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सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (57+49-21=85) मिलता है। साझा भाग को दो बार न गिनें। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (57+49-21=85). Do not count the common part twice.
पहले (n\(A\cup B\)=150-32=118), फिर (n\(A\cap B\)=70+62-118=14)। बाहर का भाग दिया हो तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=150-32=118), then (n\(A\cap B\)=70+62-118=14). If the outside part is given, find the union first.
(n\(A\cap B\)=68+53-91=30) होगा। संघ दिया हो तो प्रतिच्छेद निकालने के लिए योग में से संघ घटाएं। / (n\(A\cap B\)=68+53-91=30). When the union is given, subtract it from the sum to get the intersection.
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए (24+31+16=71)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of three separate parts, so (24+31+16=71). In a Venn diagram, add each separate region only once.
पहले (n\(A\cup B\)=72+64-28=108), इसलिए बाहर (140-108=32) है। बाहर का भाग संघ का पूरक होता है। / First (n\(A\cup B\)=72+64-28=108), so outside is (140-108=32). The outside region is the complement of the union.
पहले (n\(A\cap B\)=58-29=29), फिर (n(B-A)=96-29-29=38)। कुल (A) से केवल (A) घटाकर साझा भाग निकालें। / First (n\(A\cap B\)=58-29=29), then (n(B-A)=96-29-29=38). Subtract only (A) from total (A) to get the common part.
वेन-आरेख में "केवल A" का अर्थ है A के वे तत्व जो B में नहीं आते। इसका सूत्र \(\text{केवल }A = n(A)-n(A\cap B)\) है। यहाँ \(59-24=35\)। इसलिए सही उत्तर 35 है। निकटवर्ती विकर्षक: 24 केवल A\cap B (साझा भाग) है, इसे "केवल A" नहीं माना जा सकता; 59 A का कुल है जिसमें साझा भाग भी शामिल है; 83 कोई सुसंगत गणना नहीं है। परिक्षा टिप: प्रश्न देखते ही छोटे वेन-आरेख बना लें और प्रत्येक क्षेत्र में दिए गए मान लिख दें — इससे घटाना/जोड़ना स्पष्ट हो जाता है। / "Only A" means elements in A but not in B, so compute \(\text{only }A = n(A)-n(A\cap B)\). Here \(59-24=35\), so 35 is correct. Closest distractor 24 is the intersection \(A\cap B\) (common elements), not the elements only in A; 59 is the total in A including the intersection; 83 is not a valid result from the given data. Exam tip: sketch a two-set Venn diagram and label each region — this helps avoid confusing total, intersection, and "only" counts.
तीन समुच्चयों में केवल (A=19), केवल (B=23), केवल (C=17), केवल \(A\cap B=8\), केवल \(B\cap C=10\), केवल \(C\cap A=6\) और \(A\cap B\cap C=5\) हैं। (n\(B\cup C\)) कितना होगा?
\(B\cup C\) में (B) या (C) के अंदर आने वाले भाग जुड़ेंगे, (23+17+8+10+6+5=69)। ध्यान दें कि केवल (A) इसमें नहीं आएगा। / \(B\cup C\) includes parts inside (B) or (C), (23+17+8+10+6+5=69). Notice that only (A) is not included.
वेन-आरेख के हिसाब से "केवल \(B\)" का अर्थ है \(B\) के वे तत्व जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(\text{केवल }B = n(B)-n(A\cap B) = 66-31 = 35\)। विकल्प A में दिया 31 मध्य (intersection) का मान है — वह केवल \(B\) नहीं है। विकल्प C (66) पूरे \(B\) की संख्या है जिसमें intersection भी शामिल है; इसलिए गलत है। परीक्षा टिप: पहले ओवरलैप (\(A\cap B\)) का मान आरेख में भरें, फिर बाहरी हिस्सों को अलग-लग निकालें। / "Only \(B\)" means elements in \(B\) excluding those also in \(A\). So \(\text{only }B = n(B)-n(A\cap B) = 66-31 = 35\). Option A (31) is the intersection value, not the count exclusive to \(B\). Option C (66) is the total of \(B\), including the overlap, so it is not "only \(B\)". Exam tip: place the intersection value in the overlap region first, then subtract it from the total of each set to get the exclusive parts.
सूत्र में (91=46+40+37-14-12-11+x) होगा, इसलिए (x=5)। तीन समुच्चयों में केंद्रीय भाग अंत में जोड़ा जाता है। / In the formula (91=46+40+37-14-12-11+x), so (x=5). In three sets, the central part is added at the end.
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग है, इसलिए (26+18+33+12=89)। कोई भी क्षेत्र छोड़ना नहीं चाहिए। / The universal set is the sum of all regions, so (26+18+33+12=89). Do not miss any region.
A. \(A\cup B\) का वह भाग जो (C) में नहीं है/Part of \(A\cup B\) that is not in (C)
Explanation
Simple Explanation
\(C^c\) का अर्थ (C) के बाहर है, इसलिए (\(A\cup B\)\cap C^c) में (A) या (B) के वे भाग आते हैं जो (C) में नहीं हैं। पूरक चिन्ह क्षेत्र को सीमित करता है। / \(C^c\) means outside (C), so (\(A\cup B\)\cap C^c) contains parts of (A) or (B) that are not in (C). The complement sign limits the region.
अंदर का संघ (29+17+22=68) है, इसलिए बाहर (96-68=28) है। बाहरी क्षेत्र (U) से अंदर का भाग घटाकर मिलता है। / The inside union is (29+17+22=68), so outside is (96-68=28). The outside region is found by subtracting the inside part from (U).
(B) पूरा (C) के अंदर है, इसलिए (n(C-B)=95-61=34)। nested वेन आरेख में बड़े से अंदर वाले भाग को घटाएं। / (B) lies completely inside (C), so (n(C-B)=95-61=34). In a nested Venn diagram, subtract the inner part from the larger set.
क्योंकि (A) पूरा (B) में है, इसलिए (n(B-A)=82-34=48)। उपसमुच्चय में छोटा वृत्त बड़े के अंदर होता है। / Since (A) lies completely inside (B), (n(B-A)=82-34=48). In a subset case, the smaller circle lies inside the larger one.
एक खेल सर्वे में 80 लोगों ने क्रिकेट पसंद किया, 64 लोगों ने फुटबॉल पसंद किया और 29 लोगों ने दोनों खेल पसंद बताये। केवल एक खेल पसंद करने वाले कितने हैं?
केवल एक खेल पसंद करने वाले = केवल क्रिकेट वाले + केवल फुटबॉल वाले। केवल क्रिकेट वाले = 80 − 29 = 51, केवल फुटबॉल वाले = 64 − 29 = 35। अतः कुल = 51 + 35 = 86। यही सूत्र समेकित रूप में लिखा जा सकता है: \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\)। विकल्प 115 गलत है — यह सम्मिलन (union) की संख्या है: \(80+64-29=115\)। विकल्प 144 गलत है — यह दोनों को जोड़कर किसी भी काट-छाँट के बिना मिला देना है (80+64)। विकल्प 91 निकटतम विचलन है; यह अक्सर अंकगणित की गलती (उदा. 64−29 को 40 लिख देना) से आता है। परीक्षा सुझाव: एक Venn आरेख बनाकर "केवल" वाले क्षेत्र अलग से लिखें और घटाना दो बार जाँचें। / Exactly one = (cricket only) + (football only). Cricket only = 80 − 29 = 51, Football only = 64 − 29 = 35. Therefore total = 51 + 35 = 86. In formula form: \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\). Option 115 is incorrect — it gives the union size: \(80+64-29=115\). Option 144 is incorrect — it is the raw sum without accounting for overlap (80+64). Option 91 is a common arithmetic slip (for example miscomputing 64−29 as 40). Exam tip: draw a two-set Venn diagram, label the intersection first, then compute the "only" regions by subtraction and add them.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (45+37=82)। \(A\cap B=\varnothing\) दिखे तो घटाने वाला भाग शून्य मानें। / Disjoint sets have common part (0), so (45+37=82). When \(A\cap B=\varnothing\), take the subtracted part as zero.
क्योंकि (52+47=99), जो (100) से अधिक नहीं है, इसलिए प्रतिच्छेद (0) भी हो सकता है। न्यूनतम के लिए देखें कि दोनों कुल (U) से अधिक हो रहे हैं या नहीं। / Since (52+47=99), which is not greater than (100), the intersection can be (0). For the minimum, check whether the two totals exceed (U).
ठीक एक समुच्चय में आने वाले तत्वों की संख्या निकालने के लिए हम जानते हैं कि \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। ठीक एक समुच्चय = \((n(A)-n(A\cap B))+(n(B)-n(A\cap B))=n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\)। इसे संघ के संबंध में लिखें तो ठीक एक = \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\)। यहाँ इसलिए \(98-42=56\)। नज़दीकी भ्रम: 98 संघ की कुल संख्या है (जिसमें साझा तत्व भी शामिल हैं), 42 केवल साझा (दोनों में आने वाले) तत्वों की संख्या है, और 140 इन दोनों को जोड़ने से बनता है जो सही अर्थ नहीं देता। परीक्षा टिप: द्वि-समुच्चय वाले प्रश्नों में "ठीक एक" के लिए फॉर्मूला याद रखें — \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\) या \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\)। / Use the relation \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Elements in exactly one set are \((n(A)-n(A\cap B))+(n(B)-n(A\cap B))=n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\), which equals \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\). Substituting the given values: \(98-42=56\). Why other choices are wrong: 98 is the union (includes common elements), 42 is only the common part, and 140 is just adding the two given numbers and is not a correct count. Exam tip: remember both forms — \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\) and \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\) — for quick answers.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (n(A)+n(B)-n(U)=58+45-90=13) है। जब कुल (U) से अधिक हो जाए तो अतिरिक्त भाग अनिवार्य साझा होता है। / The minimum intersection is (n(A)+n(B)-n(U)=58+45-90=13). When the total exceeds (U), the extra part must be common.
सममित अंतर में केवल (A) और केवल (B) वाले भाग आते हैं, इसलिए (38+27=65)। साझा भाग इसमें शामिल नहीं होता। / The symmetric difference includes only (A) and only (B), so (38+27=65). The common part is not included.
पूरक (U) से घटाकर मिलता है, इसलिए (130-46=84)। यहां केवल साझा भाग का पूरक पूछा गया है। / The complement is found by subtracting from (U), so (130-46=84). Here the complement of only the common part is asked.
अंतर्विभाजन (intersection) का अर्थ है दोनों समुच्चयों में मौजूद सामान्य तत्व। \(A\) और \(B\) में एक‑एक करके देखने पर सामान्य तत्व 4, 6 और 12 हैं, इसलिए \(A\cap B=\{4,6,12\}\)। विकल्प B में केवल \(A\) के अनन्य तत्व हैं (ये \(B\) में नहीं हैं), विकल्प C में केवल \(B\) के अनन्य तत्व हैं, और विकल्प D असल में \(A\cup B\) (संघ) है। परीक्षा टिप: हर तत्व के लिए दोनों समुच्चयों में मौजूद होने की जाँच करें या साधारण वैन डायग्राम बनाकर तुरंत सामान्य भाग पढ़ लें। / Intersection means elements common to both sets. Checking each element of \(A\) and \(B\) shows 4, 6 and 12 are present in both, so \(A\cap B=\{4,6,12\}\). Option B lists elements only in \(A\) (not in \(B\)); option C lists elements only in \(B\); option D is the union \(A\cup B\), not the intersection. Exam tip: Verify membership of each candidate element in both sets or draw a quick Venn diagram to spot the common region instantly.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग तत्व लिखे जाते हैं। दोहराए गए तत्वों को केवल एक बार लिखें। / The union contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
(A-B) में (A) के वे तत्व रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। (10,20,30) साझा हैं, इसलिए हट जाते हैं। / (A-B) keeps elements of (A) that are not in (B). (10,20,30) are common, so they are removed.
किसी समुह का पूरक \(A^c\) वे तत्व होते हैं जो सार्वभौमिक समुह \(U\) में हैं पर समुह \(A\) में नहीं। यहाँ \(U=\{m,n,o,p,q,r,s,t\}\) और \(A=\{m,o,q,s\}\) है, अतः जो तत्व बचते हैं वे \(n,p,r,t\) हैं। इसलिए \(A^c=\{n,p,r,t\}\)। विकल्प A केवल \(A\) ही है इसलिए गलत; विकल्प C पूरी तरह \(U\) है और विकल्प D शून्य-समुह है — दोनों भी असंगत हैं। परीक्षा टिप: पूरक निकालते समय सीधे \(U\) से \(A\) के तत्व घटाएँ और गुणा-गणना से जांचें (\(|U|=8,|A|=4\) तो \(|A^c|=4\))। / The complement \(A^c\) consists of elements that belong to the universal set \(U\) but not to \(A\). Given \(U=\{m,n,o,p,q,r,s,t\}\) and \(A=\{m,o,q,s\}\), the remaining elements are \(n,p,r,t\). Hence \(A^c=\{n,p,r,t\}\). Option A is just \(A\) itself (not its complement), option C is the whole \(U\) and option D is the empty set — all incorrect. Exam tip: subtract elements of \(A\) from \(U\) and verify by counting (here \(|U|=8,|A|=4\) so \(|A^c|=4\)).
तीन समुच्चयों का संघ (42+39+35-15-13-11+5=87) है। अंतिम साझा भाग को वापस जोड़ना जरूरी है। / The union of three sets is (42+39+35-15-13-11+5=87). Adding back the final common part is necessary.
तीन समुच्चयों A, B, C के लिए \,\(n(A\cap B)=21\), \(n(B\cap C)=19\), \(n(C\cap A)=16\) और \(n(A\cap B\cap C)=7\) दिया गया है। ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कितने हैं?
किसी जोड़ी के समुच्चय में मौजूद तत्वों में से वे तत्व जो सभी तीनों में भी होते हैं, प्रत्येक जोड़ी की गिनती में शामिल होते हैं। इसलिए ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्व = \((21-7)+(19-7)+(16-7)=35\)। सामान्य गलतियाँ: 56 = 21+19+16 (तीनों को घटाए बिना) गलत है; 49 और 42 उन गलत गणनाओं के परिणाम हैं जहाँ त्रिनेतु भाग \(7\) को एक या दो बार ही घटाया गया — पर उसे प्रत्येक जोड़ी से घटाना अनिवार्य है। परीक्षा टिप: एक Venn आरेख बनाएं, केंद्र में \(7\) लिखें और फिर हर जोड़ी के भाग से इसे घटाकर शेष अंक भरें। / Each pairwise intersection includes the elements that lie in all three sets, so those must be removed from each pair to count elements in exactly two sets. Hence exactly two = \((21-7)+(19-7)+(16-7)=35\). Common errors: 56 is just 21+19+16 without subtracting the triple overlap; 49 or 42 arise if the triple overlap 7 is subtracted only once or twice instead of from each of the three pair-counts. Exam tip: draw a Venn diagram, place 7 in the central region, then compute each pair-region by subtracting 7 from the given pairwise totals.
केवल \(A\) के तत्त्वों की गिनती के लिए फॉर्मूला है: केवल \(A\) = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\)। यहाँ \(n(A)=63, n(A\cap B)=26, n(A\cap C)=24\) और \(n(A\cap B\cap C)=9\) हैं, अतः केवल \(A\)=\(63-26-24+9=22\)। कारण: \(A\cap B\) और \(A\cap C\) को निकालते समय \(A\cap B\cap C\) दो बार घटता है, इसलिए एक बार जोड़ा जाता है। विकल्प C (26) गलत है क्योंकि वह \(A\cap B\) का मान है, न कि केवल \(A\) का। परीक्षा-सुझाव: तीन वृत्तों वाला वेन आरेख बनाएं और प्रत्येक भाग पर दिए गए मान लिखकर चरण-दर-चरण घटाएँ/जोड़ें। / Use the formula for elements only in A: only A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). Substituting the given values gives only A = \(63-26-24+9=22\). Reason: elements in \(A\cap B\) and \(A\cap C\) are removed from A, but the triple intersection \(A\cap B\cap C\) is subtracted twice so it must be added back once. Option C (26) is incorrect — it equals \(n(A\cap B)\), not the count of elements only in A. Exam tip: draw the 3-set Venn diagram and label overlaps; apply the formula directly to avoid sign errors.
केवल (A) और (B) के लिए (29-12=17) होगा। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद में तीनों का साझा भाग शामिल रहता है। / For only (A) and (B), (29-12=17). A pairwise intersection includes the common part of all three.
कुल सार्वभौमिक समुच्चय U में से उन तत्वों की संख्या जो किसी भी एक या अधिक समुच्चयों A, B, C में आती हैं, वह n\(A \cup B \cup C\) = 127 है। इसलिए जो तत्व किसी भी समुच्चय में नहीं आते (i.e. \(A \cup B \cup C\) का पूरक) उनकी संख्या है n(U) - n\(A \cup B \cup C\) = 160 - 127 = 33। निकट भ्रामक विकल्प 27 इसलिए गलत है क्योंकि यह गलत घटाव का परिणाम है; 37 भी गलत है क्योंकि यह उल्टा या अलग गणना दर्शाता है। परीक्षा टिप: बिना अतिरिक्त जानकारी के किसी भी तत्वों को 'नहीं आने वाले' पाने के लिए बस n(U) में से n(union) घटाएँ। / The elements that lie in at least one of A, B or C are n\(A \cup B \cup C\) = 127. The number in none of the sets (the complement of the union in U) is n(U) - n\(A \cup B \cup C\) = 160 - 127 = 33. The closest distractor 27 is incorrect due to wrong subtraction; 37 is also incorrect. Exam tip: to find 'none of the sets' directly compute n(U) - n(union) when the universe size is given.
सममित अंतर (A-B) और (B-A) का योग है, इसलिए (78-34=44)। साझा भाग इसमें नहीं आता। / The symmetric difference is the sum of (A-B) and (B-A), so (78-34=44). The common part is not included.
किसी भी दो समुच्चयों के लिए "ठीक एक समुच्चय में" के तत्वों की संख्या होती है n\(A\B\)+n\(B\A\) = n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)। यहाँ n(A)+n(B)=54+61=115 है। इसलिए \(73=115-2\,n(A\cap B)\)। इससे \(2\,n(A\cap B)=42\) और \(n(A\cap B)=21\) मिलता है। आम गलती: कुछ विद्यार्थी यहाँ युनियन का सूत्र \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) लगा देते हैं, जो कि अलग परिभाषा पर लागू होता है। परीक्षा टिप: पहले "ठीक एक" का अर्थ समझें और फिर उचित सूत्र लिखकर मान रखकर हल करें। / For two sets, the number of elements in exactly one set is n\(A\B\)+n\(B\A\) = n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\). Here n(A)+n(B)=54+61=115. So \(73=115-2\,n(A\cap B)\), giving \(2\,n(A\cap B)=42\) and \(n(A\cap B)=21\). Why other choices are wrong: 19 gives \(115-2\times19=115-38=77\) (not 73) and 23 gives \(115-46=69\). Common mistake is using the union formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) instead of the "exactly one" formula. Exam tip: translate "exactly one" into the formula n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\) before substituting numbers and solve stepwise.
कम से कम एक का मतलब समूहों का गुणज (union) है। सूत्र
\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) लागू करें। यहाँ \(63+58-26=95\)। विकल्प B (121) केवल दोनों समूहों को जोड़ने पर मिला है और एक-दो बार गिने गए छात्रों को घटाना भूल गया है। परीक्षा सुझाव: जब दो समूह दिये हों तो हमेशा सम्मिलन के लिए उपरोक्त सूत्र लगाएँ और दोनों सीखने वालों को एक बार ही गिनें। / 'At least one' means the union of the two sets. Use the formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Thus \(63+58-26=95\). Option B (121) is the simple sum that double-counts those who learn both. Exam tip: for two overlapping groups always use the inclusion–exclusion formula and subtract the intersection once.
कम से कम एक (43+39-18=64) है, इसलिए कोई नहीं (90-64=26)। पहले संघ निकालना आसान तरीका है। / At least one is (43+39-18=64), so neither is (90-64=26). Finding the union first is the easy method.
केवल सेब वाले लोगों की संख्या = कुल सेब − दोनों। इसलिए केवल सेब = \(52-19=33\)। विकल्प C (52) गलत है क्योंकि वह दोनों पसंद करने वालों को भी शामिल करता है। विकल्प D (71) गलत है — यह \(52+19\) करके गलत तरह से जोड़ने का परिणाम है। विकल्प B (38) भी सही सेट-ऑपरेशन से नहीं मिलता। परीक्षा टिप: वैन्न आरेख बनाकर पहले ओवरलैप (intersection) को लिखें और फिर 'केवल' के लिए उस भाग को कुल में से घटा दें। / Only-apples = total apples − both = \(52-19=33\). Option C (52) is incorrect because it includes those who like both. Option D (71) is \(52+19\), a wrong addition that double-counts. Option B (38) does not follow from the correct set operations. Exam tip: draw a Venn diagram, place the intersection first, then subtract it from each total to get the ‘only’ counts.
असंबद्ध होने पर हर तत्व ठीक एक समुच्चय में आता है, इसलिए (49+52=101)। साझा भाग शून्य है। / When sets are disjoint, every element belongs to exactly one set, so (49+52=101). The common part is zero.
किसी सेट A के सभी तत्व दो भागों में आते हैं: केवल A में वाले (A−B) और A और B में सामान्य वाले \(A\cap B\)। इसलिए\(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=41+22=63\)। विकल्प C (41) केवल (A−B) की गणना है, विकल्प D (22) सिर्फ intersection है, और विकल्प A (19) का कोई अर्थ यहाँ नहीं बनता (यह अंतर 41−22 जैसा दिखता है)। परीक्षा टिप: तुरंत एक छोटा Venn आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र में दिए गए मान लिखें — यह अक्सर त्रुटि रोकता है। / The set A splits into two disjoint parts: elements only in A, i.e. \(A- B\), and elements in both A and B, i.e. \(A\cap B\). So \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=41+22=63\). Option C (41) counts only \(A-B\), option D (22) is only the intersection, and option A (19) is not relevant (looks like 41−22). Exam tip: draw a simple two-set Venn diagram and label the regions — it makes such questions immediate.
संघ के तीन अलग भाग हैं, इसलिए (88-31-29=28)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को घटाना आसान रहता है। / The union has three separate parts, so (88-31-29=28). In Venn diagrams, subtracting separate regions is easy.
सिद्धांत: \(n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B)\)। इसलिए \(n(B-A)=n(A\cup B)-n(A-B)-n(A\cap B)\)। दिए हुए मानों को रखकर \(n(B-A)=104-46-25=33\)। 58 (विकल्प B) गलत है क्योंकि वह केवल \(104-46\) = 58 करके संघ से केवल \(A-B\) घटा देता है और \(A\cap B\) को नजरअंदाज कर देता है। परीक्षा संकेत: छोटे Venn-चित्र बनाकर तीन क्षेत्रों को अलग-अलग लेबल करें — यह भूल से दो बार गिनती या कोई क्षेत्र छोड़ने से बचाता है। / Concept: For two sets, \(n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B)\). So \(n(B-A)=n(A\cup B)-n(A-B)-n(A\cap B)\). Substituting the given values gives \(n(B-A)=104-46-25=33\). Option B (58) is a common error — it equals \(104-46\), which omits subtracting the overlap \(n(A\cap B)\). Exam tip: draw a Venn diagram and label the three internal regions to avoid missing the intersection term.
कुल मूल नियम: \(n((A\cup B)^c)=n(U)-n(A\cup B)\)। दिये अनुसार \(n(A\cup B)=125-24=101\)। फिर संघ–कटाव सूत्र लगाते हैं: \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)=62+55-101=16\)। विकल्प B (20) अक्सर तब आता है जब \(n(A\cup B)\) गलत माना गया हो; यहाँ संघ का सही मान 101 है, इसलिए 20 गलत है। परीक्षा टिप: पहले पूरक से \(n(A\cup B)\) निकालें, फिर \(n(A)+n(B)-n(A\cup B)\) का प्रयोग करें। / Use the complement relation \(n((A\cup B)^c)=n(U)-n(A\cup B)\). So \(n(A\cup B)=125-24=101\). Then apply the union formula rearranged for intersection: \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)=62+55-101=16\). Option B (20) is a common arithmetic/union-mistake if one computes \(n(A\cup B)\) incorrectly; with the correct union 101, 20 is not possible. Exam tip: compute the union from the complement first, then use \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\) to avoid sign errors.
C. तीनों वृत्तों का साझा केंद्रीय भाग/Common central part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) वे तत्व हैं जो तीनों समुच्चयों में हों। तीन वृत्तों में यह केंद्रीय साझा भाग होता है। / \(A\cap B\cap C\) means elements that are in all three sets. In three circles, it is the central common part.
यदि केवल (A=18), केवल (B=22), केवल (C=19), केवल \(A\cap B=9\), केवल \(B\cap C=8\), केवल \(C\cap A=7\) और \(A\cap B\cap C=6\) हैं, तो (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
संघ सातों अंदरूनी क्षेत्रों का योग है, (18+22+19+9+8+7+6=89)। हर क्षेत्र को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of all seven inside regions, (18+22+19+9+8+7+6=89). Add each region only once.
(A) के अंदर आने वाले सभी क्षेत्र जोड़ें, (27+10+12+8=57)। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके सभी अंदरूनी भागों का योग है। / Add all regions inside (A), (27+10+12+8=57). The total of a set is the sum of all its inside regions.
(B) के सभी भाग जोड़ने पर (24+11+13+9=57) मिलता है। कुल (B) में (B) के अंदर के सभी क्षेत्र शामिल होते हैं। / Adding all parts of (B) gives (24+11+13+9=57). Total (B) includes all regions inside (B).
(n(U)=180), (n(A)=76), (n(B)=69), (n(C)=62), (n\(A\cap B\)=30), (n\(B\cap C\)=27), (n\(C\cap A\)=24) और (n\(A\cap B\cap C\)=10) हैं। किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (76+69+62-30-27-24+10=136) है, इसलिए बाहर (180-136=44)। तीन समुच्चयों में समावेशन-बहिष्करण ध्यान से लगाएं। / The union is (76+69+62-30-27-24+10=136), so outside is (180-136=44). Apply inclusion-exclusion carefully for three sets.
सूत्र में (99=48+43+41-17-14-13+x) होगा, इसलिए (x=11)। अज्ञात केंद्रीय भाग को समीकरण से निकालें। / In the formula (99=48+43+41-17-14-13+x), so (x=11). Find the unknown central part by forming an equation.
(A) और \(A^c\) मिलकर (U) बनाते हैं, इसलिए (n(A)=132-58=74)। पूरक के प्रश्न में सार्वत्रिक समुच्चय जरूर देखें। / (A) and \(A^c\) together form (U), so (n(A)=132-58=74). In complement questions, always check the universal set.
साझा भाग (73-28-32=13) है। संघ के अलग-अलग क्षेत्रों को पहचानना परीक्षा में समय बचाता है। / The common part is (73-28-32=13). Identifying separate regions of the union saves time in exams.
मूल सिद्धांत: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(A\cap B)=0\) है, इसलिए \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\)। दिए गए मान रखने पर \(92=40+n(B)\) से \(n(B)=92-40=52\)। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प 40 इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल \(n(A)\) को दर्शाता है, और 92 गलत है क्योंकि वह संयुक्त समुच्चय का कुल है — दोनों सही घटाने के बाद मिलने वाला उत्तर नहीं हैं। परीक्षा-सूत्र: हमेशा पहले सामान्य सूत्र लिखें और विशेष स्थिति (जैसे परस्पर पृथक होने पर प्रतिच्छेद शून्य) लागू करें। / Core formula: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Given \(n(A\cap B)=0\), this reduces to \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\). Substituting the values gives \(92=40+n(B)\), hence \(n(B)=92-40=52\). Closest distractors: 40 is just \(n(A)\) and 92 is the union total, so neither equals \(n(B)\) after accounting for disjointness. Exam tip: write the general formula first and then substitute special-case values like \(n(A\cap B)=0\).
