Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\ge\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए \(0\ge 0\) सत्य है। सीमा मान को हमेशा ध्यान से जाँचें। / The sign \(\ge\) includes equality, so \(0\ge 0\) is true. Always check the boundary value carefully.
कम से कम (50) का अर्थ (50) या उससे अधिक है। इसलिए सही असमानता \(m\ge 50\) है। / At least (50) means (50) or more. Therefore the correct inequality is \(m\ge 50\).
अधिक नहीं है का अर्थ अधिकतम (75) है। अधिकतम वाले वाक्य में बराबरी शामिल होती है। / Not more than means at most (75). A maximum-type sentence includes equality.
समान संख्या घटाने से चिह्न नहीं बदलता। घटाव में दिशा वही रहती है। / Subtracting the same number does not change the sign. In subtraction the direction remains the same.
धनात्मक संख्या (3) से गुणा करने पर चिह्न नहीं पलटता। ऋणात्मक गुणा में ही दिशा बदलती है। / Multiplying by the positive number (3) does not reverse the sign. The direction changes only in negative multiplication.
ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलट जाता है। इसलिए (-4q<-8) सही है। / Multiplying by a negative number reverses the inequality sign. Therefore (-4q<-8) is correct.
दोनों ओर (9) घटाने पर \(x\le 6\) मिलता है। जोड़ या घटाव से चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting (9) from both sides gives \(x\le 6\). Addition or subtraction does not change the sign.
दोनों ओर (8) जोड़ने पर (x>10) मिलता है। घटे हुए पद को हटाने के लिए वही संख्या जोड़ें। / Adding (8) to both sides gives (x>10). Add the same number to remove the subtracted term.
दोनों ओर (4) से भाग देने पर \(x\ge 5\) मिलता है। धनात्मक भाग में दिशा नहीं बदलती। / Dividing both sides by (4) gives \(x\ge 5\). Division by a positive number does not change the direction.
(x=3) रखने पर \(3\cdot3+2=11\) और (11<14) सत्य है। विकल्प को मूल असमानता में रखकर जाँचें। / For (x=3), \(3\cdot3+2=11\), and (11<14) is true. Check an option by substituting it in the original inequality.
(x=5) रखने पर \(5\cdot5-1=24\) और \(24\ge 24\) सत्य है। \(\ge\) में सीमा मान शामिल होता है। / For (x=5), \(5\cdot5-1=24\), and \(24\ge 24\) is true. The sign \(\ge\) includes the boundary value.
A. (2) पर खुला बिंदु और दाईं ओर रेखा/Open circle at (2) and line to the right
Explanation
Simple Explanation
(x>2) में (2) शामिल नहीं है और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए खुला बिंदु और दाईं ओर रेखा बनेगी। / In (x>2), (2) is not included and greater numbers lie to the right. So use an open circle and shade right.
B. (-4) पर बंद बिंदु और बाईं ओर/Closed circle at (-4) and left side
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में सीमा शामिल होती है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। इसलिए (-4) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा होगी। / The sign \(\le\) includes the boundary, and smaller numbers lie to the left. So use a closed circle at (-4) and shade left.
वर्ग कोष्ठक (]) बताता है कि (3) शामिल है। इसलिए (\(-\infty,3]\) का अर्थ \(x\le 3\) है। / The square bracket (]) shows that (3) is included. Therefore (\(-\infty,3]\) means \(x\le 3\).
वर्ग कोष्ठक बताता है कि (-1) शामिल है और मान दाईं ओर हैं। इसलिए \(x\ge -1\) सही है। / The square bracket shows that (-1) is included and values lie to the right. Therefore \(x\ge -1\) is correct.
(0) संख्या (-1) और (4) के बीच है। इस असमानता में (-1) शामिल है पर (4) शामिल नहीं है। / The number (0) lies between (-1) and (4). This inequality includes (-1) but excludes (4).
\(r\ge -2\) में (-2) और उससे बड़ी संख्याएँ आती हैं। बराबरी वाले चिह्न में सीमा मान भी हल होता है। / In \(r\ge -2\), (-2) and greater numbers are included. With an equality sign, the boundary value is also a solution.
(45) या अधिक का अर्थ \(s\ge 45\) है। या अधिक वाले वाक्य में बराबरी शामिल होती है। / (45) or more means \(s\ge 45\). A phrase with or more includes equality.
अधिक नहीं का अर्थ अधिकतम (12) है इसलिए \(w\le 12\)। अधिकतम सीमा में बराबरी शामिल होती है। / Not more than means at most (12), so \(w\le 12\). A maximum limit includes equality.
से कम का अर्थ सख्त रूप से कम है इसलिए (p<30)। बराबरी शामिल हो तो \(\le\) लिखा जाता है। / Less than means strictly smaller, so (p<30). If equality is included, we write \(\le\).
\(-1\le -1\) सत्य है क्योंकि बराबरी शामिल है। दिए गए मान को हर विकल्प में रखकर जाँचें। / \(-1\le -1\) is true because equality is included. Substitute the given value in each option.
दोनों ओर (4) घटाने पर \(x\ge 9\) मिलता है। जोड़ या घटाव से दिशा नहीं बदलती। / Subtracting (4) from both sides gives \(x\ge 9\). Addition or subtraction does not change the direction.
(9-x<4) से (-x<-5) और ऋणात्मक से भाग देने पर (x>5)। (-x) हटाते समय चिह्न पलटता है। / From (9-x<4), we get (-x<-5), and dividing by a negative gives (x>5). The sign reverses when removing (-x).
पहले (5) घटाएँ फिर (2) से भाग दें तो \(x\le 6\)। दो चरणों वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First subtract (5), then divide by (2), giving \(x\le 6\). Keep the order correct in two-step questions.
\(15-3x\ge 6\) से \(-3x\ge -9\) और (-3) से भाग देने पर \(x\le 3\)। ऋणात्मक भाग में दिशा बदलती है। / From \(15-3x\ge 6\), we get \(-3x\ge -9\), and division by (-3) gives \(x\le 3\). Negative division changes the direction.
B. समाधान (-3) से दाईं ओर हैं और (-3) शामिल नहीं है/Solutions are to the right of (-3) and (-3) is not included
Explanation
Simple Explanation
(x>-3) में (-3) शामिल नहीं होता और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। संख्या रेखा पर खुला बिंदु लगाएँ। / In (x>-3), (-3) is not included and greater numbers lie to the right. Use an open circle on the number line.
\(x\le 4\) में (4) शामिल है और मान बाईं ओर जाते हैं। इसलिए (\(-\infty,4]\) सही है। / In \(x\le 4\), (4) is included and values go to the left. Therefore (\(-\infty,4]\) is correct.
(x>6) में (6) शामिल नहीं है और मान दाईं ओर हैं। इसलिए (\(6,\infty\)) सही है। / In (x>6), (6) is not included and values lie to the right. So (\(6,\infty\)) is correct.
A. (x) (0) या उससे बड़ा और (10) से छोटा है/(x) is (0) or more and less than (10)
Explanation
Simple Explanation
\(0\le x<10\) में (0) शामिल है पर (10) शामिल नहीं है। संयुक्त असमानता को दोनों तरफ से पढ़ें। / In \(0\le x<10\), (0) is included but (10) is not included. Read a compound inequality from both sides.
(-4) शामिल नहीं है पर (1) शामिल है। पूर्णांक मान (-3,-2,-1,0,1) होंगे। / The value (-4) is not included but (1) is included. The integer values are (-3,-2,-1,0,1).
से कम या बराबर का प्रतीक \(\le\) होता है। इसलिए \(u\le 25\) सही है। / The symbol for less than or equal to is \(\le\). Therefore \(u\le 25\) is correct.
दोनों ओर समान संख्या जोड़ने से दिशा नहीं बदलती। इसलिए (a+5>b+5) हमेशा सही है। / Adding the same number to both sides does not change the direction. Therefore (a+5>b+5) is always true.
धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता की दिशा वही रहती है। (k>0) की शर्त जरूरी है। / Multiplication by a positive number keeps the inequality direction the same. The condition (k>0) is necessary.
ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता उलट जाती है। इसलिए (ak<bk) सही है। / Multiplying by a negative number reverses the inequality. Therefore (ak<bk) is correct.
दोनों ओर (11) घटाने पर (x>0) मिलता है। समान पद हटाकर सरल रूप बनाइए। / Subtracting (11) from both sides gives (x>0). Remove equal terms to get the simple form.
दोनों ओर (6) से गुणा करने पर \(x\le 12\) मिलता है। धनात्मक गुणा में चिह्न नहीं पलटता। / Multiplying both sides by (6) gives \(x\le 12\). Positive multiplication does not reverse the sign.
दोनों ओर (-5) से गुणा करने पर चिह्न पलटेगा इसलिए (x<-15)। ऋणात्मक गुणा में दिशा बदलती है। / Multiplying both sides by (-5) reverses the sign, so (x<-15). Negative multiplication changes the direction.
दोनों ओर (6) से भाग देने पर (3<x) यानी (x>3) मिलता है। रूप बदलते समय दिशा का अर्थ जाँचें। / Dividing both sides by (6) gives (3<x), that is (x>3). When rewriting, check the meaning of the direction.
कम से कम (12) का अर्थ \(g\ge 12\) और अधिकतम (28) का अर्थ \(g\le 28\) है। दोनों को मिलाकर \(12\le g\le 28\) मिलता है। / At least (12) means \(g\ge 12\), and at most (28) means \(g\le 28\). Combining both gives \(12\le g\le 28\).
पहले दोनों ओर (5) जोड़ें तो \(6x\ge 24\) मिलता है फिर (6) से भाग दें। धनात्मक भाग में चिह्न नहीं बदलता। / First add (5) to both sides to get \(6x\ge 24\), then divide by (6). Division by a positive number does not change the sign.
पहले (3) से भाग देने पर (x-2<5) मिलता है और फिर (x<7)। कोष्ठक वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First divide by (3) to get (x-2<5), then (x<7). Keep the order correct in bracket questions.
संभव पूर्णांक (2,3,4,5,6,7) हैं इसलिए कुल (6) मान हैं। \(\le\) सीमा को शामिल करता है पर (<) सीमा को नहीं। / The possible integers are (2,3,4,5,6,7), so there are (6) values. The sign \(\le\) includes the endpoint but (<) does not.
((-3) बताता है कि (-3) शामिल नहीं है और (5]) बताता है कि (5) शामिल है। इसलिए \(-3<x\le 5\) सही है। / The symbol ((-3) shows that (-3) is not included and (5]) shows that (5) is included. Therefore \(-3<x\le 5\) is correct.
संख्या में (4) जोड़ने का रूप (x+4) है और अधिक है का चिह्न (>) है। इसलिए (x+4>10) सही है। / Adding (4) to a number is written as (x+4), and greater than uses (>). Therefore (x+4>10) is correct.
दोनों ओर (7) से गुणा करने पर (x>14) मिलता है। धनात्मक गुणा में असमानता की दिशा नहीं बदलती। / Multiplying both sides by (7) gives (x>14). Positive multiplication does not change the inequality direction.
\(7-x\ge 2\) से \(-x\ge -5\) मिलता है और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\le 5\)। (-x) हटाते समय चिह्न पलटें। / From \(7-x\ge 2\), we get \(-x\ge -5\), and dividing by a negative gives \(x\le 5\). Reverse the sign when removing (-x).
ऋणात्मक संख्या (-2) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। इसलिए \(-2x\le 6\) सही है। / Multiplying by the negative number (-2) reverses the inequality sign. Therefore \(-2x\le 6\) is correct.
पहले (2) से भाग देने पर \(3-x\le 4\) मिलता है और फिर \(-x\le 1\) से \(x\ge -1\) आता है। ऋणात्मक चर हटाते समय चिह्न पलटना याद रखें। / First divide by (2) to get \(3-x\le 4\), then \(-x\le 1\) gives \(x\ge -1\). Remember to reverse the sign when removing a negative variable.
