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विकल्प (A) में हर प्रांत तत्व की एक छवि है पर (1) और (2) दोनों की छवि (a) है। परीक्षा में फलन और एक-एक की जांच अलग करें। / In option (A), every domain element has one image, but (1) and (2) both have image (a). In exams, test function and one-one separately.
A. यह फलन है क्योंकि दोहराया युग्म अलग छवि नहीं देता/It is a function because the repeated pair does not give a different image
Explanation
Simple Explanation
समान युग्म दोहराने से कोई नई अलग छवि नहीं बनती। परीक्षा में दोहराए युग्म और अलग छवि में अंतर करें। / Repeating the same pair does not create a new different image. In exams, distinguish between a repeated pair and a different image.
(A) में सम और विषम दोनों तत्व हैं इसलिए दोनों छवियां (0) और (1) प्राप्त होती हैं। परीक्षा में सभी प्रकार के इनपुट जांचें। / (A) contains both even and odd elements, so both images (0) and (1) are obtained. In exams, check all types of inputs.
फलन में प्रांत के हर तत्व के लिए ठीक एक युग्म होता है इसलिए युग्मों की संख्या (3) होगी। परीक्षा में फलन के युग्म प्रांत के तत्वों के बराबर होते हैं। / A function has exactly one pair for every domain element, so the number of pairs will be (3). In exams, pairs in a function equal the number of domain elements.
(|-2|=2), (|-1|=1), (|0|=0), (|1|=1) और (|2|=2), इसलिए परिसर ({0,1,2}) है। परीक्षा में परिसर में केवल अलग-अलग प्राप्त छवियां लिखें। / The values are (|-2|=2), (|-1|=1), (|0|=0), (|1|=1), and (|2|=2), so the range is ({0,1,2}). In exams, write only distinct obtained images in the range.
A. समुच्चय A के प्रत्येक अवयव का समुच्चय B में ठीक एक प्रतिबिंब हो/Every element of set A has exactly one image in set B
Explanation
Simple Explanation
फलन में परिभाषा-समुच्चय A के प्रत्येक अवयव के लिए सह-परिभाषा-समुच्चय B में एक और केवल एक प्रतिबिंब होना अनिवार्य है। विकल्प B एक-एक तथा आच्छादक फलन जैसी अधिक कठोर स्थिति बताता है; प्रत्येक फलन के लिए यह आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संबंध में यदि A के किसी एक अवयव के दो अलग-अलग प्रतिबिंब हों, तो वह फलन नहीं है। / In a function, every element of the domain A must have one and only one image in the codomain B. Option B describes a stronger situation similar to a one-one and onto mapping, which is not required for every function. Exam tip: if even one element of A has two different images, the relation is not a function.
हर \(x\in A\) की ठीक एक छवि (B) में है। परीक्षा में पहले domain के हर element की उपस्थिति और uniqueness जांचें। / Every \(x\in A\) has exactly one image in (B). In exams, first check presence and uniqueness for each domain element.
(A) के हर (4) element के लिए (B) में (2) choices हैं, इसलिए कुल \(2^4=16\) फलन हैं। सूत्र याद रखें: (A) से (B) तक फलन \(=|B|^{|A|}\)। / Each of the (4) elements of (A) has (2) choices in (B), so total functions are \(2^4=16\). Remember the formula: functions from (A) to (B) \(=|B|^{|A|}\).
एक input की ठीक एक output होना जरूरी है; अलग inputs की same output हो सकती है। common mistake: same image को function rule का violation न मानें। / A function needs exactly one output for each input; different inputs may have the same output. Common mistake: do not treat same image as a violation of function rule.
यहां \(2\in A\) की दो images (q) और (r) हैं। फलन में एक input की दो अलग outputs नहीं हो सकतीं। / Here \(2\in A\) has two images (q) and (r). In a function, one input cannot have two different outputs.
