Level 25 • 12/50 questions • 45 seconds per question.
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A. ({1,2})
शर्त (a+2=b) से ordered pairs ((1,3)) और ((2,4)) मिलते हैं। इसलिए प्रांत ({1,2}) है। / The condition (a+2=b) gives the ordered pairs ((1,3)) and ((2,4)). Therefore the domain is ({1,2}).
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If \(A=\{2,4,6\}\) and the relation is \(R=\{(2,4),(4,6),(6,2)\}\), what is the domain of (R)?
A. ({2,4,6})
प्रांत में सभी प्रथम घटक आते हैं, इसलिए ({2,4,6}) मिलेगा। परीक्षा में ordered pair का पहला स्थान देखें। / The domain contains all first components, so it is ({2,4,6}). In exams, look at the first place in each ordered pair.
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What is the range of the relation \(R=\{(1,3),(2,3),(3,5),(4,7)\}\)?
B. \(\{3,5,7\}\)
किसी संबंध का परिसर क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों का समुच्चय होता है। यहाँ दूसरे घटक 3, 3, 5 और 7 हैं; समुच्चय में 3 को केवल एक बार लिखा जाता है, इसलिए परिसर \(\{3,5,7\}\) है। विकल्प A प्रथम घटकों का समुच्चय, अर्थात् प्रांत, है। परीक्षा में परिसर ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का दूसरा घटक लें और दोहराए गए अवयव हटा दें। / The range of a relation is the set of second components of its ordered pairs. Here the second components are 3, 3, 5, and 7; since a set does not repeat elements, the range is \(\{3,5,7\}\). Option A is the set of first components, called the domain. Exam tip: to find the range, list the second entry of each ordered pair and remove duplicates.
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If R = {(a, b) : a, b ∈ {1, 2, 3, 4}, a < b}, what is the range of R?
B. {2, 3, 4}
दिए गए संबंध में a < b होना चाहिए। संभावित युग्म (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) और (3, 4) हैं। इन युग्मों के दूसरे घटक 2, 3 और 4 हैं, इसलिए परिसर {2, 3, 4} है। विकल्प A प्रथम घटकों से संबंधित है, जो इस प्रश्न में प्रांत के रूप में प्राप्त होते हैं। परीक्षा-युक्ति: संबंध का परिसर ज्ञात करने के लिए सभी क्रमित युग्मों के दूसरे घटक लिखें। / The relation requires a < b. Its ordered pairs are (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), and (3, 4). The second components appearing in these pairs are 2, 3, and 4, so the range is {2, 3, 4}. Option A consists of the first components and represents the domain, not the range. Exam tip: To find the range of a relation, collect the second components of all its ordered pairs.
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C. 3
प्रतिवर्ती संबंध में समुच्चय के प्रत्येक अवयव के लिए संबंधित क्रमित युग्म होना आवश्यक है। इसलिए \((1,1),(2,2),(3,3)\) अनिवार्य हैं और न्यूनतम संख्या 3 है। विकल्प 1 और 2 में सभी अवयवों के लिए स्व-संबंध नहीं बनते, जबकि 9 पूरे \(A\times A\) के युग्मों की संख्या है, न्यूनतम संख्या नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(n\) अवयवों वाले समुच्चय पर प्रतिवर्ती संबंध में कम-से-कम \(n\) युग्म होते हैं। / A reflexive relation must contain a self-related ordered pair \((a,a)\) for every element \(a\) of the set. Thus, \((1,1),(2,2),(3,3)\) are compulsory, giving a minimum of 3 ordered pairs. One or two pairs cannot cover all three elements, while 9 is the total number of pairs in \(A\times A\), not the minimum. Exam tip: a reflexive relation on an \(n\)-element set contains at least \(n\) ordered pairs.
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If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{4,5\}\), what is any subset of \(A\times B\) called?
A. A से B तक संबंधA relation from A to B
समुच्चय \(A\) से \(B\) तक संबंध की परिभाषा \(A\times B\) के किसी भी उपसमुच्चय के रूप में दी जाती है। इसलिए विकल्प A सही है। हर संबंध फलन नहीं होता, क्योंकि फलन में \(A\) के प्रत्येक अवयव की \(B\) में ठीक एक प्रतिछवि होनी चाहिए। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि सर्वसम संबंध सामान्यतः उसी समुच्चय पर परिभाषित होता है। परीक्षा-युक्ति: संबंध के लिए ‘कोई भी उपसमुच्चय’, जबकि फलन के लिए ‘प्रत्येक अवयव की ठीक एक प्रतिछवि’ याद रखें। / A relation from set \(A\) to set \(B\) is defined as any subset of \(A\times B\), so option A is correct. Not every relation is a function: a function must assign exactly one image in \(B\) to each element of \(A\). Option D is incorrect because an identity relation is generally defined on the same set. Exam tip: remember ‘any subset’ for a relation and ‘exactly one image for every element’ for a function.
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A. क्योंकि \((1,3)\) अनुपस्थित हैBecause \((1,3)\) is absent
संक्रामिता के लिए यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) भी होना चाहिए। यहाँ \((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\) हैं, इसलिए \((1,3)\) भी R में होना चाहिए; लेकिन \((1,3)\) अनुपस्थित है। अतः R संक्रामी नहीं है। ध्यान रखें कि \((1,1),(2,2),(3,3)\) जैसे युग्म इस कमी को पूरा नहीं करते। / For transitivity, whenever \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), the pair \((a,c)\) must also belong to R. Here, \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\), so \((1,3)\) must be in R; however, it is absent. Therefore, R is not transitive. Exam tip: diagonal pairs such as \((1,1),(2,2),(3,3)\) do not compensate for a missing required pair.
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A. \((4,2)\notin R\)
युग्म \((4,2)\) के लिए \(a+b=4+2=6\) है। संबंध \(R\) में वही युग्म शामिल हैं जिनके लिए \(a+b\le 5\) हो, लेकिन \(6\le 5\) असत्य है। इसलिए \((4,2)\notin R\)। विकल्प B में असमानता की शर्त उलटी समझी गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी युग्म की सदस्यता जाँचने के लिए उसके दोनों घटकों को दिए गए संबंध की शर्त में सीधे रखें। / For the ordered pair \((4,2)\), \(a+b=4+2=6\). The relation \(R\) contains only those ordered pairs for which \(a+b\le 5\), but \(6\le 5\) is false. Therefore, \((4,2)\notin R\). Option B incorrectly treats the inequality condition as satisfied. Exam tip: To test whether an ordered pair belongs to a relation, substitute its two components directly into the defining condition.
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If the relation \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) is given, what is the domain of \(R\)?
A. \(\{1,2\}\)
किसी संबंध का प्रांत उसके क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय होता है। यहां प्रथम घटक 1, 2 और 1 हैं, इसलिए दोहराव हटाने पर प्रांत \(\{1,2\}\) मिलता है। विकल्प B केवल द्वितीय घटकों का समुच्चय है, इसलिए वह परास (range) है। परीक्षा-युक्ति: प्रांत के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का पहला अंक लें। / The domain of a relation is the set of first components of its ordered pairs. The first components here are 1, 2, and 1; removing the repetition gives the domain \(\{1,2\}\). Option B contains the second components and therefore represents the range. Exam tip: for the domain, list the first element of every ordered pair and remove duplicates.
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If the relation \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\), what is the range of \(R\)?
B. \(\{2,3\}\)
किसी संबंध के परास में क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों के सभी अलग-अलग मान शामिल होते हैं। यहां दूसरे घटक 2, 3 और 3 हैं, इसलिए परास \(\{2,3\}\) है। विकल्प A और C में पहले तथा दूसरे घटकों का गलत संयोजन है, जबकि विकल्प D में पहले घटक 1 को भी शामिल कर दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का दूसरा घटक लिखें। / The range of a relation consists of all distinct second components of its ordered pairs. Here, the second components are 2, 3, and 3, so the range is \(\{2,3\}\). Options A and C use incorrect combinations of components, while option D also includes the first component 1. Exam tip: To find the range, list the second component of every ordered pair and remove repetitions.
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If A={1,2,3}, B={x,y}, and R={(1,x),(3,y)}, what is the codomain of R?
A. {x,y}
A से B तक परिभाषित संबंध R का सहप्रांत वह पूरा समुच्चय B होता है जिसमें संबंध के मान स्थित होते हैं, चाहे B का कोई अवयव वास्तव में संबंधित हुआ हो या नहीं। इसलिए सहप्रांत {x,y} है। {1,3} संबंध का प्रांत है, जबकि {x,y} के सभी अवयव यहां प्राप्त होने के कारण इसका परिसर भी {x,y} है। परीक्षा-युक्ति: सहप्रांत दिए गए लक्ष्य समुच्चय B को देखकर, और परिसर संबंध के दूसरे घटकों को देखकर निर्धारित करें। / For a relation R from A to B, the codomain is the entire target set B, whether or not every element of B is actually used. Hence, the codomain is {x,y}. The set {1,3} is the domain, while the range is also {x,y} here because both x and y occur as second components. Exam tip: identify the codomain from the stated target set B, but find the range from the actual second components of the ordered pairs.
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A. परिसर सहप्रांत का उपसमुच्चय हैThe range is a subset of the codomain
किसी संबंध का परिसर उन वास्तविक मानों का समुच्चय होता है जो संबंध के माध्यम से प्राप्त होते हैं, जबकि सहप्रांत वह समुच्चय है जिसमें ये मान स्थित होते हैं। इसलिए परिसर हमेशा सहप्रांत का उपसमुच्चय होता है। यहाँ \({p,q}\subset {p,q,r}\), और \(r\) सहप्रांत में है लेकिन परिसर में नहीं; अतः दोनों समान नहीं हैं। परीक्षा में याद रखें: परिसर सहप्रांत का उपसमुच्चय होता है, पर सहप्रांत परिसर का उपसमुच्चय आवश्यक नहीं होता। / The range of a relation consists of the actual output values, whereas the codomain is the set in which those outputs are allowed to lie. Therefore, the range is always a subset of the codomain. Here, \({p,q}\subset {p,q,r}\); the element \(r\) belongs to the codomain but not to the range, so the two sets are not equal. Exam tip: range is always contained in the codomain, but it need not be the whole codomain.
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