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A. (x) संख्या (8) से बड़ी है/(x) is greater than (8)
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) बताता है कि बाईं ओर का मान बड़ा है। परीक्षा में चिह्न की खुली तरफ बड़ी संख्या होती है। / The sign (>) means the value on the left is greater. In exams the open side of the sign faces the greater number.
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए \(-3\le -3\) सत्य है। सीमा मान को हमेशा अलग से जाँचें। / The sign \(\le\) includes equality, so \(-3\le -3\) is true. Always check the boundary value separately.
\(5x-2\ge 13\) में चर की घात (1) है इसलिए यह रैखिक असमानता है। \(x^2\) या (xy) वाला रूप रैखिक नहीं माना जाता। / In \(5x-2\ge 13\), the variable has power (1), so it is a linear inequality. Forms with \(x^2\) or (xy) are not linear.
(4) संख्या (5) से छोटी है इसलिए \(x\ge 5\) को संतुष्ट नहीं करती। विकल्पों को सीधे असमानता में रखकर जाँचें। / The number (4) is less than (5), so it does not satisfy \(x\ge 5\). Check options by substituting them directly.
से कम है का अर्थ (<) होता है। भाषा वाले प्रश्नों में मुख्य शब्द को प्रतीक से जोड़ें। / Less than means (<). In word-based questions connect the key phrase with the correct symbol.
कम नहीं है का अर्थ कम से कम (9) है इसलिए \(z\ge 9\)। ऐसे वाक्यों में बराबरी शामिल होती है। / Not less than means at least (9), so \(z\ge 9\). Such sentences include equality.
समान संख्या जोड़ने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती। दोनों पक्षों पर एक ही क्रिया करें। / Adding the same number does not change the direction of an inequality. Apply the same operation to both sides.
समान संख्या घटाने से चिह्न नहीं बदलता। घटाव में केवल मान बदलता है दिशा नहीं। / Subtracting the same number does not change the sign. In subtraction only the value changes, not the direction.
धनात्मक संख्या (6) से गुणा करने पर दिशा वही रहती है। केवल ऋणात्मक गुणा में चिह्न पलटता है। / Multiplication by the positive number (6) keeps the direction the same. The sign reverses only in negative multiplication.
ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। (-2) से गुणा करते समय दिशा बदलना जरूरी है। / Multiplying by a negative number reverses the inequality sign. While multiplying by (-2), changing the direction is necessary.
दोनों ओर (5) जोड़ने पर \(x\ge 6\) मिलता है। जोड़ में चिह्न की दिशा नहीं बदलती। / Adding (5) to both sides gives \(x\ge 6\). Addition does not change the direction of the sign.
दोनों ओर (3) से भाग देने पर (x<7) मिलता है। धनात्मक भाग में चिह्न वैसा ही रहता है। / Dividing both sides by (3) gives (x<7). Division by a positive number keeps the sign the same.
(-5) से भाग देने पर चिह्न पलटता है इसलिए \(x\le -3\)। ऋणात्मक गुणांक पर सावधानी रखें। / Dividing by (-5) reverses the sign, so \(x\le -3\). Be careful with negative coefficients.
(x=4) रखने पर \(2\cdot4+3=11\) और \(11\le 11\) सत्य है। बराबरी वाला चिह्न सीमा मान को स्वीकार करता है। / For (x=4), \(2\cdot4+3=11\), and \(11\le 11\) is true. A sign with equality accepts the boundary value.
(x=4) रखने पर \(4\cdot4-2=14\) और (14>10) सत्य है। सख्त असमानता में सीमा मान नहीं चलता। / For (x=4), \(4\cdot4-2=14\), and (14>10) is true. A strict inequality does not include the boundary value.
B. (-1) पर बंद बिंदु और दाईं ओर/Closed circle at (-1) and right side
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में सीमा शामिल होती है और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए (-1) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा बनेगी। / The sign \(\ge\) includes the boundary, and greater numbers are to the right. So use a closed circle at (-1) and shade right.
वर्ग कोष्ठक (]) बताता है कि (9) शामिल है। (\(-\infty,9]\) का अर्थ \(x\le 9\) है। / The square bracket (]) shows that (9) is included. The interval (\(-\infty,9]\) means \(x\le 9\).
गोल कोष्ठक बताता है कि (4) शामिल नहीं है और मान दाईं ओर हैं। इसलिए (x>4) सही है। / The parenthesis shows that (4) is not included, and the values lie to the right. Therefore (x>4) is correct.
(6) संख्या (5) से बड़ी है इसलिए शामिल नहीं है। \(\le\) सीमा को शामिल करता है लेकिन उसके बाहर के मान नहीं। / The number (6) is greater than (5), so it is not included. The sign \(\le\) includes boundaries but not outside values.
\(r\le 0\) में (0) और उससे छोटी संख्याएँ शामिल हैं। बराबरी वाले चिह्न में सीमा मान भी हल होता है। / In \(r\le 0\), (0) and smaller numbers are included. With an equality sign, the boundary value is also a solution.
कम से कम (33) का अर्थ (33) या उससे अधिक है। इसलिए सही रूप \(m\ge 33\) है। / At least (33) means (33) or more. Therefore the correct form is \(m\ge 33\).
अधिक नहीं का अर्थ अधिकतम (20) है इसलिए \(w\le 20\)। अधिकतम वाले शब्द में बराबरी शामिल होती है। / Not more than means at most (20), so \(w\le 20\). The word maximum includes equality.
से कम का अर्थ सख्त रूप से कम है इसलिए (p<250)। अगर बराबर शामिल हो तो \(\le\) लिखा जाता है। / Less than means strictly smaller, so (p<250). If equality is included, we write \(\le\).
कम नहीं का अर्थ कम से कम (16) है इसलिए \(a\ge 16\)। ऐसे वाक्यों में बराबरी को न छोड़ें। / Not less than means at least (16), so \(a\ge 16\). Do not miss equality in such sentences.
(7>4) सत्य है इसलिए (x>4) सही है। दिए गए मान को हर विकल्प में रखकर जाँचें। / (7>4) is true, so (x>4) is correct. Substitute the given value in each option.
दोनों ओर (2) घटाने पर \(x\ge 7\) मिलता है। जोड़ या घटाव से दिशा नहीं बदलती। / Subtracting (2) from both sides gives \(x\ge 7\). Addition or subtraction does not change the direction.
(8-x<3) से (-x<-5) मिलता है और ऋणात्मक से भाग देने पर (x>5)। (-x) हटाते समय चिह्न पलटता है। / From (8-x<3), we get (-x<-5), and dividing by a negative gives (x>5). The sign reverses when removing (-x).
पहले (4) घटाएँ फिर (6) से भाग दें तो \(x\le 3\)। दो चरणों वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First subtract (4), then divide by (6), giving \(x\le 3\). Keep the order correct in two-step questions.
\(10-2x\ge 4\) से \(-2x\ge -6\) और (-2) से भाग देने पर \(x\le 3\)। ऋणात्मक भाग में दिशा बदलती है। / From \(10-2x\ge 4\), we get \(-2x\ge -6\), and division by (-2) gives \(x\le 3\). Negative division changes the direction.
B. समाधान (-2) से बाईं ओर हैं और (-2) शामिल नहीं है/Solutions are to the left of (-2) and (-2) is not included
Explanation
Simple Explanation
(x<-2) में (-2) शामिल नहीं है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। खुले बिंदु का उपयोग करें। / In (x<-2), (-2) is not included and smaller numbers lie to the left. Use an open circle.
\(x\ge 2\) में (2) शामिल है और मान दाईं ओर जाते हैं। इसलिए अंतराल \([2,\infty\)) है। / In \(x\ge 2\), (2) is included and values go to the right. Therefore the interval is \([2,\infty\)).
A. (x) (3) से बड़ा और (8) से छोटा या बराबर है/(x) is greater than (3) and less than or equal to (8)
Explanation
Simple Explanation
\(3<x\le 8\) में (3) शामिल नहीं है पर (8) शामिल है। संयुक्त असमानता को दोनों तरफ से पढ़ें। / In \(3<x\le 8\), (3) is not included but (8) is included. Read a compound inequality from both sides.
प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी जाती हैं और (5) शामिल है। इसलिए \(x\in{1,2,3,4,5}\) सही है। / Natural numbers are taken from (1), and (5) is included. Therefore \(x\in{1,2,3,4,5}\) is correct.
अधिक होने का अर्थ (>) होता है और बराबरी शामिल नहीं होती। इसलिए (s>12) सही है। / More than means (>), and equality is not included. Therefore (s>12) is correct.
दोनों ओर (9) घटाने पर (x>0) मिलता है। समान पद हटाकर सरल रूप बनाइए। / Subtracting (9) from both sides gives (x>0). Remove equal terms to get the simple form.
दोनों ओर (4) से गुणा करने पर \(x\le 12\) मिलता है। धनात्मक गुणा में चिह्न नहीं पलटता। / Multiplying both sides by (4) gives \(x\le 12\). Positive multiplication does not reverse the sign.
दोनों ओर (-3) से गुणा करने पर चिह्न पलटेगा इसलिए (x>-6)। ऋणात्मक गुणा में दिशा बदलती है। / Multiplying both sides by (-3) reverses the sign, so (x>-6). Negative multiplication changes the direction.
दोनों ओर (4) से भाग देने पर (3<x) यानी (x>3) मिलता है। रूप बदलते समय दिशा का अर्थ जाँचें। / Dividing both sides by (4) gives (3<x), that is (x>3). When rewriting, check the meaning of the direction.
कम से कम (20) का अर्थ \(n\ge 20\) और अधिकतम (45) का अर्थ \(n\le 45\) है। दोनों को मिलाकर \(20\le n\le 45\) मिलता है। / At least (20) means \(n\ge 20\), and at most (45) means \(n\le 45\). Combining both gives \(20\le n\le 45\).
पहले दोनों ओर (7) जोड़ें तो (5x<25) मिलता है फिर (5) से भाग दें। धनात्मक भाग में चिह्न नहीं बदलता। / First add (7) to both sides to get (5x<25), then divide by (5). Division by a positive number does not change the sign.
पहले (2) से भाग देने पर \(x+3\ge 7\) और फिर \(x\ge 4\) मिलता है। कोष्ठक वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First divide by (2) to get \(x+3\ge 7\), then \(x\ge 4\). Keep the order correct in bracket questions.
संभव पूर्णांक (2,3,4,5,6) हैं इसलिए कुल (5) मान हैं। सख्त चिह्न वाले किनारे को शामिल न करें। / The possible integers are (2,3,4,5,6), so there are (5) values. Do not include the endpoint with a strict sign.
\(x^2-4<0\) में चर की घात (2) है इसलिए यह रैखिक नहीं है। रैखिक रूप में चर की घात (1) होती है। / In \(x^2-4<0\), the variable has power (2), so it is not linear. In a linear form, the variable has power (1).
([-4) बताता है कि (-4) शामिल है और (2)) बताता है कि (2) शामिल नहीं है। इसलिए \(-4\le x<2\) सही है। / The symbol ([-4) shows that (-4) is included and (2)) shows that (2) is not included. Therefore \(-4\le x<2\) is correct.
कम से कम (18) का अर्थ (18) या उससे अधिक है इसलिए \(2x\ge 18\)। शब्द कम से कम को \(\ge\) से जोड़ें। / At least (18) means (18) or more, so \(2x\ge 18\). Connect the phrase at least with \(\ge\).
दोनों ओर (5) से गुणा करने पर (x>-5) मिलता है। धनात्मक गुणा में असमानता की दिशा नहीं बदलती। / Multiplying both sides by (5) gives (x>-5). Positive multiplication does not change the inequality direction.
\(4-x\le 0\) से \(-x\le -4\) मिलता है और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\ge 4\)। (-x) हटाते समय चिह्न पलटें। / From \(4-x\le 0\), we get \(-x\le -4\), and dividing by a negative gives \(x\ge 4\). Reverse the sign when removing (-x).
ऋणात्मक संख्या (-3) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। इसलिए \(-3x\ge -6\) सही है। / Multiplying by the negative number (-3) reverses the inequality sign. Therefore \(-3x\ge -6\) is correct.
