Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
आने वाली वास्तविक छवियां (1) और (2) हैं, इसलिए परिसर ({1,2}) है। परिसर को प्रांत से अलग रखें। / The actual images obtained are (1) and (2), so the range is ({1,2}). Keep range separate from domain.
A. क्योंकि (x=4) पर (y=2) और (y=-2) दोनों संभव हैं/Because for (x=4), both (y=2) and (y=-2) are possible
Explanation
Simple Explanation
एक ही (x) के लिए दो अलग (y) मिल रहे हैं, इसलिए यह फलन नहीं है। वर्ग वाले संबंधों में धन और ऋण मूल जांचें। / For the same (x), two different (y)-values occur, so it is not a function. In square relations, check positive and negative roots.
हर प्राकृतिक (x) के लिए (x+2) एक प्राकृतिक संख्या है और एक ही मान देता है। इसलिए यह फलन है। / For every natural (x), (x+2) is a natural number and gives one value. Hence it is a function.
(f(1)) तय है, इसलिए बाकी (2) अवयवों के लिए (3) विकल्प हैं। कुल \(3^2=9\) फलन होंगे। / Since (f(1)) is fixed, the remaining (2) elements each have (3) choices. Total functions are \(3^2=9\).
B. यह फलन है और इसका परिसर (B) है/It is a function and its range is (B)
Explanation
Simple Explanation
हर प्रांत अवयव की एक छवि है और दोनों (a,b) प्राप्त होते हैं। अतः यह फलन है और परिसर (B) है। / Every domain element has one image and both (a,b) occur. Hence it is a function and its range is (B).
A. क्योंकि (x=2) पर मान अपरिभाषित है/Because it is undefined at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
(x=2) रखने पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए मान परिभाषित नहीं है। फलन के लिए हर प्रांत अवयव पर मान होना चाहिए। / At (x=2), the denominator becomes zero, so the value is undefined. A function must have a value at every domain element.
B. हर फलन संबंध होता है, पर हर संबंध फलन नहीं होता/Every function is a relation, but every relation is not a function
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष प्रकार है जिसमें एकल छवि की शर्त होती है। यह मूल परिभाषा परीक्षा में बार-बार पूछी जाती है। / A function is a special type of relation with the single-image condition. This basic definition is asked often in exams.
ग्राफ में प्रत्येक क्रमित युग्म \((x,f(x))\) होता है। यहाँ \(f(1)=0\), \(f(2)=1\) और \(f(3)=2\), इसलिए ग्राफ \(\{(1,0),(2,1),(3,2)\}\) है। विकल्प B में \(f(x)=x\) दर्शाया गया है, जबकि विकल्प C में क्रमित युग्मों की भूमिकाएँ बदल गई हैं और विकल्प D में एक ही इनपुट 1 के दो आउटपुट हैं, इसलिए वह फलन का ग्राफ नहीं है। परीक्षा-टिप: पहले डोमेन के प्रत्येक अवयव का मान निकालकर \((x,f(x))\) के रूप में लिखें। / The graph of a function consists of ordered pairs \((x,f(x))\). Here, \(f(1)=0\), \(f(2)=1\), and \(f(3)=2\), so the graph is \(\{(1,0),(2,1),(3,2)\}\). Option B represents \(f(x)=x\), option C reverses the roles of the input and output values, and option D assigns two outputs to the same input 1, so it is not the graph of a function. Exam tip: evaluate the function at every domain element and write each result as \((x,f(x))\).
A. सहप्रांत \(B=\{2,4,6,8\}\), परिसर ({2,4,6})/Codomain \(B=\{2,4,6,8\}\), range ({2,4,6})
Explanation
Simple Explanation
सहप्रांत दिया हुआ (B) है, जबकि परिसर वास्तविक प्राप्त छवियां हैं। यहां (8) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं। / The codomain is the given set (B), while the range is the set of actual images. Here (8) is in the codomain but not in the range.
दो फलन समान होते हैं जब उनका प्रांत, सहप्रांत और हर अवयव पर मान समान हो। यहां दी गई शर्त (f=g) देती है। / Two functions are equal when their domain, codomain, and values at every element are the same. The given condition gives (f=g).
