Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A) में (3) तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। परीक्षा में \(2^n\) नियम तुरंत लगाएं। / Set (A) has (3) elements so its power set has \(2^3=8\) elements. Use the \(2^n\) rule directly in exams.
पहले \(A\cup B={1,2,3,4,5}\) है। इसका पूरक (U) में बचे हुए ({6,7,8}) होंगे। / First \(A\cup B={1,2,3,4,5}\). Its complement is the remaining elements ({6,7,8}) in (U).
({v}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। घात समुच्चय में उपसमुच्चय आते हैं। / ({v}) is a subset of (A) so it is an element of (\mathcal{P}(A)). A power set contains subsets.
पूरक में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। यहां (1,3,5,6,7) बचते हैं। / The complement contains elements of (U) that are not in (A). Here (1,3,5,6,7) remain.
एक तत्व वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({9}) होते हैं। इसलिए घात समुच्चय \({\emptyset,{9}}\) है। / A one element set has subsets \(\emptyset\) and ({9}). Hence the power set is \({\emptyset,{9}}\).
यहां \(\emptyset\) भी एक तत्व है इसलिए (A) में कुल (3) तत्व हैं। अतः \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / Here \(\emptyset\) is also one element so (A) has (3) elements. Thus there are \(2^3=8\) subsets.
B. पुस्तकालय की हिंदी न होने वाली पुस्तकें/library books that are not Hindi books
Explanation
Simple Explanation
पूरक उसी (U) के अंदर दिए गए समुच्चय से बाहर के तत्व दिखाता है। यहां (H') हिंदी न होने वाली पुस्तकें हैं। / A complement shows elements inside the same (U) but outside the given set. Here (H') means books that are not Hindi books.
हर तत्व से एक एकल उपसमुच्चय बनता है। पांच तत्व होने पर पांच एक तत्व वाले उपसमुच्चय होंगे। / Each element forms one singleton subset. With five elements there are five one element subsets.
({2,10}) में (10) है जो (A) में नहीं है। इसलिए यह (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / ({2,10}) contains (10), which is not in (A). So it is not a subset of (A).
कोई तत्व (A) और (A') दोनों में एक साथ नहीं हो सकता। इसलिए प्रतिच्छेद रिक्त है। / No element can be in both (A) and (A') at the same time. Hence the intersection is empty.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी शामिल करें। / A two element set has four subsets. Include \(\emptyset\) and the whole set in the power set.
चार तत्वों में से तीन चुनने के (4) तरीके हैं। इसलिए तीन तत्व वाले उपसमुच्चय (4) हैं। / There are (4) ways to choose three elements from four. So there are (4) three element subsets.
यदि पूरक (2,6) है तो (A) में (U) के बाकी तत्व होंगे। इसलिए \(A=\{1,3,4,5\}\) है। / If the complement is (2,6), then (A) contains the remaining elements of (U). So \(A=\{1,3,4,5\}\).
A. क्योंकि \(A\subseteq A\)/because \(A\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। इसलिए \(A\in\mathcal{P}(A)\) सही है। / Every set is a subset of itself. Hence \(A\in\mathcal{P}(A)\) is correct.
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं और ({7}) एक उपसमुच्चय है। (7) सीधे (A) का तत्व है। / (\mathcal{P}(A)) contains subsets and ({7}) is a subset. (7) is a direct element of (A).
(A') में (U) के वे फल होंगे जो (A) में नहीं हैं। इसलिए केला और अंगूर सही हैं। / (A') contains the fruits in (U) that are not in (A). So banana and grapes are correct.
पांच तत्वों में से चार चुनने के (5) तरीके हैं। हर उपसमुच्चय में एक अलग तत्व छूटता है। / There are (5) ways to choose four elements from five. In each subset one different element is left out.
A. क्योंकि \(\emptyset\subseteq A\)/because \(\emptyset\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
\(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए यह हर घात समुच्चय का तत्व होता है। / \(\emptyset\) is a subset of every set. Therefore it is an element of every power set.
पहले (A'={1,3,5,6}) है जिसमें (4) तत्व हैं। इसलिए (\mathcal{P}(A')) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (A'={1,3,5,6}), which has (4) elements. So (\mathcal{P}(A')) has \(2^4=16\) elements.
({2}) एक अलग तत्व है और (4,6) दो अन्य तत्व हैं। इसलिए (A) में (3) तत्व हैं। / ({2}) is one separate element and (4,6) are two other elements. So (A) has (3) elements.
(A) में (3) तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। कोष्ठकों को ध्यान से गिनें। / Set (A) has (3) elements so its power set has \(2^3=8\) elements. Count brackets carefully.
पहले (A'={1,2,5,6}) निकालते हैं। फिर उसका घात समुच्चय इसी के उपसमुच्चयों से बनेगा। / First find (A'={1,2,5,6}). Then its power set is formed from subsets of this set.
शून्य तत्व वाला उपसमुच्चय केवल \(\emptyset\) है। इसलिए ऐसे उपसमुच्चय की संख्या (1) होती है। / The only zero element subset is \(\emptyset\). Therefore the number of such subsets is (1).
A. क्योंकि यह (A) का उपसमुच्चय है/because it is a subset of (A)
Explanation
Simple Explanation
({क,घ}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह उपसमुच्चय है। घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय आते हैं। / All elements of ({a,d}) are in (A), so it is a subset. A power set contains all subsets.
जब (A=U) होता है तो (U) में (A) से बाहर कोई तत्व नहीं बचता। इसलिए (A') रिक्त है। / When (A=U), no element remains outside (A) in (U). Therefore (A') is empty.
जब \(A=\emptyset\) हो तो (A'=U) होता है। यहां (U) में (3) तत्व हैं इसलिए \(2^3=8\) तत्व मिलेंगे। / When \(A=\emptyset\), (A'=U). Here (U) has (3) elements so the power set has \(2^3=8\) elements.
(5) को स्थिर रखकर बाकी (2) तत्वों के लिए \(2^2=4\) विकल्प हैं। इसलिए ऐसे (4) उपसमुच्चय होंगे। / Keep (5) fixed and choose from the remaining (2) elements in \(2^2=4\) ways. So there are (4) such subsets.
(A) के रंग हटाने पर (U) में नीला और पीला बचते हैं। इसलिए (A'={नीला,पीला}) है। / After removing the colors of (A), blue and yellow remain in (U). Hence (A'={blue,yellow}).
(36) को हटाकर बाकी (2) तत्वों से \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। ऐसे प्रश्नों में बचे तत्व गिनें। / After excluding (36), the remaining (2) elements form \(2^2=4\) subsets. Count the remaining elements in such questions.
पूरक में मूल समुच्चय (T) के तत्व नहीं आते। इसलिए (6) (T') में नहीं होगा। / Elements of the original set (T) do not appear in the complement. So (6) will not be in (T').
तीन तत्वों वाले समुच्चय का तीन तत्व वाला उपसमुच्चय केवल पूरा समुच्चय होता है। इसलिए संख्या (1) है। / The only three element subset of a three element set is the whole set. So the number is (1).
A. \({5}\subseteq A\) और \({5}\in\mathcal{P}(A)\)/\({5}\subseteq A\) and \({5}\in\mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
({5}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह घात समुच्चय का तत्व है। सीधे (5) को घात समुच्चय का तत्व न मानें। / ({5}) is a subset of (A), so it is an element of the power set. Do not treat direct (5) as an element of the power set.
पहले (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। फिर (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (n(\mathcal{P}(A))=22=4). Then (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^4=16\) elements.
(1) और (9) रखना तय है और (3) को लेने या न लेने के (2) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (2) उपसमुच्चय हैं। / Keeping (1) and (9) is fixed and (3) can be taken or not taken in (2) ways. So there are (2) such subsets.
एक अंकीय प्राकृतिक संख्याएं (1) से (9) तक हैं। (A) हटाने पर (1,3,5,7,9) बचते हैं। / One digit natural numbers are from (1) to (9). After removing (A), (1,3,5,7,9) remain.
(2) लेना और (3) न लेना तय है। बाकी (1,4) के लिए \(2^2=4\) विकल्प हैं। / Taking (2) and not taking (3) are fixed. For remaining (1,4), there are \(2^2=4\) choices.
(A) में तीन अलग तत्व \(\emptyset,{\emptyset},0\) हैं। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=23=8) है। / (A) has three distinct elements \(\emptyset,{\emptyset},0\). Therefore (n(\mathcal{P}(A))=23=8).
चार तत्वों वाले समुच्चय के कुल \(2^4=16\) उपसमुच्चय होते हैं। दो तत्व वाले उपसमुच्चय (6) होते हैं। / A set with four elements has \(2^4=16\) total subsets. The number of two element subsets is (6).
कुल (8) उपसमुच्चय हैं और (a,b) दोनों को न रखने वाले (2) हैं। इसलिए (8-2=6) उपसमुच्चय सही हैं। / There are (8) total subsets and (2) subsets contain neither (a) nor (b). So (8-2=6) subsets are correct.
कोई तत्व (A) और उसके पूरक (A') दोनों में नहीं हो सकता। इसलिए \(A'\cap A=\emptyset\) है। / No element can be in both (A) and its complement (A'). Therefore \(A'\cap A=\emptyset\).
