity, if \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\) must hold. Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=6\), so \((1,6)\in R\). The other options reverse the order of the elements, and transitivity does not guarantee such reverse pairs. Exam tip: in a transitive relation, match the second element of the first pair with the first element of the second pair, then connect the remaining elements.
यदि \((a,b)\in R\), तो \(a+b\le 6\) होगा। चूँकि जोड़ क्रमविनिमेय है, इसलिए \(b+a=a+b\le 6\), अतः \((b,a)\in R\) भी होगा। इसलिए \(R\) सममित है। यह स्वसम नहीं है, क्योंकि \((4,4)\notin R\); यह प्रत्यासममित नहीं है, क्योंकि \((1,2)\) और \((2,1)\) दोनों \(R\) में हैं। यह संकर्मक भी नहीं है, क्योंकि \((2,1),(1,5)\in R\), लेकिन \((2,5)\notin R\)। परीक्षा-युक्ति: सममितता जाँचने के लिए \((a,b)\) के साथ \((b,a)\) की उपस्थिति देखें। / If \((a,b)\in R\), then \(a+b\le 6\). Since addition is commutative, \(b+a=a+b\le 6\), so \((b,a)\in R\) as well. Hence, \(R\) is symmetric. It is not reflexive because \((4,4)\notin R\); it is not antisymmetric because both \((1,2)\) and \((2,1)\) belong to \(R\). It is also not transitive since \((2,1),(1,5)\in R\), but \((2,5)\notin R\). Exam tip: To test symmetry, check whether every \((a,b)\) is accompanied by \((b,a)\).
A. क्योंकि \((1,1)\notin R\)/Because \((1,1)\notin R\)
Explanation
Simple Explanation
स्वसम संबंध के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना आवश्यक है। यहाँ \((1,1)\in R\) होने के लिए \(1+1\ge 5\) होना चाहिए, लेकिन \(2\ge 5\) असत्य है; अतः \((1,1)\notin R\) और संबंध स्वसम नहीं है। \((4,4)\in R\) होना केवल एक आत्म-युग्म की पुष्टि करता है, सभी की नहीं। परीक्षा-युक्ति: स्वसमता जाँचने के लिए सभी \((a,a)\) युग्मों की जाँच करें; एक भी असफल युग्म पर्याप्त है। / A relation is reflexive only if \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\). For \((1,1)\) to belong to \(R\), we need \(1+1\ge 5\), but \(2\ge 5\) is false. Therefore, \((1,1)\notin R\), so the relation is not reflexive. Although \((4,4)\in R\), one self-pair does not establish reflexivity for the entire set. Exam tip: To test reflexivity, check every pair of the form \((a,a)\); one failure is enough.
