Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
छोटा सिद्धांत: किसी दो समूहों का परस्पर छेदक (intersection) वे तत्व होते हैं जो दोनों समूहों में एक साथ मौजूद हों। यहाँ \(A\) और \(B\) में सामान्य तत्व केवल \(3\) और \(5\) हैं, इसलिए \(A\cap B=\{3,5\}\)। विकल्प B (\(\{2,7,11\}\)) में केवल उन तत्वों का उल्लेख है जो केवल \(A\) में हैं (यानी \(A\setminus B\)) — इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: इंटरसेक्शन खोजने के लिए दोनों सेटों को पारस्परिक रूप से देखें और केवल वही तत्व लिखें जो दोनों में मौजूद हों। / Core idea: the intersection of two sets consists of elements present in both sets. Here the common elements of \(A\) and \(B\) are 3 and 5, so \(A\cap B=\{3,5\}\). Option B (\(\{2,7,11\}\)) lists elements that are only in \(A\) (i.e. \(A\setminus B\)), so it is incorrect. Exam tip: scan each element of one set and check if it also appears in the other; list only those that appear in both.
“केवल A” का अर्थ है A B यानी A में मौजूद वे तत्व जो B में नहीं हैं। A = {4,6,8,10} और B = {6,10,12} में सामान्य तत्व 6 और 10 हैं, इन्हें हटा देने पर केवल A में {4,8} बचता है। विकल्प B ({6,10}) A ∩ B (संयुक्त तत्व) है और इसलिए गलत है; विकल्प C केवल B का खास तत्व है; विकल्प D पूरी समेकित संख्या集合 है और प्रश्न से मेल नहीं खाती। परीक्षा-टिप: ऐसे प्रश्नों में शीघ्रता से A - B निकालें या एक छोटा वेन्न आरेख बनाएं। / “Only A” means A \ B, the elements that are in A but not in B. With A = {4,6,8,10} and B = {6,10,12}, the common elements 6 and 10 are removed, leaving {4,8} as A \ B. Option B ({6,10}) is the intersection A ∩ B and therefore incorrect; option C ({12}) is an element only of B; option D is the union of the sets and not asked for. Exam tip: compute A - B directly or sketch a small Venn diagram to avoid sign errors.
"केवल B" का अर्थ है B में होने वाले पर A में न होने वाले तत्व — यानी हम निकालते हैं \(B - A\)। B में {q,r,s,t} हैं और A में {p,q,r} हैं। सामान्य तत्व {q,r} हैं, इसलिए केवल B में बचे हुए तत्व {s,t} होंगे। विकल्प B ({q,r}) गलत है क्योंकि वे दोनों A और B दोनों में आते हैं; विकल्प A और D भी सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: केवल B खोजने के लिए Venn आरेख बनाकर मध्य भाग (A∩B) हटाएँ या सीधे \(B - A\) निकालें। / "Only B" means elements in B that are not in A, i.e. compute \(B - A\). B = {q,r,s,t} and A = {p,q,r}, so the common elements are {q,r} and the remaining elements in B are {s,t}. Thus {s,t} is correct. Option B ({q,r}) is incorrect because those elements lie in A∩B, not only in B; A and D are also incorrect. Exam tip: draw a two-set Venn diagram or compute \(B - A\) directly to avoid mistakes.
संघ (union) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग‑अलग सदस्य सम्मिलित होते हैं। यहाँ \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{3,4,5,6\}\) हैं; दोनों को मिलाने पर अलग‑अलग सदस्य \(\{1,2,3,4,5,6\}\) बनते हैं, इसलिए उत्तर D सही है। विकल्प A केवल साझा सदस्य \(\{3,4\}\) दिखाता है — यह वास्तव में \(A\cap B\) (intersection) है, न कि संघ। परीक्षा सुझाव: किसी भी संघ या सम्मिलन में तत्वों को लिखते समय एक ही तत्व को केवल एक बार ही लिखें। / The union of two sets contains all distinct elements from both sets. Here \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{3,4,5,6\}\); combining them gives the distinct elements \(\{1,2,3,4,5,6\}\), so option D is correct. Option A lists only the common elements \(\{3,4\}\), which is the intersection \(A\cap B\), not the union. Exam tip: when forming a union, list each element once and check for duplicates between sets.
एक सर्वे में 90 व्यक्तियों को शामिल किया गया। उनमें से 46 लोग रेडियो सुनते हैं, 38 लोग पॉडकास्ट सुनते हैं, और 16 लोग दोनों सुनते हैं। कितने लोग किसी भी तरह नहीं सुनते?
यह समस्या समावेशन-अपवर्जन (inclusion–exclusion) सिद्धांत पर आधारित है। कम से कम एक सुनने वालों की संख्या
\( |R\cup P|=|R|+|P|-|R\cap P|=46+38-16=68\) है। कुल 90 में से जो कम से कम एक सुनते हैं 68 हैं, इसलिए कोई भी नहीं सुनने वाले = \(90-68=22\)। निकटतम ग़लत विकल्प 68 है — वह वास्तव में "कम से कम एक" सुनने वालों की संख्या है, पर प्रश्न ने "किसी भी तरह नहीं" पूछ रखा है। परीक्षा सुझाव: प्रश्न जल्दी हल करने के लिए एक साधारण Venn आरेख बनाकर समावेशन-अपवर्जन सूत्र लिखें। / This uses the inclusion–exclusion principle. Number who listen to at least one is
\(|R\cup P|=|R|+|P|-|R\cap P|=46+38-16=68\). Out of 90 people, those who listen to neither = \(90-68=22\). The closest distractor 68 is the count for "at least one", not "neither", so it is incorrect for this question. Exam tip: draw a quick Venn diagram and apply the formula \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) to avoid double counting.
किसी क्लब में 74 सदस्य हैं। उनमें से 29 सदस्य गायन में हैं, 33 सदस्य चित्रकला में हैं और 12 सदस्य दोनों गतिविधियों में हैं। केवल चित्रकला में कितने सदस्य हैं?
केवल चित्रकला में वह सदस्य आते हैं जो कुल चित्रकला वाले (33) में से दोनों गतिविधियों वाले (12) नहीं हैं। इसलिए केवल चित्रकला = \(33-12=21\)। विकल्प C (33) गलत है क्योंकि इसमें दोनों का हिस्सा भी शामिल है; विकल्प A (12) केवल दोनों का साझा भाग है, और विकल्प D (50) किसी गलत जोड़-घट के परिणाम जैसा है। परीक्षा संकेत: वेंन-डायग्राम या inclusion–exclusion का सरल नियम याद रखें — किसी एक सेट के सिर्फ सदस्य = कुल सेट − सामान्य भाग। / Members only in painting are the painting total minus those in both: only painting = \(33-12=21\). Option C (33) is wrong because it still counts those in both; option A (12) gives only the intersection, not the painting-only count; option D (50) arises from an incorrect addition. Exam tip: use a Venn diagram or the inclusion–exclusion idea — subtract the overlap from the set total to get the 'only' members.
कोर विचार: यदि दो समुच्चय असंबंधित (disjoint) हैं यानी \(A\cap B=\varnothing\), तो उनका यूनियन का तत्वों की संख्या सीधे जोड़कर मिलती है: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\). यहाँ \(n(A\cup B)=24+37=61\), इसलिए सही उत्तर 61 है। निकटतम भ्रामक विकल्प 37 और 24 इसलिए गलत हैं क्योंकि वे केवल एक-एक समुच्चय के आकार हैं, यूनियन का कुल नहीं। विकल्प 13 भी गलत है (कोई उपयुक्त गणितीय सम्बन्ध नहीं देता)। परीक्षा संकेत: पहले हमेशा जाँच लें कि क्या \(A\cap B=\varnothing\) सत्य है — तभी आप सीधे जोड़ सकते हैं। / Core idea: For disjoint sets (\(A\cap B=\varnothing\)), the number of elements in the union is the sum of the sizes: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\). Thus \(n(A\cup B)=24+37=61\), so 61 is correct. The distractors 24 and 37 are sizes of individual sets, not the union; 13 is not supported by the given data. Exam tip: always verify disjointness (\(A\cap B=\varnothing\)) before applying the sum rule.
यदि \(A\subseteq B\) है तो हर तत्व जो A में है वह B में भी होगा, अतः \(A\cup B=B\) होगा। सामान्य सूत्र \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) से, क्योंकि \(A\cap B=A\) और \(n(A)=18\), प्राप्त होता है \(18+46-18=46\)। इसलिए सही उत्तर 46 है। विकल्प B (28) गलत है — यह वास्तव में \(n(B)-n(A)=46-18=28\), यानी सेट \(B\setminus A\) का पदार्थ है, न कि संघ का। परीक्षा-टिप: यदि बताया गया हो कि किसी सेट का subset है, तो उसके संघ की गणना करते समय संघ सीधे बड़े सेट के बराबर माना जा सकता है; अन्यथा हमेशा सूत्र का उपयोग करें। / If \(A\subseteq B\), every element of A is in B, so \(A\cup B=B\). Using the formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) and noting \(A\cap B=A\) with \(n(A)=18\), we get \(18+46-18=46\). Thus the correct answer is 46. Option B (28) is incorrect — 28 equals \(n(B)-n(A)=46-18\), which is the size of \(B\setminus A\), not the union. Exam tip: when one set is a subset of the other, the union equals the larger set; otherwise apply the inclusion–exclusion formula carefully.
यदि \(A\subseteq B\) है तो प्रत्येक तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी होगा, अतः \(A\cap B=A\) होगा। इसलिए \(n(A\cap B)=n(A)=15\)। विकल्प C (52) गलत है क्योंकि वह \(B\) का सभाग है, न कि समावेशी छेद। विकल्प B (37) संभव भ्रम है (52−15=37) पर वह अंतर का मान है न कि प्रतिच्छेद। विकल्प D (67) असंभव है क्योंकि किसी भाग का प्रभुता कुल समुच्चय \(B\) से अधिक नहीं हो सकती। परीक्षा-tip: यदि \(A\subseteq B\) हो तो हमेशा \(A\cap B=A\) और \(A\cup B=B\)। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is in \(B\), so \(A\cap B=A\). Therefore \(n(A\cap B)=n(A)=15\). Option C (52) is incorrect because it gives \(n(B)\), not the intersection. Option B (37) might come from subtracting (52−15) but that gives a difference, not the intersection. Option D (67) is impossible as a subset cannot have more elements than the superset. Exam tip: remember that if \(A\subseteq B\) then \(A\cap B=A\) and \(A\cup B=B\).
परिभाषा के अनुसार \(A- B=\{x\mid x\in A\;\text{और}\;x\notin B\\}=A\cap B^{c}\). यदि \(A=B\), तो \(A\cap B^{c}=A\cap A^{c}=\varnothing\)। इसलिए A − B शून्य संच (\(\varnothing\)) के बराबर होगा। सबसे निकट भ्रामक विकल्प A गलत है क्योंकि केवल तभी A−B=A होगा जब B शून्य संच हो; विकल्प B गलत है क्योंकि A−B सदैव A का उपसमुच्चय होता है न कि B; विकल्प D (U) गलत है क्योंकि अंतर व्यापक संच U तभी बन सकता है जब A=U और B=\(\varnothing\)। परीक्षा-टिप: अंतर के लिए पहचान लागू करें — \(A-B=A\cap B^{c}\)। / By definition \(A-B=\{x\mid x\in A\;\text{and}\;x\notin B\}=A\cap B^{c}\). If \(A=B\), then \(A\cap B^{c}=A\cap A^{c}=\varnothing\). Hence A−B equals the empty set \(\varnothing\). Closest distractor A is incorrect because A−B would equal A only if B were empty; B is incorrect because A−B is a subset of A, not generally equal to B; D (U) is wrong unless A=U and B=\(\varnothing\). Exam tip: Use the identity \(A-B=A\cap B^{c}\) or test with element membership to decide set differences quickly.
