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एक कोड में पहले (3) अलग अक्षर अंग्रेजी वर्णमाला से और फिर (2) अंक आते हैं। पहला अंक (0) नहीं हो सकता और अंकों की पुनरावृत्ति हो सकती है, तो कितने कोड बनेंगे?
अक्षरों के लिए \(26\times25\times24\) और अंकों के लिए \(9\times10\) विकल्प हैं। परीक्षा में हर चरण के विकल्प गुणा करें। / For letters there are \(26\times25\times24\) choices and for digits \(9\times10\) choices. In exams multiply the choices at each stage.
एक यात्री (A) से (B) तक (4) रास्तों से, (B) से (C) तक (3) रास्तों से और (C) से (D) तक (5) रास्तों से जा सकता है। (A) से (D) तक कुल यात्राएँ कितनी होंगी?
तीनों चरण स्वतंत्र हैं, इसलिए \(4\times3\times5=60\)। क्रमिक चयन में सीधे गुणन सिद्धांत लगाएँ। / The three stages are independent, so \(4\times3\times5=60\). For consecutive choices apply the multiplication principle directly.
एक भोजन में (6) स्टार्टर, (8) मुख्य व्यंजन और (5) मिठाइयाँ हैं। (2) विशेष मुख्य व्यंजनों के साथ केवल (3) मिठाइयाँ मिलती हैं, बाकी के साथ (5), तो कुल भोजन संयोजन कितने हैं?
मुख्य व्यंजन के अनुसार मामले बनते हैं, इसलिए (6{\(6\times5\)+\(2\times3\)}=216)। प्रतिबंध दिखे तो पहले मामले अलग करें। / Cases depend on the main dish, so (6{\(6\times5\)+\(2\times3\)}=216). When a restriction appears, split cases first.
पासवर्ड का रूप अक्षर-अंक-अक्षर-अंक-अक्षर-अंक है। पहला अक्षर स्वर है, तीनों अक्षर अलग हैं, तीनों अंक अलग हैं और अंतिम अंक सम है, तो पासवर्डों की संख्या कितनी है?
अक्षरों के लिए \(5\times25\times24\) और अंकों के लिए \(9\times8\times5\) व्यवस्था मिलती है। अंतिम स्थान की शर्त को अलग चरण मानें। / For letters we get \(5\times25\times24\), and for digits \(9\times8\times5\). Treat the condition on the last position as a separate stage.
एक पहचान संख्या में (2) अलग अक्षर और फिर (4) विषम अंक हैं। अक्षर दोहराए नहीं जा सकते और विषम अंकों की पुनरावृत्ति हो सकती है, तो कुल पहचान संख्याएँ कितनी बनेंगी?
अक्षरों के लिए \(26\times25\) और विषम अंकों के लिए \(5^4\) विकल्प हैं। पुनरावृत्ति हो तो हर स्थान पर वही विकल्प बने रहते हैं। / For letters there are \(26\times25\) choices and for odd digits \(5^4\) choices. If repetition is allowed, each place keeps the same choices.
(X) से (Y) तक (7) रास्ते, (Y) से (Z) तक (6) रास्ते और (Z) से (W) तक (4) रास्ते हैं। यदि (Y) से (Z) का पहला रास्ता चुना जाए तो आगे केवल (2) रास्ते मिलते हैं, तो कुल यात्राएँ कितनी हैं?
बीच के विशेष रास्ते के लिए (2) और बाकी (5) रास्तों के लिए (4) विकल्प हैं, इसलिए (7\(2+5\times4\)=154)। विशेष स्थिति को अलग गिनें। / For the special middle route there are (2) choices, and for the other (5) routes there are (4) choices, so (7\(2+5\times4\)=154). Count the special case separately.
चार विषयों से एक-एक पुस्तक चुननी है। गणित में (5), भौतिकी में (4), रसायन में (6) और जीवविज्ञान में (3) पुस्तकें हैं। गणित की पहली पुस्तक और रसायन की दूसरी पुस्तक साथ नहीं चुनी जा सकतीं, तो कुल चयन कितने होंगे?
कुल चयन \(5\times4\times6\times3=360\) हैं और अमान्य चयन \(1\times4\times1\times3=12\) हैं। कुल में से प्रतिबंधित चयन घटाएँ। / Total selections are \(5\times4\times6\times3=360\), and invalid selections are \(1\times4\times1\times3=12\). Subtract the forbidden selections from the total.
यदि (7) पहले स्थान पर हो तो (3024) पिन और अन्य स्थानों पर हो तो (10752) पिन बनते हैं। स्थान आधारित मामले ऐसे प्रश्नों में सुरक्षित तरीका हैं। / If (7) is in the first place, (3024) PINs are possible, and in other places (10752) PINs are possible. Position-based cases are a safe method for such questions.
एक दिन के (6) पीरियड में (8) विषय बिना पुनरावृत्ति के लगाने हैं। अंतिम पीरियड (3) प्रयोगशाला विषयों में से होना चाहिए और पहला पीरियड दो गैर-प्रयोगशाला विषयों में से कोई नहीं हो सकता, तो समय-सारिणी कितनी बनेंगी?
अंतिम स्थान के (3), पहले स्थान के (5) और बीच के (4) स्थानों के लिए \(6\times5\times4\times3\) विकल्प हैं। पहले तय प्रतिबंधित स्थानों को भरें। / There are (3) choices for the last place, (5) for the first place, and \(6\times5\times4\times3\) choices for the middle (4) places. Fill restricted positions first.
टी-शर्ट के लिए (5) आकार, (7) रंग और (4) डिजाइन हैं। काले रंग के साथ केवल (2) डिजाइन उपलब्ध हैं, बाकी रंगों के साथ (4), तो कुल टी-शर्ट संयोजन कितने हैं?
रंग के अनुसार (5\(1\times2+6\times4\)=130) संयोजन मिलते हैं। जब एक विकल्प बाकी से अलग हो, उसे अलग मामला बनाइए। / By color cases, (5\(1\times2+6\times4\)=130) combinations are obtained. When one option behaves differently, make it a separate case.
एक प्रवेश कोड में (6) उपलब्ध अक्षरों में से (2) अलग अक्षर, (5) प्रतीकों में से (2) प्रतीक और (5) विषम अंकों में से (1) अंक आता है। प्रतीक दोहर सकते हैं, तो कुल कोड कितने हैं?
अक्षरों के लिए \(6\times5\), प्रतीकों के लिए \(5\times5\) और अंक के लिए (5) विकल्प हैं। जिन स्थानों पर पुनरावृत्ति हो सकती है वहाँ विकल्प कम नहीं होते। / For letters \(6\times5\), for symbols \(5\times5\), and for the digit (5) choices are available. Where repetition is allowed, choices do not decrease.
एक ऑनलाइन टेस्ट में (9) अध्याय हैं। (3) अध्यायों में (5) सेट और (6) अध्यायों में (4) सेट हैं, फिर (2) मोड और (2) भाषाएँ चुनी जाती हैं। कुल टेस्ट रूप कितने होंगे?
अध्याय-सेट चयन (\(3\times5\)+\(6\times4\)=39) है और फिर \(2\times2\) से गुणा होगा। असमान समूहों में पहले जोड़ और फिर गुणा करें। / The chapter-set choices are (\(3\times5\)+\(6\times4\)=39), then multiply by \(2\times2\). For unequal groups, add first and then multiply.
एक स्ट्रिंग के पहले (2) स्थान (5) अक्षरों से अलग-अलग और अंतिम (2) स्थान (1,2,3,4) अंकों से अलग-अलग भरने हैं। अंतिम दो अंकों में कम से कम एक सम अंक होना चाहिए, तो स्ट्रिंगों की संख्या कितनी है?
अक्षर \(5\times4=20\) तरीकों से और अंक \(4\times3-2=10\) तरीकों से चुने जाते हैं। कम से कम एक की शर्त में पूरक घटाना आसान रहता है। / Letters are chosen in \(5\times4=20\) ways and digits in \(4\times3-2=10\) ways. For at least one condition, subtracting the complement is often easier.
(P) से (Q) तक यात्रा में ठीक एक मध्य केंद्र चुनना है। \(H_1\) से जाने पर (3) और (4) रास्ते मिलते हैं, जबकि \(H_2\) से जाने पर (5) और (2) रास्ते मिलते हैं। कुल यात्राएँ कितनी हैं?
दो अलग मार्ग-मामले हैं, इसलिए \(3\times4+5\times2=22\)। या तो-या स्थितियों में जोड़ और चरणों में गुणा करें। / There are two separate route cases, so \(3\times4+5\times2=22\). Use addition for either-or cases and multiplication within stages.
अक्षर \(26\times25-5\times4=630\) तरीकों से और अंक \(\binom{10}{3}=120\) तरीकों से मिलते हैं। बढ़ते क्रम में क्रम अपने-आप तय हो जाता है। / Letters are possible in \(26\times25-5\times4=630\) ways and digits in \(\binom{10}{3}=120\) ways. In increasing order, the arrangement is automatically fixed.
एक लॉकर में (4) चाबियाँ, (6) कमरे और (5) डिब्बे हैं। पहली चाबी केवल (3) डिब्बे खोलती है, बाकी (3) चाबियाँ सभी (5) डिब्बे खोलती हैं। कुल वैध चयन कितने हैं?
कमरे स्वतंत्र हैं और चाबी-डिब्बा चयन \(1\times3+3\times5=18\) है, इसलिए \(6\times18=108\)। निर्भर विकल्पों को साथ गिनें। / Rooms are independent and key-box choices are \(1\times3+3\times5=18\), so \(6\times18=108\). Count dependent choices together.
इकाई अंक (0) हो तो (72) संख्याएँ और गैर-शून्य सम हो तो (256) संख्याएँ मिलती हैं। अंतिम अंक की प्रकृति से मामले अलग करें। / If the unit digit is (0), there are (72) numbers, and if it is a non-zero even digit, there are (256) numbers. Split cases by the type of last digit.
तीन क्लबों से एक-एक प्रतिनिधि चुनना है। वाद-विवाद में (5) लड़के (4) लड़कियाँ, विज्ञान में (6) लड़के (3) लड़कियाँ और कला में (4) लड़के (5) लड़कियाँ हैं। ठीक (2) लड़कियाँ चुनने के तरीके कितने हैं?
लड़कियों वाले दो क्लबों के तीन मामले बनेंगे और योग \(4\times3\times4+4\times6\times5+5\times3\times5=243\) है। ठीक संख्या वाली शर्तों में मामले बनाइए। / There are three cases for the two clubs contributing girls, and the sum is \(4\times3\times4+4\times6\times5+5\times3\times5=243\). For exact-number conditions, make cases.
अक्षरों के लिए \(26^2\) और अंकों के लिए \(5\times8\times8\times7\) विकल्प हैं। पहले और अंतिम अंक की शर्तों को सावधानी से गिनें। / For letters there are \(26^2\) choices and for digits \(5\times8\times8\times7\) choices. Count the first and last digit conditions carefully.
चार खंडों से एक-एक प्रश्न चुनना है। खंडों में क्रम से (7,8,6,5) प्रश्न हैं। पहले खंड में (2) और तीसरे खंड में (3) तारांकित प्रश्न हैं, और दोनों चुने गए प्रश्न तारांकित नहीं हो सकते। कुल वैध पेपर कितने हैं?
कुल \(7\times8\times6\times5=1680\) हैं और अमान्य \(2\times8\times3\times5=240\) हैं। निषिद्ध साथ-साथ चयन को कुल से घटाएँ। / Total choices are \(7\times8\times6\times5=1680\), and invalid choices are \(2\times8\times3\times5=240\). Subtract forbidden simultaneous selections from the total.
कैप्चा का रूप अंक-अक्षर-अंक-अक्षर-अंक है। अक्षर (21) व्यंजनों में से पुनरावृत्ति सहित चुने जाते हैं, अंक अलग-अलग हैं और बीच वाला अंक अंतिम अंक से बड़ा है। कुल कैप्चा कितने हैं?
बीच और अंतिम अंक के लिए (45) क्रम मिलते हैं और पहला अंक (8) तरीकों से आता है; अक्षर \(21^2\) हैं। असमानता वाले दो स्थानों को पहले गिनना आसान है। / For the middle and last digits there are (45) ordered choices and the first digit has (8) choices; letters give \(21^2\) choices. Counting the inequality-based positions first is easier.
एक कूपन में (4) सूप, (3) ब्रेड, (5) करी और (6) पेय में से एक-एक चयन है। (2) जूस पेय के साथ केवल (3) करी उपलब्ध हैं, बाकी पेय के साथ (5), तो कुल कूपन कितने हैं?
सूप और ब्रेड के \(4\times3\) विकल्प हैं, फिर पेय-करी चयन \(2\times3+4\times5=26\) है। निर्भर जोड़ी को एक इकाई की तरह गिनें। / Soups and breads give \(4\times3\) choices, then drink-curry choices are \(2\times3+4\times5=26\). Count the dependent pair as one unit.
(1) से (9) तक अंकों से (4)-अंकीय कोड बनाना है, कोई अंक दोहराना नहीं है। पहले दो अंकों में पहला छोटा हो और अंतिम दो अंकों में तीसरा बड़ा हो, तो कोड कितने होंगे?
पहले दो अंकों के लिए \(\binom{9}{2}\) और बचे हुए में अंतिम जोड़ी के लिए \(\binom{7}{2}\) विकल्प हैं। असमानता क्रम तय कर देती है। / For the first two digits there are \(\binom{9}{2}\) choices, and from the remaining digits \(\binom{7}{2}\) choices for the last pair. The inequality fixes the order.
एक पासवर्ड में पहले (4) प्रतीकों में से एक प्रतीक, फिर (5) स्वरों में से एक स्वर, फिर (21) व्यंजनों में से (2) अलग व्यंजन और अंत में एक अंक है। यदि पहला प्रतीक विशेष प्रतीक हो तो अंक (0) नहीं हो सकता, तो पासवर्ड कितने हैं?
प्रतीक-अंक चयन \(1\times9+3\times10=39\) है और बाकी \(5\times21\times20\) है। प्रतिबंधित प्रतीक को अलग मामला बनाइए। / The symbol-digit selection is \(1\times9+3\times10=39\), and the rest is \(5\times21\times20\). Make the restricted symbol a separate case.
एक पुस्तकालय कार्ड में पहले (6) अक्षरों से (2) अलग अक्षर, फिर (3) विभाजकों में से एक, और फिर (2) अंक हैं। अंतिम दो अंकों का योग विषम होना चाहिए और अंक दोहर सकते हैं, तो कार्ड कितने हैं?
अंकों का योग विषम होने के लिए एक सम और एक विषम अंक चाहिए, यानी (50) क्रम। इसलिए \(6\times5\times3\times50=4500\)। / For the digit sum to be odd, one digit must be even and the other odd, giving (50) ordered choices. Hence \(6\times5\times3\times50=4500\).
एक ट्रेन (A) से (D) तक (B) और (C) होते हुए जाती है। बाहर जाते समय क्रम से (4,5,6) ट्रेन विकल्प हैं और वापसी में किसी भी समान खंड पर वही ट्रेन दोबारा नहीं ली जा सकती। कुल आना-जाना कितने तरीकों से होगा?
बाहर जाने के लिए \(4\times5\times6\) और वापसी के लिए \(3\times4\times5\) विकल्प हैं। प्रत्येक खंड पर बचे विकल्प अलग से गुणा करें। / For the outward journey there are \(4\times5\times6\) choices and for return \(3\times4\times5\) choices. Multiply remaining choices segment by segment.
एक पोर्टल में (4) क्षेत्रों में से क्षेत्र चुनना है। (3) क्षेत्रों में (3) विद्यालय हैं और एक क्षेत्र में केवल (2) विद्यालय हैं; हर विद्यालय में (5) अनुभाग और हर अनुभाग में (2) मॉनिटर हैं। कुल मॉनिटर चयन कितने हैं?
विद्यालय चयन \(3\times3+1\times2=11\) है और आगे \(5\times2\) विकल्प हैं। असमान क्षेत्रों के कारण पहले कुल विद्यालय गिनें। / School choices are \(3\times3+1\times2=11\), and then there are \(5\times2\) choices. Because regions are unequal, count total schools first.
एक परियोजना में नेता (6) वरिष्ठों में से, कोडर (8) कनिष्ठों में से और डिजाइनर (5) कलाकारों में से चुनना है। नेता और कोडर एक ही सदन से नहीं हो सकते; वरिष्ठों में सदनवार संख्या (2,4) और कनिष्ठों में (3,5) है। कुल टीमें कितनी हैं?
नेता-कोडर के वैध जोड़े (6\times8-\(2\times3+4\times5\)=22) हैं। फिर डिजाइनर के (5) विकल्पों से गुणा करें। / Valid leader-coder pairs are (6\times8-\(2\times3+4\times5\)=22). Then multiply by the (5) choices for designer.
एक कोड में पहला और अंतिम स्थान (5) अक्षरों से अलग-अलग भरते हैं और बीच के दो स्थान (0,1,2,3) से भरते हैं। बीच के दोनों अंक अभाज्य नहीं हो सकते, तो कोड कितने हैं?
अक्षरों के \(5\times4=20\) विकल्प हैं और बीच के अंक \(4^2-2^2=12\) तरीकों से आते हैं। पूरक विधि ऐसे प्रतिबंधों में तेज होती है। / Letters have \(5\times4=20\) choices and the middle digits can be chosen in \(4^2-2^2=12\) ways. The complement method is fast for such restrictions.
एक विद्यार्थी विज्ञान से (1), कला से (1) और कौशल से (1) वैकल्पिक पाठ्यक्रम चुनता है। विज्ञान के (4) पाठ्यक्रमों में से एक पाठ्यक्रम केवल (2) कौशल पाठ्यक्रमों के साथ लिया जा सकता है, बाकी (3) विज्ञान पाठ्यक्रम (6) कौशल पाठ्यक्रमों के साथ लिए जा सकते हैं। कला में (5) विकल्प हैं। कुल चयन कितने हैं?
विज्ञान-कौशल चयन \(1\times2+3\times6=20\) है और कला के (5) विकल्प हैं। निर्भर विषयों को पहले साथ जोड़ें। / Science-Skill selections are \(1\times2+3\times6=20\), and Arts has (5) choices. Add dependent subjects together first.
तीन अंकों का लॉक कोड बनाकर उसके बाद एक अक्षर जोड़ना है। अंक अलग हैं, संख्या (5) से विभाज्य है और यदि अंतिम अंक (0) हो तो अक्षर स्वर नहीं हो सकता। कुल कोड कितने बनेंगे?
अंतिम अंक (0) होने पर \(9\times8\times21\) और (5) होने पर \(8\times8\times26\) विकल्प हैं। विभाज्यता की शर्त अंतिम अंक से शुरू करें। / When the last digit is (0), choices are \(9\times8\times21\), and when it is (5), choices are \(8\times8\times26\). Start divisibility conditions from the last digit.
एक परीक्षा पेपर कोड में (2) माध्यम, (7) विषय, (4) सेट और (3) संस्करण हैं। गणित विषय में केवल (2) संस्करण उपलब्ध हैं, बाकी विषयों में (3), तो कुल कोड कितने हैं?
विषय-सेट-संस्करण चयन \(1\times4\times2+6\times4\times3=80\) है, फिर माध्यम के (2) विकल्प हैं। अलग विषय को अलग मामला लें। / Subject-set-version choices are \(1\times4\times2+6\times4\times3=80\), then there are (2) media choices. Treat the exceptional subject separately.
पहला अंक सम हो तो (960) और विषम हो तो (1200) एक्सटेंशन मिलते हैं। पहले अंक पर (0) की शर्त के कारण मामले जरूरी हैं। / If the first digit is even, there are (960) extensions, and if it is odd, there are (1200). Cases are necessary because of the (0) restriction on the first digit.
एक उपहार पैक में (4) डिब्बे, (6) रिबन, (5) कार्ड और (7) स्टिकर विकल्प हैं। एक विशेष डिब्बा और एक विशेष रिबन साथ चुने जाएँ तो स्टिकर विकल्प (7) की जगह (3) रह जाते हैं। कुल पैक कितने हैं?
बिना शर्त कुल \(4\times6\times5\times7=3360\) हैं और विशेष जोड़ी में \(4\times5=20\) अतिरिक्त गिने गए। अतः (3340) सही है। / Without the condition, total choices are \(4\times6\times5\times7=3360\), and \(4\times5=20\) choices are overcounted for the special pair. Hence (3340) is correct.
एक स्तरित नेटवर्क में पहले स्तर से (3) नोड, दूसरे से (4) नोड और तीसरे से (5) नोड चुनने हैं। दूसरे स्तर के साथ पहले स्तर की एक विशेष जोड़ी अवरुद्ध है। कुल वैध मार्ग कितने हैं?
पहले दो स्तरों के \(3\times4-1=11\) वैध जोड़े हैं और तीसरे स्तर के (5) विकल्प हैं। अवरुद्ध जोड़ी को घटाकर आगे गुणा करें। / The first two layers have \(3\times4-1=11\) valid pairs, and the third layer has (5) choices. Subtract the blocked pair and then multiply.
दो दिन की यात्रा में हर दिन अलग शहर चुनना है। (5) शहर और प्रत्येक दिन (3) होटल श्रेणियाँ हैं। यदि दूसरे दिन राजधानी चुनी जाए तो दूसरे दिन (2) होटल श्रेणियाँ ही मिलती हैं। कुल योजनाएँ कितनी हैं?
दूसरे दिन राजधानी हो तो (24) योजनाएँ और न हो तो (144) योजनाएँ बनती हैं। कुल (168) है। / If day two is the capital, (24) plans are possible, and otherwise (144) plans are possible. The total is (168).
(5)-स्थान वाले कोड में पहले (2) स्थान (7) अक्षरों से अलग-अलग और अंतिम (3) स्थान अंकों से अलग-अलग भरते हैं। चौथा अंक पाँचवें अंक से बड़ा होना चाहिए। कुल कोड कितने हैं?
अक्षर \(7\times6\) तरीकों से और अंक \(45\times8\) तरीकों से चुने जाते हैं। तुलना वाली जोड़ी को पहले चुनें। / Letters are chosen in \(7\times6\) ways and digits in \(45\times8\) ways. Choose the comparison-based pair first.
तीन काउंटरों से एक-एक नाश्ता चुनना है। काउंटरों में (6,7,8) वस्तुएँ हैं और उनमें प्रीमियम वस्तुएँ क्रम से (2,3,1) हैं। ठीक एक प्रीमियम वस्तु चुनने के तरीके कितने हैं?
प्रीमियम वस्तु किस काउंटर से आएगी, इसके तीन मामले हैं और योग (56+84+16=156) है। ठीक एक जैसी शर्त में हर संभव स्रोत अलग गिनें। / There are three cases depending on which counter gives the premium item, and the sum is (56+84+16=156). For exactly one condition, count each possible source separately.
पहले (3) उत्तरों के \(2^3-2=6\) विकल्प हैं, बीच के (6) उत्तरों के \(2^6\) विकल्प हैं। निश्चित अंतिम उत्तर के लिए (1) से गुणा करें। / The first (3) answers have \(2^3-2=6\) choices, and the middle (6) answers have \(2^6\) choices. Multiply by (1) for the fixed last answer.
एक कोड में पहले (2) बड़े अक्षर अलग-अलग हैं और फिर (2) स्वर तथा (1) अंक है। यदि दोनों स्वर समान हों तो अंक सम होना चाहिए, और यदि स्वर अलग हों तो कोई भी अंक हो सकता है। कुल कोड कितने हैं?
अक्षरों के \(26\times25\) विकल्प हैं और स्वर-अंक भाग \(5\times5+5\times4\times10=225\) तरीकों से बनता है। निर्भर शर्त को स्वर के मामलों से हल करें। / Letters have \(26\times25\) choices, and the vowel-digit part is formed in \(5\times5+5\times4\times10=225\) ways. Handle the dependent condition by vowel cases.
वैध पृष्ठभूमि-फॉन्ट जोड़े \(5\times4-2=18\) हैं। फिर \(6\times3\) से गुणा करने पर (324) मिलता है। / Valid background-font pairs are \(5\times4-2=18\). Multiplying by \(6\times3\) gives (324).
एक पासा फेंककर कार्ड-बॉक्स चुना जाता है। अभाज्य परिणाम पर (5) कार्डों वाला बॉक्स और गैर-अभाज्य परिणाम पर (7) कार्डों वाला बॉक्स मिलता है, फिर (4) रंगों में से एक चुना जाता है। कुल परिणाम कितने हैं?
पासे पर (3) अभाज्य और (3) गैर-अभाज्य परिणाम हैं, इसलिए (\(3\times5+3\times7\)\times4=144)। पहले परिणाम के प्रकार गिनें। / The die has (3) prime and (3) non-prime outcomes, so (\(3\times5+3\times7\)\times4=144). Count the type of outcome first.
एक सर्वे में (6) प्रश्न हैं। पहले (2) प्रश्नों में (4) विकल्प, अगले (3) में (5) विकल्प और अंतिम में (3) विकल्प हैं। यदि पहले प्रश्न में विकल्प (D) चुना जाए तो अंतिम प्रश्न में केवल (2) विकल्प रह जाते हैं। कुल उत्तर-पैटर्न कितने हैं?
पहले प्रश्न में (D) हो तो (1000) और न हो तो (4500) पैटर्न बनते हैं। कुल (5500) है। / If the first answer is (D), (1000) patterns are possible, and otherwise (4500) patterns are possible. The total is (5500).
चार चरणों वाली मशीन-श्रृंखला में क्रम से (3,4,5,6) विकल्प हैं। दूसरे चरण की एक मशीन के बाद तीसरे चरण की (2) मशीनें नहीं चुनी जा सकतीं। कुल वैध श्रृंखलाएँ कितनी हैं?
दूसरा-तीसरा चरण \(1\times3+3\times5=18\) तरीकों से बनता है। फिर पहले और चौथे चरण के \(3\times6\) विकल्पों से गुणा करें। / The second-third stages can be formed in \(1\times3+3\times5=18\) ways. Then multiply by \(3\times6\) choices for the first and fourth stages.
(5)-अक्षरीय बैज में पहले (2) स्थान अंक हैं और अगले (3) स्थान (8) अक्षरों से बनते हैं। अंकों का योग सम है, अंक अलग हैं, और अक्षरों में ठीक एक बार (X) आता है। कुल बैज कितने हैं?
अंक (40) तरीकों से और अक्षर \(3\times7\times6=126\) तरीकों से चुने जाते हैं। इसलिए कुल \(40\times126=5040\) है। / Digits are chosen in (40) ways and letters in \(3\times7\times6=126\) ways. Hence the total is \(40\times126=5040\).
एक सम्मेलन में ट्रैक, सत्र, कार्यशाला और प्रमाणपत्र चुनना है। सामान्य (3) ट्रैक में (6) सत्र, (5) कार्यशालाएँ और (2) प्रमाणपत्र विकल्प हैं; चौथे ट्रैक में (3) सत्र, (5) कार्यशालाएँ और प्रमाणपत्र विकल्प नहीं है। कुल चयन कितने हैं?
सामान्य ट्रैक से \(3\times6\times5\times2=180\) और चौथे ट्रैक से (15) चयन हैं। कुल (195) होगा। / Normal tracks give \(3\times6\times5\times2=180\) selections, and the fourth track gives (15). The total is (195).
एक शब्द-रूप कोड में स्वर-व्यंजन-स्वर-व्यंजन क्रम है। (5) स्वर और (21) व्यंजन उपलब्ध हैं, स्वर दोहर नहीं सकते और व्यंजन दोहर नहीं सकते। कुल कोड कितने हैं?
स्वर \(5\times4\) और व्यंजन \(21\times20\) तरीकों से चुने जाते हैं। कुल \(5\times21\times4\times20=8400\) है। / Vowels are chosen in \(5\times4\) ways and consonants in \(21\times20\) ways. The total is \(5\times21\times4\times20=8400\).
एक विद्यार्थी सुबह (5), दोपहर (4) और शाम (6) कक्षाओं में से एक-एक चुनता है। सुबह की (2) लाइव कक्षाओं के साथ शाम की (3) रिकॉर्डेड कक्षाएँ नहीं चुनी जा सकतीं। कुल समय-सारिणी कितनी हैं?
सुबह-शाम चयन \(2\times3+3\times6=24\) है और दोपहर के (4) विकल्प हैं। कुल (96) समय-सारिणी हैं। / Morning-evening selections are \(2\times3+3\times6=24\), and there are (4) afternoon choices. The total is (96) timetables.
दोहराया अंतिम अंक (0) हो तो \(9^4\) और गैर-शून्य हो तो \(9\times8\times9^3\) विकल्प हैं। दोनों मामलों का योग (59049) है। / If the repeated last digit is (0), choices are \(9^4\), and if it is non-zero, choices are \(9\times8\times9^3\). The sum of both cases is (59049).
एक वेबसाइट में मुख्य श्रेणी, उपश्रेणी, लेख और भाषा चुननी है। (8) मुख्य श्रेणियों में से (6) में (5) उपश्रेणियाँ और (2) में (3) उपश्रेणियाँ हैं; हर उपश्रेणी में (4) लेख और (2) भाषाएँ हैं। कुल पेज-पथ कितने हैं?
उपश्रेणी चयन \(6\times5+2\times3=36\) है और प्रत्येक के लिए \(4\times2\) विकल्प हैं। कुल \(36\times8=288\) है। / Subcategory choices are \(6\times5+2\times3=36\), and each has \(4\times2\) choices. The total is \(36\times8=288\).
