Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x\ge -3\) में (-3) शामिल है और उसके बाद की सभी वास्तविक संख्याएं भी शामिल हैं। / In \(x\ge -3\), (-3) is included along with all larger real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए बायां सिरा चौकोर और दायां सिरा \(\infty\) के साथ गोल होगा। / So the left endpoint is square and the infinity side is round.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: \(\ge\) देखकर शुरुआती संख्या को शामिल करें। / Exam tip: the symbol \(\ge\) includes the boundary number.
A. \(\mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\)
Step 1
Concept
प्राकृतिक संख्याएं पूर्णांकों में आती हैं, पूर्णांक परिमेय संख्याओं में आते हैं और परिमेय संख्याएं वास्तविक संख्याओं में आती हैं। / Natural numbers are inside integers, integers are inside rational numbers, and rational numbers are inside real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए श्रृंखला \(\mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\) सही है। / Hence \(\mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\) is correct.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: संख्या परिवारों का क्रम छोटे से बड़े समुच्चय की ओर याद रखें। / Exam tip: remember the number sets from smaller to larger collections.
\(\mathbb{R}\) में सभी वास्तविक संख्याएं आती हैं। / \(\mathbb{R}\) contains all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
हर पूर्णांक वास्तविक संख्या होता है, इसलिए \(\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{R}\)। / Every integer is a real number, so \(\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: (i) वाली संख्याएं सामान्य रूप से वास्तविक संख्या नहीं मानी जातीं। / Exam tip: numbers involving (i) are not real numbers in this basic context.
\(\mathbb{Q}\) में वे संख्याएं आती हैं जिन्हें \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके। / \(\mathbb{Q}\) contains numbers that can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{3}{4}\) परिमेय है और हर परिमेय संख्या वास्तविक भी होती है। / \(\frac{3}{4}\) is rational, and every rational number is also real.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: परिमेय संख्या हमेशा वास्तविक संख्याओं के बड़े समुच्चय में आती है। / Exam tip: every rational number is inside the set of real numbers.
वास्तविक संख्याओं की रेखा पर दो अलग संख्याओं के बीच भी अनंत बिंदु होते हैं। / On the real number line, there are infinitely many points between two distinct numbers.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) में (1) और (2) नहीं हैं, फिर भी उनके बीच अनंत वास्तविक संख्याएं हैं। / Even though (1) and (2) are excluded, ((1,2)) still has infinitely many real numbers.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: अंतराल को केवल पूर्णांकों की सूची न समझें। / Exam tip: do not treat an interval as only a list of integers.
((2,5)) में वे संख्याएं आती हैं जो (2) से बड़ी और (5) से छोटी हों। / The interval ((2,5)) contains numbers greater than (2) and less than (5).
Step 2
Why this answer is correct
(3) इस शर्त को पूरा करता है, जबकि (2) और (5) सिरे होने के कारण शामिल नहीं हैं। / (3) satisfies this condition, while (2) and (5) are excluded endpoints.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: खुले अंतराल में दोनों छोर नहीं गिने जाते। / Exam tip: open intervals do not include their endpoints.
([2,5]) में (2) से (5) तक की सभी वास्तविक संख्याएं शामिल हैं, दोनों सिरे भी शामिल हैं। / ([2,5]) contains all real numbers from (2) to (5), including both endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
(6), (5) से बड़ा है, इसलिए यह अंतराल में नहीं है। / (6) is greater than (5), so it is outside the interval.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: बंद अंतराल में सिरे आते हैं, पर सीमा से बाहर की संख्या नहीं आती। / Exam tip: a closed interval includes endpoints, but not numbers outside its limits.
((2,4)) में केवल (2) और (4) के बीच की संख्याएं हैं। / ((2,4)) contains only the numbers between (2) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
([2,4]) में वे सभी संख्याएं और दोनों सिरे भी हैं, इसलिए ((2,4)) उसका उपसमुच्चय है। / ([2,4]) contains those numbers plus both endpoints, so \((2,4)\subseteq[2,4]\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: खुला अंतराल अपने उसी सीमा वाले बंद अंतराल में समा जाता है। / Exam tip: an open interval is contained in the closed interval with the same endpoints.
B. यह असत्य है क्योंकि (2) और (4) खुले अंतराल में नहीं हैं/it is false because (2) and (4) are not in the open interval
Step 1
Concept
([2,4]) में (2) और (4) दोनों शामिल हैं। / ([2,4]) includes both (2) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) में ये दोनों सिरे शामिल नहीं हैं, इसलिए पूरा ([2,4]) उसके अंदर नहीं जा सकता। / ((2,4)) excludes these endpoints, so the whole set ([2,4]) cannot be inside it.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: उपसमुच्चय में एक भी बाहरी अवयव मिलने पर कथन गलत हो जाता है। / Exam tip: one outside element is enough to make a subset statement false.
