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मानक कोण के लिए \(\sin 0^\circ=0\) होता है। इकाई वृत्त पर \(0^\circ\) के संगत बिंदु के निर्देशांक \((1,0)\) हैं और sine उस बिंदु का \(y\)-निर्देशांक होता है। इसलिए सही मान 0 है। \(\sin 90^\circ=1\), अतः 1 इस प्रश्न के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(0^\circ\) से \(90^\circ\) तक sine के मान \(0,\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}}{2},1\) क्रम में याद रखें। / For the standard angle, \(\sin 0^\circ=0\). On the unit circle, the point corresponding to \(0^\circ\) is \((1,0)\), and sine is the \(y\)-coordinate of that point. Therefore, the correct value is 0. Since \(\sin 90^\circ=1\), 1 is not correct here. Exam tip: Remember the sine values from \(0^\circ\) to \(90^\circ\) in the order \(0,\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}}{2},1\).
मानक कोण के लिए \(\cos 0^\circ=1\) होता है। इकाई वृत्त पर \(0^\circ\) का संगत बिंदु \((1,0)\) है और उसका x-निर्देशांक कोसाइन को दर्शाता है। इसलिए सही मान 1 है। विकल्प 0, \(\sin 0^\circ\) का मान है, \(\cos 0^\circ\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(0^\circ\) पर \(\sin\theta=0\) और \(\cos\theta=1\) याद रखें। / For the standard angle, \(\cos 0^\circ=1\). On the unit circle, the point corresponding to \(0^\circ\) is \((1,0)\), and its x-coordinate represents cosine. Hence, the correct value is 1. Option 0 is the value of \(\sin 0^\circ\), not \(\cos 0^\circ\). Exam tip: Remember that at \(0^\circ\), \(\sin\theta=0\) and \(\cos\theta=1\).
\(45^\circ\)–\(45^\circ\)–\(90^\circ\) समकोण त्रिभुज में दोनों लम्ब भुजाएँ बराबर होती हैं। अतः \(\tan 45^\circ=\frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}}=1\)। \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\tan 30^\circ\) का मान है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\tan 30^\circ,\tan 45^\circ,\tan 60^\circ\) के मान क्रमशः \(\frac{1}{\sqrt{3}},1,\sqrt{3}\) याद रखें। / In a \(45^\circ\)–\(45^\circ\)–\(90^\circ\) right triangle, the two perpendicular sides are equal. Therefore, \(\tan 45^\circ=\frac{\text{perpendicular}}{\text{base}}=1\). The value \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) is \(\tan 30^\circ\), so it is not correct here. Exam tip: remember \(\tan 30^\circ,\tan 45^\circ,\tan 60^\circ\) as \(\frac{1}{\sqrt{3}},1,\sqrt{3}\), respectively.
\(\sin \theta\) का व्युत्क्रम \(\dfrac{1}{\sin \theta}\) होता है। परिभाषा के अनुसार \(\cosec \theta=\dfrac{1}{\sin \theta}\), इसलिए सही विकल्प \(\cosec \theta\) है। \(\sec \theta\), \(\cos \theta\) का व्युत्क्रम होता है, जबकि \(\cot \theta\), \(\tan \theta\) का व्युत्क्रम है। परीक्षा टिप: व्युत्क्रम युग्म याद रखें—sin–cosec, cos–sec और tan–cot। / The reciprocal of \(\sin \theta\) is \(\dfrac{1}{\sin \theta}\). By definition, \(\cosec \theta=\dfrac{1}{\sin \theta}\), so \(\cosec \theta\) is the correct option. \(\sec \theta\) is the reciprocal of \(\cos \theta\), whereas \(\cot \theta\) is the reciprocal of \(\tan \theta\). Exam tip: Remember the reciprocal pairs: sin–cosec, cos–sec, and tan–cot.
\(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\) होता है। परीक्षा में \(\sec \theta\) और \(\cosec \theta\) को न मिलाएँ। / \(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\). Do not confuse \(\sec \theta\) with \(\cosec \theta\) in exams.
\(\cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}\) होता है। व्युत्क्रम फलनों को सूत्र रूप में लिखकर जाँचें। / \(\cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}\). Check reciprocal functions by writing them as formulas.
\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) होता है। भाग वाले संबंध पहचानना आसान प्रश्नों में उपयोगी है। / \(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\). Recognizing quotient relations is useful in easy questions.
\(\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) होता है। \(\tan \theta\) और \(\cot \theta\) के संबंध उलटे होते हैं। / \(\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\). The relations of \(\tan \theta\) and \(\cot \theta\) are reciprocal.
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) मूल सर्वसमिका है। इसे हर अध्याय में आधार सूत्र की तरह प्रयोग करें। / \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) is a basic identity. Use it as a base formula throughout the chapter.
\(\sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\) से मान (1) मिलता है। सूत्र को स्थानांतरित करके उत्तर निकालें। / From \(\sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\), the value is (1). Rearrange the formula to get the answer.
त्रिकोणमितीय पहचान \(cosec^2\theta=1+\cot^2\theta\) के अनुसार, \(cosec^2\theta-\cot^2\theta=(1+\cot^2\theta)-\cot^2\theta=1\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(\cot^2\theta\) के पद कटने के बाद स्थिर पद 1 बचता है। परीक्षा में पहचान \(cosec^2\theta-\cot^2\theta=1\) सीधे याद रखें। / Using the trigonometric identity \(cosec^2\theta=1+\cot^2\theta\), we obtain \(cosec^2\theta-\cot^2\theta=(1+\cot^2\theta)-\cot^2\theta=1\). Hence, option A is correct. Option B is incorrect because the constant term 1 remains after the \(\cot^2\theta\) terms cancel. For exams, remember the direct identity \(cosec^2\theta-\cot^2\theta=1\).
\(\sin \theta\) का मूल काल \(2\pi\) होता है। काल संबंधी प्रश्नों में फलन का नाम पहले पहचानें। / The fundamental period of \(\sin \theta\) is \(2\pi\). In period questions, identify the function first.
\(\cos \theta\) का मूल काल \(2\pi\) होता है। \(\sin \theta\) और \(\cos \theta\) का काल समान है। / The fundamental period of \(\cos \theta\) is \(2\pi\). \(\sin \theta\) and \(\cos \theta\) have the same period.
\(\tan \theta\) का मूल काल \(\pi\) होता है। \(\tan \theta\) का काल \(\sin \theta\) से अलग है। / The fundamental period of \(\tan \theta\) is \(\pi\). The period of \(\tan \theta\) differs from that of \(\sin \theta\).
\(\cot \theta\) का मूल काल \(\pi\) होता है। \(\tan \theta\) और \(\cot \theta\) का काल समान है। / The fundamental period of \(\cot \theta\) is \(\pi\). \(\tan \theta\) and \(\cot \theta\) have the same period.
\(sin \theta\) विषम फलन है इसलिए \(sin(-\theta)=-\sin \theta\)। ऋण कोण वाले प्रश्नों में सम-विषम गुण पहचानें। / \(sin \theta\) is an odd function, so \(sin(-\theta)=-\sin \theta\). For negative angles, identify even-odd properties.
\(cos \theta\) सम फलन है इसलिए \(cos(-\theta)=\cos \theta\)। सम फलन में ऋण चिह्न से मान नहीं बदलता। / \(cos \theta\) is an even function, so \(cos(-\theta)=\cos \theta\). In an even function, the negative sign does not change the value.
\(\sec \theta\) सम फलन है इसलिए (\sec\(-\theta\)=\sec \theta)। \(\cos \theta\) और \(\sec \theta\) दोनों सम हैं। / \(\sec \theta\) is an even function, so (\sec\(-\theta\)=\sec \theta). Both \(\cos \theta\) and \(\sec \theta\) are even.
\(\cosec \theta\) विषम फलन है इसलिए (\cosec\(-\theta\)=-\cosec \theta)। यह \(\sin \theta\) के व्युत्क्रम जैसा व्यवहार करता है। / \(\cosec \theta\) is an odd function, so (\cosec\(-\theta\)=-\cosec \theta). It behaves like the reciprocal of \(\sin \theta\).
\(\sin \theta\) का मान हमेशा ([-1,1]) में रहता है। परिसर पूछे जाने पर अधिकतम और न्यूनतम मान देखें। / The value of \(\sin \theta\) always lies in ([-1,1]). For range questions, check the maximum and minimum values.
\(\cos \theta\) का परिसर ([-1,1]) है। \(\sin \theta\) और \(\cos \theta\) का परिसर समान होता है। / The range of \(\cos \theta\) is ([-1,1]). \(\sin \theta\) and \(\cos \theta\) have the same range.
\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) है। \(\cos\theta\ne0\) होने पर \(\tan\theta\) प्रत्येक वास्तविक मान प्राप्त कर सकता है, इसलिए इसका परिसर \(( -\infty,\infty )\) है। \([-1,1]\), \(\sin\theta\) और \(\cos\theta\) का परिसर है, \(\tan\theta\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(\tan\theta\) का परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ है, जबकि यह \(\theta=\frac{\pi}{2}+n\pi\) पर अपरिभाषित होता है। / \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). For values of \(\theta\) where \(\cos\theta\ne0\), \(\tan\theta\) can take every real value. Hence its range is \(( -\infty,\infty )\). The interval \([-1,1]\) is the range of \(\sin\theta\) and \(\cos\theta\), not \(\tan\theta\). Exam tip: the range of \(\tan\theta\) is all real numbers, although it is undefined at \(\theta=\frac{\pi}{2}+n\pi\).
\(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\) होने से इसके मान ([-1,1]) के अंदर नहीं आते। परिसर (\(-\infty,-1]\cup[1,\infty\)) होता है। / Since \(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\), its values do not lie inside ([-1,1]). Its range is (\(-\infty,-1]\cup[1,\infty\)).
\(\cosec\theta=\frac{1}{\sin\theta}\) है। चूँकि \(-1\leq\sin\theta\leq1\) तथा \(\sin\theta\neq0\) होना चाहिए, इसलिए \(\cosec\theta\) का मान \(-1\) से छोटा या बराबर अथवा 1 से बड़ा या बराबर होता है। \(\sin\theta=-1\) और \(1\) पर क्रमशः \(\cosec\theta=-1\) और \(1\) मिलते हैं, इसलिए दोनों सिरों को शामिल किया जाता है। विकल्प C में इन्हीं सिरों को बाहर रखा गया है। परीक्षा टिप: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय अनुपातों में उन मानों को जाँचें जहाँ हर शून्य हो सकता है। / \(\cosec\theta=\frac{1}{\sin\theta}\). Since \(-1\leq\sin\theta\leq1\) and \(\sin\theta\neq0\), the value of \(\cosec\theta\) is either less than or equal to \(-1\), or greater than or equal to 1. At \(\sin\theta=-1\) and \(1\), we get \(\cosec\theta=-1\) and \(1\), so both endpoints are included. Option C incorrectly excludes these endpoints. Exam tip: for reciprocal trigonometric functions, check values for which the denominator becomes zero.
\(\cot \theta\) सभी वास्तविक मान ले सकता है। \(\tan \theta\) और \(\cot \theta\) का परिसर समान है। / \(\cot \theta\) can take all real values. \(\tan \theta\) and \(\cot \theta\) have the same range.
\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) है इसलिए \(\cos \theta=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। हर में शून्य नहीं होना चाहिए। / \(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\), so it is undefined when \(\cos \theta=0\). The denominator must not be zero.
\(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\) है इसलिए \(\cos \theta=0\) पर यह अपरिभाषित है। व्युत्क्रम फलन में हर की जाँच करें। / \(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\), so it is undefined when \(\cos \theta=0\). Check the denominator in reciprocal functions.
\(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\) है इसलिए \(\sin \theta=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। हर शून्य होने पर फलन नहीं बनता। / \(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), so it is undefined when \(\sin \theta=0\). A function is not defined when the denominator is zero.
\(\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) है इसलिए \(\sin \theta=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। भाग वाले फलनों में हर पहचानें। / \(\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\), so it is undefined when \(\sin \theta=0\). In quotient functions, identify the denominator.
\(\sin(\pi+\theta)=-\sin \theta\) होता है। तीसरे चतुर्थांश में \(\sin \theta\) का चिह्न ऋण होता है। / \(\sin(\pi+\theta)=-\sin \theta\). In the third quadrant, \(\sin \theta\) is negative.
\(\cos(\pi+\theta)=-\cos \theta\) होता है। तीसरे चतुर्थांश में \(\cos \theta\) का चिह्न ऋण होता है। / \(\cos(\pi+\theta)=-\cos \theta\). In the third quadrant, \(\cos \theta\) is negative.
\(\tan \theta\) का काल \(\pi\) है इसलिए (\tan\(\pi+\theta\)=\tan \theta)। काल याद रखने से रूपांतरण आसान होता है। / The period of \(\tan \theta\) is \(\pi\), so (\tan\(\pi+\theta\)=\tan \theta). Knowing periods makes transformations easier.
\(\sin \theta\) का काल \(2\pi\) है इसलिए मान \(\sin \theta\) ही रहता है। पूर्ण चक्र जुड़ने पर \(\sin \theta\) नहीं बदलता। / The period of \(\sin \theta\) is \(2\pi\), so the value remains \(\sin \theta\). Adding a full cycle does not change \(\sin \theta\).
कोसाइन फलन का आवर्त \(2\pi\) है। इसलिए \(\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta\), अतः \(\cos(2\pi+\theta)=\cos\theta\)। \(-\cos\theta\) तब प्राप्त होता है जब कोण में \(\pi\) जोड़ा जाता है: \(\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta\)। परीक्षा टिप: \(2\pi\) के किसी भी पूर्ण गुणज को कोण में जोड़ने या घटाने पर साइन और कोसाइन के मान अपरिवर्तित रहते हैं। / The cosine function has period \(2\pi\). Therefore, \(\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta\), so \(\cos(2\pi+\theta)=\cos\theta\). The expression \(-\cos\theta\) results when \(\pi\) is added to the angle: \(\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta\). Exam tip: Adding or subtracting any integral multiple of \(2\pi\) leaves the values of sine and cosine unchanged.
\(\sin(\pi-\theta)=\sin \theta\) होता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\sin \theta\) धनात्मक होता है। / \(\sin(\pi-\theta)=\sin \theta\). In the second quadrant, \(\sin \theta\) is positive.
\(\cos(\pi-\theta)=-\cos \theta\) होता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cos \theta\) ऋणात्मक होता है। / \(\cos(\pi-\theta)=-\cos \theta\). In the second quadrant, \(\cos \theta\) is negative.
\(\tan(\pi-\theta)=-\tan \theta\) होता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\tan \theta\) ऋणात्मक होता है। / \(\tan(\pi-\theta)=-\tan \theta\). In the second quadrant, \(\tan \theta\) is negative.
\(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta\) सह-फलन संबंध है। \(\frac{\pi}{2}\) वाले रूपांतरण में फलन बदलता है। / \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta\) is a cofunction relation. In transformations with \(\frac{\pi}{2}\), the function changes.
\(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \theta\) होता है। सह-फलन संबंध में \(\sin \theta\) और \(\cos \theta\) आपस में बदलते हैं। / \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \theta\). In cofunction relations, \(\sin \theta\) and \(\cos \theta\) interchange.
\(\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot \theta\) होता है। \(\tan \theta\) का सह-फलन \(\cot \theta\) है। / \(\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot \theta\). The cofunction of \(\tan \theta\) is \(\cot \theta\).
\(\sec\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cosec \theta\) होता है। \(\sec \theta\) और \(\cosec \theta\) सह-फलन हैं। / \(\sec\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cosec \theta\). \(\sec \theta\) and \(\cosec \theta\) are cofunctions.
\(\tan(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x\), अतः \(\tan x\) विषम फलन है। \(\cos x\) और \(\sec x\) सम फलन हैं, क्योंकि इनके लिए \(f(-x)=f(x)\) होता है। \(\cos^2 x\) भी सम है। परीक्षा टिप: विषम फलन की जाँच के लिए \(f(-x)=-f(x)\) लगाएँ। / \(\tan(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x\); therefore, \(\tan x\) is an odd function. \(\cos x\) and \(\sec x\) are even, and \(\cos^2 x\) is also even. Exam tip: test an odd function using \(f(-x)=-f(x)\).
मानक त्रिकोणमितीय मानों के अनुसार \(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\) होता है, इसलिए विकल्प B सही है। \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 30^\circ\) का मान है, \(\cos 60^\circ\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(30^\circ\), \(45^\circ\) और \(60^\circ\) के मानों की सारणी याद रखें। / From the standard trigonometric values, \(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\), so option B is correct. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) is the value of \(\cos 30^\circ\), not \(\cos 60^\circ\). Exam tip: Memorise the standard values for \(30^\circ\), \(45^\circ\), and \(60^\circ\).
\(\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}\) होता है। \(\tan 30^\circ\) और \(\tan 60^\circ\) को अलग-अलग याद करें। / \(\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Remember \(\tan 30^\circ\) and \(\tan 60^\circ\) separately.
\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) होता है। यह तब अपरिभाषित होता है जब हर \(\cos\theta=0\) हो। \(\cos\theta=0\) के लिए \(\theta=\frac{\pi}{2}+n\pi\), जहाँ \(n\) पूर्णांक है; इसलिए विकल्प B सही है। \(n\pi\) पर \(\tan\theta=0\) होता है, जबकि \(\frac{\pi}{4}+n\pi\) और \(\frac{\pi}{3}+n\pi\) पर यह परिभाषित रहता है। परीक्षा टिप: \(\tan\theta\) में हर \(\cos\theta\) है, इसलिए पहले \(\cos\theta=0\) जाँचें। / \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\). It is undefined when its denominator, \(\cos\theta\), is zero. Since \(\cos\theta=0\) at \(\theta=\frac{\pi}{2}+n\pi\), where \(n\) is an integer, option B is correct. At \(n\pi\), \(\tan\theta=0\), and it is defined at \(\frac{\pi}{4}+n\pi\) and \(\frac{\pi}{3}+n\pi\). Exam tip: for tangent, first check where \(\cos\theta=0\).
मानक त्रिकोणमितीय मानों के अनुसार \(\cos 90^\circ=0\) होता है। इकाई वृत्त पर \(90^\circ\) के बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है, और वही कोज्या का मान है। \(1\), \(\cos 0^\circ\) का मान है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) के मानक त्रिकोणमितीय मान याद रखें। / From the standard trigonometric values, \(\cos 90^\circ=0\). On the unit circle, the x-coordinate of the point at \(90^\circ\) is 0, and this coordinate represents cosine. The value 1 is \(\cos 0^\circ\), so it is not correct here. Exam tip: Memorise the standard trigonometric values at \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\), and \(90^\circ\).
\(\tan 0^\circ=0\) होता है। \(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) से भी इसे जाँचा जा सकता है। / \(\tan 0^\circ=0\). It can also be checked using \(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\).
\(\sec 0^\circ=\frac{1}{\cos 0^\circ}=1\) होता है। व्युत्क्रम मान निकालते समय मूल फलन का मान पहले लिखें। / \(\sec 0^\circ=\frac{1}{\cos 0^\circ}=1\). While finding reciprocal values, first write the value of the basic function.
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) से \(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta\) मिलता है। परीक्षा में मूल सर्वसमिका को पहले लिखें। / From \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\), we get \(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta\). In exams, write the basic identity first.
\(\sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\) होता है। \(\tan \theta\) वाले प्रश्नों में \(\sec^2 \theta\) पहचानना उपयोगी है। / \(\sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\). In questions involving \(\tan \theta\), recognizing \(\sec^2 \theta\) is useful.
