Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. क्योंकि (x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\) है/Because at (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\)
Explanation
Simple Explanation
(x=0) देने पर मान \(\frac{1}{2}\) आता है, जो सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में नहीं है। फलन में हर मान सहप्रांत में होना चाहिए। / Putting (x=0) gives \(\frac{1}{2}\), which is not in the codomain \(\mathbb{Z}\). Every value of a function must lie in the codomain.
B. यह एक फलन है और इसका परिसर \(\{1,4,9\}\) है/It is a function and its range is \(\{1,4,9\}\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\) के प्रत्येक अवयव की \(y=x^2\) के अनुसार \(B\) में एक और केवल एक छवि है: \(1\mapsto1\), \(2\mapsto4\), \(3\mapsto9\)। इसलिए यह एक फलन है और इसका परिसर \(\{1,4,9\}\) है। सहप्रांत पूरा समुच्चय \(B=\{1,4,9,16\}\) होता है; इसलिए विकल्प A गलत है। सहप्रांत के किसी अवयव, जैसे \(16\), का परिसर में न होना फलन की शर्त का उल्लंघन नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: परिसर सहप्रांत का उपसमुच्चय होता है, जबकि सहप्रांत में ऐसे अवयव भी हो सकते हैं जिनकी कोई पूर्व-छवि न हो। / Each element of \(A\) has exactly one image in \(B\) under \(y=x^2\): \(1\mapsto1\), \(2\mapsto4\), and \(3\mapsto9\). Hence, the relation is a function and its range is \(\{1,4,9\}\). The codomain is the complete set \(B=\{1,4,9,16\}\), so option A is incorrect. The fact that \(16\) has no preimage does not disqualify the relation from being a function. Exam tip: The range is always a subset of the codomain, and the codomain may contain elements absent from the range.
B. नहीं, क्योंकि \(f(4)=8\notin{1,2,3,4}\)/No, because \(f(4)=8\notin{1,2,3,4}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(4)=16-12+4=8) है, जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में सभी मानों की जांच करना सुरक्षित तरीका है। / Here (f(4)=16-12+4=8), which is not in the codomain. For finite domains, checking all values is the safe method.
विकल्प (B) में (0) और (1) दोनों की छवि (1) है और हर इनपुट की एक ही छवि है। समान छवि फलन को नहीं रोकती। / In option (B), both (0) and (1) have image (1), and every input has exactly one image. A common image does not prevent a function.
A. क्योंकि (x=2) पर सूत्र अपरिभाषित है/Because the formula is undefined at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
भले सरलीकरण (x+2) जैसा दिखे, मूल सूत्र (x=2) पर परिभाषित नहीं है। प्रांत तय करते समय मूल हर को देखें। / Even though simplification looks like (x+2), the original formula is undefined at (x=2). When deciding domain, check the original denominator.
हर (x) का वास्तविक घनमूल अद्वितीय है और दिए गए (Y) में है। घनमूल संबंध वर्गमूल वाले संबंध जैसा दो मान नहीं देता। / Each (x) has a unique real cube root lying in the given (Y). A cube-root relation does not give two values like a square-root relation.
परिसर ठीक ({1}) होने के लिए हर इनपुट की छवि (1) ही होनी चाहिए। इसलिए केवल एक स्थिर फलन संभव है। / For the range to be exactly ({1}), every input must have image (1). So only one constant function is possible.
विकल्प (C) में (4) की दो छवियां (a) और (b) हैं। केवल सभी प्रथम घटकों का होना काफी नहीं, अद्वितीयता भी चाहिए। / In option (C), (4) has two images (a) and (b). Having all first components is not enough; uniqueness is also required.
A. क्योंकि (1) की पूर्वछवियां (1) और (-1) दोनों हैं/Because (1) has preimages (1) and (-1)
Explanation
Simple Explanation
उल्टे संबंध में (1) से (1) और (-1) दोनों जुड़ते हैं। एक इनपुट की दो छवियां होने से उल्टा संबंध फलन नहीं रहता। / In the inverse relation, (1) is related to both (1) and (-1). Two images for one input make the inverse relation not a function.
(0) वे इनपुट देते हैं जो सम हैं, यानी (2) और (4)। पूर्वछवि में डोमेन के अवयव आते हैं, सहप्रांत के नहीं। / The value (0) is produced by even inputs, namely (2) and (4). A preimage contains elements of the domain, not of the codomain.
