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वेन आरेख में पूरा आयत (U) को दर्शाता है। परीक्षा में बाकी सभी समुच्चय इसी (U) के अंदर माने जाते हैं। / In a Venn diagram, the whole rectangle represents (U). In exams, all other sets are considered inside this (U).
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (18+20-6=32) मिलता है। साझा भाग को दो बार गिनने से बचने के लिए एक बार घटाएं। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (18+20-6=32). Subtract the common part once to avoid double counting.
दो वृत्तों का साझा (सामान्य) भाग उनकी प्रतिच्छेद सेट होता है, जिसे \(A \cap B\) से दर्शाया जाता है। यह केवल उन तत्त्वों का समूह है जो दोनों सेटों में एक साथ आते हैं। विकल्प \(A \cup B\) (यूनियन) पूरे दोनों सेटों का सम्मिलित भाग है, इसलिए यह अधिक व्यापक है और साझा भाग नहीं दर्शाता। \(A \setminus B\) वह भाग है जो केवल A में है और B में नहीं; \(A^{\prime}\) A का पूरक है (A के बाहर का क्षेत्र)। परीक्षा टिप: वेन आरेख में ओवरलैप (दोनों वृत्तों का काटने वाला क्षेत्र) ही प्रतिच्छेद को दिखाता है—इसे \(\cap\) के रूप में पहचानें। / The common part of two circles is the intersection, denoted \(A \cap B\), containing elements present in both sets simultaneously. \(A \cup B\) is the union (all elements in either set), so it is larger than the common overlap. \(A \setminus B\) is the part of A excluding B, not the shared region, and \(A^{\prime}\) is the complement of A (elements outside A). Exam tip: on a Venn diagram, the overlapping (intersecting) region corresponds to \(\cap\).
न (A) न (B) वाला क्षेत्र (\(A\cup B\)') है, इसलिए संख्या (45-29=16) होगी। यह दोनों वृत्तों के बाहर लेकिन (U) के अंदर का भाग है। / The region neither in (A) nor in (B) is (\(A\cup B\)'), so the number is (45-29=16). It is outside both circles but inside (U).
\(A\cup B\) में (A) और (B) के सभी क्षेत्र आते हैं। परीक्षा में संघ के लिए दोनों वृत्तों का पूरा भाग लें। / \(A\cup B\) includes all regions of (A) and (B). In exams, take the complete area of both circles for union.
केवल (A) का अर्थ (A-B) है, इसलिए (B) के (4,5) हटाने पर ({1,2,3}) बचता है। वेन आरेख में केवल वाला भाग साझा क्षेत्र के बाहर होता है। / Only (A) means (A-B), so after removing (4,5) of (B), ({1,2,3}) remains. In a Venn diagram, the only region is outside the common part.
B. (A) के बाहर लेकिन (U) के अंदर का भाग/Part outside (A) but inside (U)
Explanation
Simple Explanation
(A') में (U) के वे अवयव आते हैं जो (A) में नहीं हैं। पूरक हमेशा (U) के सापेक्ष लिया जाता है। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). Complement is always taken with respect to (U).
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (12+9-4=17) मिलता है। साझा भाग को एक बार घटाना जरूरी है। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (12+9-4=17). The common part must be subtracted once.
असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा अवयव नहीं होता, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\)। वेन आरेख में इनके वृत्त अलग-अलग दिखते हैं। / Disjoint sets have no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). In a Venn diagram, their circles appear separate.
\(A\subseteq B\) का अर्थ है कि (A) का हर अवयव (B) में है। इसलिए (A) का वृत्त (B) के अंदर बनेगा। / \(A\subseteq B\) means every element of (A) is in (B). So the circle of (A) is drawn inside (B).
केवल (A) में वे अवयव होते हैं जो (A) में हैं पर (B) में नहीं हैं, इसलिए क्षेत्र (A-B) है। इसे \(A\cap B'\) भी लिख सकते हैं। / Only (A) contains elements that are in (A) but not in (B), so the region is (A-B). It can also be written as \(A\cap B'\).
(A) में केवल (A) और साझा भाग दोनों आते हैं, इसलिए (n(A)=7+3=10)। वृत्त (A) के सभी हिस्से जोड़ें। / Set (A) includes only (A) and the common part, so (n(A)=7+3=10). Add all parts of circle (A).
(B) में केवल (B) और साझा भाग आते हैं, इसलिए (n(B)=8+4=12)। वेन आरेख में पूरे (B) वृत्त को गिनें। / Set (B) includes only (B) and the common part, so (n(B)=8+4=12). Count the whole (B) circle in the Venn diagram.
संघ में तीनों क्षेत्र आते हैं, इसलिए (6+5+4=15)। वेन आरेख में ओवरलैप को दो बार न जोड़ें। / The union includes all three regions, so (6+5+4=15). In a Venn diagram, do not add the overlap twice.
न तो (A) न (B) में संख्या (n(U)-n\(A\cup B\)=40-26=14) है। यह आयत में दोनों वृत्तों के बाहर का भाग है। / The number in neither (A) nor (B) is (n(U)-n\(A\cup B\)=40-26=14). It is the part outside both circles inside the rectangle.
\((A'\cap B')\) का अर्थ है तत्व जो न तो A में हैं और न ही B में हैं — यानी दोनों सेटों के बाहर का भाग। डी मोर्गन के नियम से यह \((A\cup B)'\) के बराबर है। निकटतम ग़लत विकल्प \((A\cap B)\) उस क्षेत्र को दर्शाता है जहाँ तत्व दोनों A और B में मौजूद होते हैं, जो बिल्कुल विपरीत है। परीक्षा टिप: आरेख पर दोनों वृत्तों के बाहर का भाग शेड करके दिखाएँ — इससे गलती की संभावना कम होती है। / \((A'\cap B')\) denotes elements that are not in A and not in B, i.e. the region outside both circles. By De Morgan's law it equals \((A\cup B)'.\) The closest distractor, \((A\cap B)\), represents elements common to A and B (inside both circles), which is the opposite region. Exam tip: shade the outside area of both circles on the Venn diagram to identify this region quickly.
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (A'\cup B'=\(A\cap B\)') होता है। पूरक वाले प्रश्नों में यह नियम उपयोगी है। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). This rule is useful in complement questions.
संघ की संख्या (13+17-5=25) है। साझा भाग को दो बार गिनने से बचने के लिए एक बार घटाएं। / The number in the union is (13+17-5=25). Subtract the common part once to avoid double counting.
(\(A\cup B\)') में (U) के वे अवयव हैं जो \(A\cup B\) में नहीं हैं, इसलिए (60-45=15)। यह दोनों वृत्तों के बाहर का क्षेत्र है। / (\(A\cup B\)') contains elements of (U) not in \(A\cup B\), so (60-45=15). It is the region outside both circles.
(\(A\cap B\)') में साझा भाग को छोड़कर (U) के सभी अवयव आते हैं, इसलिए (32-9=23)। पूरक के लिए (U) से घटाएं। / (\(A\cap B\)') contains all elements of (U) except the common part, so (32-9=23). For complement, subtract from (U).
कम से कम एक पसंद करने वाले (22+18-7=33) हैं। इसलिए कोई भी नहीं पसंद करने वाले (40-33=7) हैं। / People who like at least one are (22+18-7=33). Therefore, people who like neither are (40-33=7).
केवल नृत्य पसंद करने वाले (13-4=9) हैं। वेन आरेख में नृत्य वृत्त का साझा भाग हटाएं। / Those who like only dance are (13-4=9). In the Venn diagram, remove the common part from the dance circle.
दोनों समुच्चयों में (3) और (4) समान हैं, इसलिए \(A\cap B={3,4}\)। प्रतिच्छेद में केवल साझा अवयव आते हैं। / The common elements of both sets are (3) and (4), so \(A\cap B={3,4}\). Intersection contains only common elements.
(A-B) में (A) के वे अवयव हैं जो (B) में नहीं हैं, इसलिए केवल (6) बचेगा। अंतर में क्रम का ध्यान रखें। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B), so only (6) remains. Be careful about order in difference.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं, इसलिए \(A\cup B={a,b,c,d,e}\)। दोहराए अवयव एक बार लिखें। / Union contains all distinct elements of both sets, so \(A\cup B={a,b,c,d,e}\). Write repeated elements only once.
(A') में (U) के वे अवयव होंगे जो (A) में नहीं हैं, यानी ({1,3,4})। पूरक निकालते समय (U) जरूर देखें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A), namely ({1,3,4}). Always check (U) while finding complement.
\(A\cap B\cap C\) में तीनों समुच्चयों के साझा अवयव होते हैं। वेन आरेख में यह बीच का सामान्य क्षेत्र होता है। / \(A\cap B\cap C\) contains elements common to all three sets. In a Venn diagram, it is the central common region.
C. तीनों वृत्तों के साझा भाग में/In the common part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) तीनों वृत्तों का साझा भाग है, इसलिए (4) बीच में लिखा जाएगा। तीन समुच्चयों में सबसे पहले बीच का भाग भरना अच्छा रहता है। / \(A\cap B\cap C\) is the common part of all three circles, so (4) is written in the center. For three sets, it is good to fill the central part first.
तीन समुच्चयों का सूत्र देने पर (10+8+6-3-2-1+0=18) मिलता है। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद घटाएं और तीनों का साझा भाग जोड़ें। / Using the three-set formula gives (10+8+6-3-2-1+0=18). Subtract pairwise intersections and add the common part of all three.
केवल (A=9-2=7) और केवल (B=7-2=5), इसलिए कुल (12) है। साझा भाग अलग करने के बाद ही जोड़ें। / Only (A=9-2=7) and only (B=7-2=5), so the total is (12). Add only after separating the common part.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (n\(A\cup B\)=6+11=17)। अलग-अलग वृत्तों को सीधे जोड़ें। / For disjoint sets, the common part is (0), so (n\(A\cup B\)=6+11=17). Add separate circles directly.
जब \(A\subseteq B\), तब \(A\cup B=B\), इसलिए संख्या (12) है। वेन आरेख में छोटा वृत्त बड़े के अंदर होता है। / When \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\), so the number is (12). In the Venn diagram, the smaller circle is inside the bigger one.
जब \(A\subseteq B\), तब \(A\cap B=A\), इसलिए संख्या (4) है। अंदर वाला पूरा समुच्चय साझा भाग बनता है। / When \(A\subseteq B\), \(A\cap B=A\), so the number is (4). The entire inner set becomes the common part.
(A-B) का अर्थ (A) में होना और (B) में न होना है, इसलिए \(A\cap B'\) है। यह केवल (A) क्षेत्र है। / (A-B) means being in (A) and not in (B), so it is \(A\cap B'\). This is the only (A) region.
(B-A) का अर्थ (B) में होना और (A) में न होना है, इसलिए \(A'\cap B\) है। इसे केवल (B) क्षेत्र भी कहते हैं। / (B-A) means being in (B) and not in (A), so it is \(A'\cap B\). It is also called the only (B) region.
A. \(A\cap B\) में केवल साझा अवयव होते हैं/\(A\cap B\) contains only common elements
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\) दोनों समुच्चयों का साझा भाग है। प्रतिच्छेद को पहचानना वेन आरेख का मूल कौशल है। / \(A\cap B\) is the common part of both sets. Identifying intersection is a basic Venn diagram skill.
(U) में वेन आरेख के सभी क्षेत्र आते हैं, इसलिए (9+4+6+5=24)। पूरे आयत की संख्या सभी क्षेत्रों का योग है। / (U) includes all regions of the Venn diagram, so (9+4+6+5=24). The number in the whole rectangle is the sum of all regions.
साझा भाग (70-12-18-20=20) होगा। वेन आरेख में अज्ञात क्षेत्र पाने के लिए कुल से ज्ञात क्षेत्र घटाएं। / The common part is (70-12-18-20=20). To get an unknown region in a Venn diagram, subtract known regions from the total.
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं, इसलिए साझा भाग (36-14-11=11) है। संघ के तीन क्षेत्रों को याद रखें। / The union contains only (A), the common part, and only (B), so the common part is (36-14-11=11). Remember the three regions of a union.
पूरा आयत सार्वत्रिक समुच्चय (U) को दिखाता है। वेन आरेख में सभी वृत्त (U) के अंदर बनते हैं। / The whole rectangle shows the universal set (U). In a Venn diagram, all circles are drawn inside (U).
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (26+18-8=36) मिलता है। साझा भाग को एक बार घटाना जरूरी है। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (26+18-8=36). The common part must be subtracted once.
साझा भाग \(A\cap B\) कहलाता है। प्रतिच्छेद में वही अवयव आते हैं जो दोनों समुच्चयों में हों। / The common region is called \(A\cap B\). Intersection contains elements that are in both sets.
न (A) न (B) वाला क्षेत्र (\(A\cup B\)') है, इसलिए संख्या (58-41=17) होगी। यह दोनों वृत्तों के बाहर लेकिन (U) के अंदर का भाग है। / The region neither in (A) nor in (B) is (\(A\cup B\)'), so the number is (58-41=17). It is outside both circles but inside (U).
दोनों वृत्तों के बाहर का भाग (\(A\cup B\)') होता है। इसे न (A) न (B) वाला क्षेत्र भी कहते हैं। / The region outside both circles is (\(A\cup B\)'). It is also called the neither (A) nor (B) region.
\(A\subseteq B\) का अर्थ है कि (A) का हर अवयव (B) में है। इसलिए (A) का वृत्त (B) के अंदर होगा। / \(A\subseteq B\) means every element of (A) is in (B). So the circle of (A) will lie inside (B).
कोई साझा अवयव न होने पर \(A\cap B=\varnothing\) होता है। इसलिए उनके वृत्त अलग-अलग बनते हैं। / When there is no common element, \(A\cap B=\varnothing\). Therefore, their circles are drawn separately.
संघ में तीनों क्षेत्र आते हैं, इसलिए (12+5+8=25)। वेन आरेख में हर अलग क्षेत्र को एक बार जोड़ें। / The union contains all three regions, so (12+5+8=25). Add each separate region once in a Venn diagram.
न (A) न (B) की संख्या (52-37=15) है। यह (U) के अंदर दोनों वृत्तों के बाहर का भाग है। / The number in neither (A) nor (B) is (52-37=15). It is the part inside (U) but outside both circles.
A. केवल \(A\) (\(A\) में और \(B\) में नहीं)/Only \(A\) (in \(A\) and not in \(B\))
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B'\) का अर्थ है "\(A\) में होना और \(B\) में न होना"। वेन आरेख में यह वह हिस्सा है जो \(A\) पर आता है लेकिन \(A\) और \(B\) के ओवरलैप (छेद) को छोड़कर। विकल्प C (दोनों \(A\) और \(B\)) गलत है क्योंकि वह केवल ओवरलैप क्षेत्र \(A\cap B\) को दर्शाता है, जबकि \(A\cap B'\) ओवरलैप को बाहर करता है। परीक्षा टिप: पहले \(A\) को शेड करें, फिर \(B\) के साथ ओवरलैप हटाकर बची हुई हिस्सा ही \(A\cap B'\) है। / \(A\cap B'\) means elements that are in \(A\) and not in \(B\). On a Venn diagram it is the part of \(A\) excluding the overlap with \(B\). Option C (both \(A\) and \(B\)) is wrong because it denotes the intersection \(A\cap B\), i.e. the overlap, whereas \(A\cap B'\) explicitly excludes that overlap. Exam tip: shade \(A\) then erase the region inside \(B\); the remainder is \(A\cap B'\).
डी मॉर्गन नियम से (\(A\cup B\)'=A'\cap B')। दोनों के बाहर वाले क्षेत्र को समझने में यह नियम मदद करता है। / By De Morgan's law, (\(A\cup B\)'=A'\cap B'). This rule helps in understanding the outside-both region.
डी मॉर्गन नियम से (\(A\cap B\)'=A'\cup B')। साझा भाग को छोड़कर बाकी क्षेत्र इस पूरक में आते हैं। / By De Morgan's law, (\(A\cap B\)'=A'\cup B'). All regions except the common part are included in this complement.
यदि \(n(U)=80\), दोनों सेटों के बाहर के तत्व 15 हैं (यानी A या B में नहीं), केवल A में 25 तत्व और केवल B में 18 तत्व हैं, तो \(n(A\cap B)\) कितने होंगे?
सार्वभौमिक सेट \(U\) के तत्व चार भागों में बंटते हैं: दोनों के बाहर, केवल A, केवल B, और A∩B। यदि \(x=n(A\cap B)\) मान लें, तो कुल योग होगा \(80=15+25+18+x\)। इससे \(x=80-15-25-18=22\)। विकल्प 37 गलत है क्योंकि वह किसी भाग को गलत तरीके से जोड़ने या घटाने से आता है—उदाहरण के लिए यदि किसी ने ओवरलैप के बजाय पूरी तरह के किसी क्षेत्र को दोगुना ग़लत रूप से जोड़ा हो। परीक्षा संकेत: एक दो-वृत्त वाला वेन आरेख बनाएं, चार क्षेत्रों को लेबल करें और उनके योग को \(n(U)\) के बराबर रखें। / The universal set \(U\) is partitioned into four regions: outside both sets, only A, only B, and A∩B. Let \(x=n(A\cap B)\). Then the total is \(80=15+25+18+x\), so \(x=80-15-25-18=22\). Option 37 is incorrect because it results from an incorrect combination or miscounting of these regions (for example, treating an exclusive region as including the overlap). Exam tip: draw a two-circle Venn diagram, label the four regions, then set their sum equal to \(n(U)\) to solve for the unknown region.
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं। इसलिए साझा भाग (44-16-19=9) है। / The union contains only (A), the common part, and only (B). Therefore, the common part is (44-16-19=9).
केंद्रित सिद्धांत: केवल चाय पीने वाले = कुल चाय पीने वाले − दोनों पीने वाले। इसलिए केवल चाय = \(17-6=11\)। विकल्प 15 गलत है क्योंकि वह दूध पीने वालों की कुल संख्या है, और 6 केवल दोनों पीने वालों की संख्या है। परीक्षा-सुझाव: त्वरित गणना के लिए छोटे वेंस आरेख या समीकरण \(n(A\text{ only})=n(A)-n(A\cap B)\) लिख लें। / Core idea: only-tea = total tea − both. Thus only tea = \(17-6=11\). Option 15 is incorrect because it denotes total milk drinkers, not only tea drinkers; 6 is the overlap. Exam tip: draw a two-circle Venn diagram or use the formula \(n(A\text{ only})=n(A)-n(A\cap B)\) to avoid mistakes.
एक खेल शिविर में कुल 55 विद्यार्थी हैं। उनमें से 30 विद्यार्थी दौड़ में भाग लेते हैं, 22 विद्यार्थी तैराकी में हैं, और 8 विद्यार्थी दोनों ही गतिविधियों में भाग लेते हैं। केवल तैराकी करने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
केवल तैराकी करने वाले विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात करने के लिए तैराकी में कुल विद्यार्थियों से दोनों गतिविधियों में भाग लेने वालों (सामान्य भाग) को घटाएँ: 22−8 = 14। विकल्प A (8) केवल समागम (दोनों) है, जो केवल‑तैराकी नहीं हो सकता। विकल्प C (22) में दोनों गतिविधियों वाले भी शामिल हैं; विकल्प D (44) तार्किक रूप से गलत है (यह किसी भी उपयुक्त वर्गीकरण से मेल नहीं खाता)। परीक्षा‑टिप: दो वृत वाले वेन् आरेख बनाकर सीधे प्रत्येक क्षेत्र पर लेबल लगा लें। / To find students only in swimming subtract the intersection (students in both) from the total swimming students: 22−8 = 14. Option A (8) is just the intersection, not 'only swimming'. Option C (22) includes those who are in both activities. Option D (44) is not consistent with any correct counting in this scenario. Exam tip: draw a two‑circle Venn diagram and label the three regions (only A, only B, both) to avoid errors.
बीच का सामान्य क्षेत्र तीनों में साझा होता है, इसलिए \(A\cap B\cap C\) है। तीन समुच्चयों में सबसे पहले केंद्र को पहचानें। / The central common region is shared by all three, so it is \(A\cap B\cap C\). In three-set diagrams, identify the center first.
तीन समुच्चयों के सूत्र से (8+7+6-2-1-3+1=16)। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद घटाकर तीनों का साझा भाग जोड़ें। / By the three-set formula, (8+7+6-2-1-3+1=16). Subtract pairwise intersections and add the common part of all three.
“केवल A” का अर्थ है A में वे तत्व जो B में नहीं हैं, अतः केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)=11-4=7\)। इसी तरह केवल B = \(n(B)-n(A\cap B)=9-4=5\)। इसलिए केवल A और केवल B का कुल = \(7+5=12\)। सबसे नज़दीकी विचलन 16 है, जो कि \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=11+9-4=16\) है — यह मात्रा समुच्चय के ऐसे सभी तत्वों को गिनती है जिसमें समापवर्तक (intersection) भी शामिल है, जबकि प्रश्न केवल अलग-अलग (exclusive) क्षेत्रों का योग पूछ रहा है। परीक्षा टिप: एक सरल वैन्न आरेख बनाकर A, B और उनका परस्पर मिलने वाला भाग अलग-अलग लिखें; फिर सीधे एक्सक्लूसिव क्षेत्रों को जोड़ें। / “Only A” means elements in A but not in B, so only A = \(n(A)-n(A\cap B)=11-4=7\). Similarly only B = \(n(B)-n(A\cap B)=9-4=5\). Therefore total only A + only B = \(7+5=12\). The closest distractor 16 equals \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=11+9-4=16\), which counts the intersection as well; the question asks for exclusive regions only. Exam tip: draw a Venn diagram, label the three regions (only A, only B, intersection) and compute the exclusive region sizes directly.
यदि \(n(A\cap B)=0\) है तो इसका अर्थ है कि \(A\) और \(B\) के कोई साझा अवयव नहीं हैं — उनकी परस्पर छेड़छाड़ शून्य है। इसलिए वेन आरेख में ये दो अलग-अलग (अल्गाव) वृत्त होंगे जिनका कोई पारस्परिक भाग नहीं होगा, अर्थात् असंबद्ध सेट।\nक्यों अन्य विकल्प गलत हैं: "समान" तभी हो सकता है जब दोनों सेटों के सभी अवयव एक जैसे हों — पर यहाँ \(n(A)\neq n(B)\) है। "उपसमुच्चय" होने पर छोटा सेट बड़े में पूरी तरह शामिल होता और उनके साझा अवयव ग़ैर-शून्य होते (कम से कम जितना छोटा सेट का आकार)। "पूरक" किसी सार्वभौमिक सेट के सापेक्ष परिभाषित होता है और इसे इस जानकारी से नहीं निकाला जा सकता।\nपरीक्षा टिप: पहले तुरंत \(n(A\cap B)\) देखें — यदि यह 0 है तो सेट असंबद्ध हैं। / Because \(n(A\cap B)=0\) there are no common elements between \(A\) and \(B\); their intersection is empty. In a Venn diagram they appear as two non-overlapping circles, so they are disjoint.\nWhy other choices are wrong: "Equal" would require the same elements (and here \(n(A)\neq n(B)\)). "Subset" would imply all elements of one lie inside the other so the intersection would equal the smaller set (non-zero here). "Complement" is defined with respect to a universal set and cannot be concluded from the given counts.\nExam tip: Check the intersection first—if \(n(A\cap B)=0\), answer "disjoint" immediately.
A. वे अवयव जो A में हैं, पर B में नहीं/Elements that are in A but not in B
Explanation
Simple Explanation
\(A-B\) में A के केवल वे अवयव आते हैं जो B में शामिल नहीं होते। वेन आरेख में यह A वृत्त का B से बाहर वाला भाग है। \(A\cap B\) दोनों का साझा भाग होता है। परीक्षा टिप: “minus” को “में है, पर दूसरे में नहीं” पढ़ें। / \(A-B\) contains elements belonging to A but excluded from B. In a Venn diagram, it is the part of circle A outside circle B. \(A\cap B\) instead denotes the common overlap. Exam tip: read set difference as “in the first set, not in the second.”
(\(A\cap B\)') में साझा भाग को छोड़कर (U) के बाकी अवयव आते हैं। इसलिए संख्या (90-25=65) है। / (\(A\cap B\)') contains all elements of (U) except the common part. Therefore, the number is (90-25=65).
(A') में (U) के वे अवयव होते हैं जो (A) में नहीं होते। पूरक निकालते समय हमेशा (U) को आधार मानें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). Always take (U) as the base while finding complement.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (36+28-12=52) मिलता है। साझा भाग को एक बार घटाएं। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (36+28-12=52). Subtract the common part once.
\(A\cup B\) में दोनों वृत्तों का पूरा भाग आता है। जो भाग छूटता है वह दोनों से बाहर यानी (\(A\cup B\)') है। / \(A\cup B\) includes the whole of both circles. The part left is outside both, that is (\(A\cup B\)').
बीच का साझा भाग \(A\cap B\) कहलाता है। प्रतिच्छेद में केवल दोनों में आने वाले अवयव होते हैं। / The middle common part is called \(A\cap B\). Intersection contains only elements common to both sets.
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं। इसलिए साझा भाग (81-29-34=18) है। / The union contains only (A), the common part, and only (B). Therefore the common part is (81-29-34=18).
न (A) न (B) की संख्या (85-56=29) है। यह दोनों वृत्तों के बाहर लेकिन (U) के अंदर का क्षेत्र है। / The number in neither (A) nor (B) is (85-56=29). It is outside both circles but inside (U).
संघ में तीनों क्षेत्र आते हैं, इसलिए (18+7+14=39)। वेन आरेख में हर क्षेत्र को एक बार जोड़ें। / The union includes all three regions, so (18+7+14=39). In a Venn diagram, add each region once.
यदि \(n(U)=94\), केवल \(A\) में 26 सदस्य, \(A\cap B\) में 15 सदस्य, और केवल \(B\) में 31 सदस्य हों, तो यूनिवर्स के बाहर (A और B के बाहर) कितने सदस्य हैं?
A और B के भीतर ज्ञात सदस्य हैं: केवल A (26) + A∩B (15) + केवल B (31) = 26+15+31 = 72. कुल यूनिवर्स में 94 सदस्य हैं, अतः बाहर के सदस्य = 94−72 = 22. यहाँ निकटतम विकर्षक 72 है, जो A∪B का योग है (यूनिवर्स से घटाने से पहले के अंदर के सदस्य), इसलिए वह बाहर की संख्या नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: पहले अनुकूलित क्षेत्रों का कुल जोड़ निकालें और उसे \(n(U)\) से घटाएँ। / Elements inside A or B are: only A (26) + A∩B (15) + only B (31) = 26+15+31 = 72. Since the universal set has 94 elements, the outside (neither A nor B) = 94−72 = 22. The closest distractor 72 is just the count of A∪B, not the outside region. Exam tip: sum all disjoint regions inside the Venn diagram first, then subtract from \(n(U)\).
दो-वृत्त Venn आरेख में कुल तत्व 4 क्षेत्रों का योग होते हैं: केवल A, केवल B, A∩B (साझा भाग) और दोनों के बाहर (neither)। इसलिए साझे भाग की संख्या निकालने के लिए ज्ञात क्षेत्रों को कुल से घटाएँ: \(n(A\cap B)=76-(18+20+23)=76-61=15\)। विकल्प B (43) केवल "केवल A" और "केवल B" का योग है (20+23) और इसमें साझा भाग व बाहरी भाग शामिल नहीं है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: दो-वृत्त प्रश्नों में तुरंत एक छोटा Venn आरेख बनाइए और चारों क्षेत्रों का योग कुल के बराबर होता है। / In a two-set Venn diagram the universal set splits into four regions: only A, only B, A∩B (the intersection), and neither. So compute the intersection by subtracting the known three regions from the total: \(n(A\cap B)=76-(18+20+23)=76-61=15\). Option B (43) is just 20+23 (only A plus only B) and omits the intersection and the outside region, so it is incorrect. Exam tip: draw the Venn diagram and equate the sum of the four regions to the total to avoid sign/errors.
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं। इसलिए साझा भाग (63-24-27=12) है। / The union contains only (A), the common part, and only (B). Therefore, the common part is (63-24-27=12).
कम से कम एक विषय पढ़ने वाले (34+27-11=50) हैं। दोनों पढ़ने वालों को दो बार नहीं गिनना चाहिए। / Those who study at least one subject are (34+27-11=50). Students studying both should not be counted twice.
केवल आम पसंद करने वाले (32-9=23) हैं। कुल आम पसंद करने वालों से दोनों पसंद करने वालों को घटाएं। / Those who like only mango are (32-9=23). Subtract those who like both from total mango lovers.
एक परीक्षा में (100) विद्यार्थियों में (62) ने गणित पास किया, (49) ने विज्ञान पास किया, और (35) ने दोनों पास किए। केवल विज्ञान पास करने वाले कितने हैं?
केवल विज्ञान पास करने वाले (49-35=14) हैं। विषय के कुल से दोनों पास करने वालों को घटाएं। / Those who passed only Science are (49-35=14). Subtract those who passed both from the total of that subject.
कम से कम एक जगह जाने वाले (70+52-30=92) हैं। वेन आरेख में साझा भाग को एक बार घटाते हैं। / Those who visited at least one place are (70+52-30=92). In a Venn diagram, subtract the common part once.
\(A\cup B=A\) का अर्थ है (B) के सभी अवयव (A) में पहले से हैं। इसलिए \(B\subseteq A\) सही है। / \(A\cup B=A\) means all elements of (B) are already in (A). Therefore, \(B\subseteq A\) is correct.
C. तीनों वृत्तों के साझा भाग में/In the common part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) तीनों समुच्चयों का साझा भाग है। तीन वृत्तों में यह बीच का सामान्य क्षेत्र होता है। / \(A\cap B\cap C\) is the common part of all three sets. In three circles, it is the central common region.
तीन समुच्चयों के सूत्र से (12+14+10-5-3-4+2=26)। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाकर तीनों का साझा भाग जोड़ें। / By the three-set formula, (12+14+10-5-3-4+2=26). Subtract pairwise intersections and add the common part of all three.
सूत्र से (16+18+9-6-2-3+1=33) मिलता है। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग जोड़ना न भूलें। / The formula gives (16+18+9-6-2-3+1=33). In three sets, do not forget to add the final common part.
\(A\cap B\) के सभी अवयव A में अवश्य होते हैं क्योंकि प्रत्येक तत्व जो दोनों समुच्चयों में है, वह A का भी तत्व होगा। इसलिए \(A\cap B\)\subseteq A हमेशा सत्य है। विकल्प B सामान्यतः गलत है क्योंकि A\cup B सामान्यतः A\cap B के बराबर या उससे बड़ा होता है, न कि छोटा; इसलिए union को intersection का उपसमुच्चय मानना गलत है। विकल्प C तभी सत्य होगा जब विशेष स्थितियाँ हों (जैसे A=B या दोनों रिक्त), पर सामान्यतः A−B और B−A अलग होते हैं। विकल्प D भी सामान्यतः गलत है क्योंकि A=A' तभी संभव है जब यूनिवर्सल सेट विशेष हो (बहुत असामान्य केस)। परीक्षा टिप: वेन आरेख में intersection वाले क्षेत्र को हमेशा दोनों समुच्चयों का उपसमुच्चय समझें — यह तुरंत लिख दें। / Every element of \(A\cap B\) belongs to A because intersection contains only those elements common to both sets; hence \(A\cap B\)\subseteq A is always true. Option B is generally false because A\cup B is typically equal to or larger than A\cap B, not a subset of it. Option C is not generally true — A−B and B−A are usually different unless special conditions (e.g. A=B) hold. Option D is also not generally true since A=A' (complement) occurs only in exceptional cases depending on the universal set. Exam tip: In Venn-diagram questions remember that the intersection region is always a subset of each original set — use subset/superset relations first to eliminate wrong choices.
