Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a\) के प्रत्येक मान के लिए \(b=a^2\) निकालें: \(0^2=0\), \(1^2=1\), \(2^2=4\) और \(3^2=9\)। ये सभी मान \(B\) में हैं, इसलिए क्रमित युग्म \((0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\) मिलते हैं। अतः कुल \(4\) युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में \(A\) के प्रत्येक अवयव का नियम के अनुसार प्रतिबिंब निकालकर जाँचें कि वह \(B\) में है या नहीं। / For each value of \(a\), calculate \(b=a^2\): \(0^2=0\), \(1^2=1\), \(2^2=4\), and \(3^2=9\). Every resulting value belongs to \(B\), giving the ordered pairs \((0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\). Therefore, the total number of pairs is \(4\). Exam tip: Apply the given rule to every element of \(A\) and count only those results that lie in \(B\).
दिए गए समुच्चयों में \(a,b\) के मान केवल 1, 2, 3 या 4 हो सकते हैं। समीकरण \(a^2+b^2=25\) के लिए \(3^2+4^2=25\), इसलिए \((3,4)\) और \((4,3)\) दो क्रमित युग्म मिलते हैं। \((3,4)\) और \((4,3)\) अलग-अलग युग्म हैं क्योंकि क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की गिनती करते समय उलटे क्रम को अलग युग्म मानें। / Since both sets contain only 1, 2, 3, and 4, the equation \(a^2+b^2=25\) is satisfied by \(3^2+4^2=25\). Thus, the ordered pairs are \((3,4)\) and \((4,3)\), giving a total of 2. These are distinct because order matters in a Cartesian product. Exam tip: when counting ordered pairs, treat reversed pairs as different unless the question concerns unordered pairs.
क्योंकि \(|A|=|B|=3\), इसलिए \(|A\times B|=3\times3=9\) क्रमित युग्म होंगे। इनमें \(a=b\) वाले केवल \((1,1),(2,2),(3,3)\), अर्थात् 3 युग्म हैं। अतः \(a\ne b\) वाले युग्मों की संख्या \(9-3=6\) है। विकल्प 9 सभी युग्मों की संख्या है, केवल असमान अवयवों वाले युग्मों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: समान समुच्चयों के लिए \(a\ne b\) वाले युग्मों की संख्या \(n^2-n=n(n-1)\) होती है। / Since \(|A|=|B|=3\), the Cartesian product contains \(3\times3=9\) ordered pairs. Exactly 3 pairs have equal components: \((1,1),(2,2),(3,3)\). Therefore, the number with \(a\ne b\) is \(9-3=6\). Option 9 counts all pairs, not just those with unequal components. Exam tip: for two identical sets of \(n\) elements, the number of pairs with unequal components is \(n^2-n=n(n-1)\).
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap C=\{1,2,4\}\), इसलिए इसमें 3 तत्व हैं; तथा \(B\cap C=\{2,4\}\), इसलिए इसमें 2 तत्व हैं। कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की संख्या \(|X\times Y|=|X|\times|Y|\) होती है। अतः \(3\times2=6\)। परीक्षा टिप: कार्तीय गुणनफल की संख्या निकालने के लिए दोनों समुच्चयों की संख्याएँ गुणा करें, उन्हें जोड़ें नहीं। / First find the intersections: \(A\cap C=\{1,2,4\}\), which has 3 elements, and \(B\cap C=\{2,4\}\), which has 2 elements. The number of ordered pairs in a Cartesian product is \(|X\times Y|=|X|\times|Y|\). Hence, \(3\times2=6\). Exam tip: multiply the cardinalities of the two sets for a Cartesian product; do not add them.
प्रत्येक \(a\) के लिए \(B\) से ऐसे \(b\) गिनते हैं जो \(b>a\) हों। \(a=1,2,3,4\) के लिए क्रमशः विकल्पों की संख्या \(3,3,3,2\) है। इसलिए कुल संख्या \(3+3+3+2=11\) है। विकल्प 10 में किसी एक स्थिति की एक वैध पसंद छूट जाती है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्म \((a,b)\) होते हैं, इसलिए प्रत्येक \(a\) को स्थिर रखकर गिनना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For each fixed value of \(a\), count the elements of \(B\) that are greater than it. For \(a=1,2,3,4\), the respective numbers of choices are \(3,3,3,2\). Hence, the total is \(3+3+3+2=11\). The distractor 10 results from missing one valid choice in one of these cases. Exam tip: Since \(A \times B\) contains ordered pairs \((a,b)\), fix each value of \(a\) and count the permissible values of \(b\).
प्रत्येक a के लिए उन b मानों की गणना करें जिनके लिए a+b≤5 है। a=1 पर b के 3 मान, a=2 पर 3 मान, a=3 पर 2 मान और a=4 पर 1 मान संभव हैं। इसलिए कुल क्रमित युग्मों की संख्या 3+3+2+1=9 है। ध्यान रखें कि कार्तीय गुणनफल में क्रम महत्वपूर्ण होता है और प्रत्येक युग्म (a,b) के रूप में लिया जाता है। / Count the possible values of b for each value of a such that a+b≤5. For a=1, there are 3 choices of b; for a=2, 3 choices; for a=3, 2 choices; and for a=4, 1 choice. Thus, the total number of ordered pairs is 3+3+2+1=9. Exam tip: In a Cartesian product, order matters, so each pair is counted as (a,b).
जब a=1, तब B के सभी 4 अवयव 1 के गुणज हैं, इसलिए 4 युग्म मिलते हैं। जब a=2, तब केवल 6 और 12, 2 के गुणज हैं, इसलिए 2 युग्म मिलते हैं। जब a=3, तब 3, 6, 9 और 12 सभी 3 के गुणज हैं, इसलिए 4 युग्म मिलते हैं। अतः कुल युग्म 4+2+4=10 हैं। परीक्षा में प्रत्येक a के लिए B में उसके गुणज अलग-अलग गिनना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For a=1, all 4 elements of B are multiples of 1, giving 4 pairs. For a=2, only 6 and 12 are multiples of 2, giving 2 pairs. For a=3, all four elements 3, 6, 9 and 12 are multiples of 3, giving 4 pairs. Therefore, the total number of pairs is 4+2+4=10. In an exam, count the suitable values of b separately for each value of a to avoid missing or repeating a pair.
समुच्चय \(A\) के सभी सदस्य विषम हैं और समुच्चय \(B\) के सभी सदस्य सम हैं। विषम संख्या और सम संख्या का योग हमेशा विषम होता है; इसलिए प्रत्येक क्रमित युग्म \((a,b)\) के लिए \(a+b\) विषम होगा। ‘अभाज्य’ विकल्प निश्चित नहीं है, क्योंकि \(3+6=9\) अभाज्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विषम \(\pm\) सम का परिणाम हमेशा विषम होता है। / Every element of \(A\) is odd, while every element of \(B\) is even. The sum of an odd number and an even number is always odd, so \(a+b\) is odd for every ordered pair \((a,b)\) in \(A\times B\). ‘Prime’ is not guaranteed because \(3+6=9\), which is composite. Exam tip: the sum or difference of an odd and an even number is always odd.
यदि दो समुच्चय �(A=1,2,3,4) और �(B=1,2,3,4) हैं, तो �\(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म �((a,b)) होंगे जिनमें �(a) और �(b) दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं?
दोनों समुच्चयों में अभाज्य तत्व केवल 2 और 3 हैं। इसलिए पहले घटक के लिए 2 विकल्प और दूसरे घटक के लिए भी 2 विकल्प मिलते हैं। गुणन सिद्धान्त के अनुसार क्रमित युग्मों की संख्या �2\times2=4� है: (2,2), (2,3), (3,2) और (3,3)। 6 जैसे विकल्प में क्रमित युग्मों की संख्या को सही ढंग से गुणा नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में दोनों घटकों की शर्तें स्वतंत्र हों, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें। / The only prime elements in each set are 2 and 3. Thus, there are 2 choices for the first component and 2 choices for the second component. By the multiplication principle, the number of ordered pairs is �2\times2=4�: (2,2), (2,3), (3,2), and (3,3). The distractor 6 results from not applying the multiplication principle correctly. Exam tip: For independent conditions on the two components of a Cartesian product, multiply the numbers of valid choices.
क्योंकि B के सभी अवयव धनात्मक हैं, \(a^b=1\) तभी होगा जब \(a=1\)। अतः क्रमित युग्म \((1,1),(1,2),(1,3)\) इस शर्त को संतुष्ट करते हैं। इसलिए कुल 3 युग्म हैं। \(a=0\) के लिए मान 0 और \(a=2\) के लिए मान 1 से अधिक होगा। परीक्षा-टिप: घातांक धनात्मक होने पर \(1^b=1\) को सीधे पहचानें। / Since every element of B is positive, \(a^b=1\) holds only when \(a=1\). Thus the ordered pairs \((1,1),(1,2),(1,3)\) satisfy the condition, giving a total of 3 pairs. For \(a=0\), the value is 0, while for \(a=2\), the value is greater than 1. Exam tip: when the exponent is positive, immediately check the base \(a=1\) for a value of 1.
|a − b| = 2 के लिए क्रमित युग्म हैं: (1, 3), (3, 1), (2, 4) और (4, 2)। अतः कुल 4 युग्म हैं। (1, 3) और (3, 1) जैसे दोनों क्रम अलग-अलग क्रमित युग्म माने जाते हैं; केवल अव्यवस्थित युग्म गिनने पर उत्तर 2 आता। परीक्षा में A × B के युग्मों में क्रम का महत्त्व याद रखें। / The ordered pairs satisfying |a − b| = 2 are (1, 3), (3, 1), (2, 4), and (4, 2). Therefore, the total number of pairs is 4. The pairs (1, 3) and (3, 1) are distinct because the order matters in a Cartesian product; counting them as one would incorrectly give 2. In an exam, remember that pairs in A × B are ordered pairs.
