Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\) हैं, तो \(A\times B\) में कितने युग्म ((a,b)) ऐसे हैं जिनमें (a) और (b) दोनों अभाज्य हैं या दोनों भाज्य हैं?
अभाज्य संख्याएँ (3) और भाज्य संख्याएँ (2) हैं, इसलिए गिनती \(3^2+2^2=13\) है। (1) न अभाज्य है न भाज्य। / There are (3) primes and (2) composites, so the count is \(3^2+2^2=13\). The number (1) is neither prime nor composite.
(a-b=1) से (5) और (a-b=3) से (3) युग्म मिलते हैं, कुल (8)। अलग-अलग अंतरों को जोड़ें। / The condition (a-b=1) gives (5) pairs and (a-b=3) gives (3), totaling (8). Add the counts for separate differences.
विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) हैं, इसलिए (4) हटाने होंगे। विकर्ण की संख्या (|A|) होती है। / The diagonal pairs are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)), so (4) must be removed. The number of diagonal pairs is (|A|).
तीन संख्याओं (1) से (3) के बीच योग (6) के कुल (7) क्रमित त्रिक हैं। क्रमित त्रिक में क्रम अलग गिना जाता है। / There are (7) ordered triples from (1) to (3) with sum (6). In ordered triples, order is counted separately.
योग (4) या (8) हो सकता है और अनुकूल युग्मों की कुल संख्या (6) है। शेषफल या योग-सूची से गिनें। / The sum can be (4) or (8), and the total number of valid pairs is (6). Count using remainders or a sum list.
योग (5) या (10) बनने वाले क्रमित युग्मों की संख्या (7) है। शेषफलों के पूरक जोड़ से तेज गिनती होती है। / The number of ordered pairs with sum (5) or (10) is (7). Complementary remainders give a quick count.
प्रत्येक (a) के लिए (b) का ठीक एक अवशेष (B) में मिलता है। इसलिए कुल (5) युग्म हैं। / For each (a), exactly one residue for (b) appears in (B). Therefore there are (5) pairs.
\(a\mid b\) वाले (16) युग्म हैं और \(b\mid a\) भी होने वाले ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) हैं। इसलिए (16-4=12)। / There are (16) pairs with \(a\mid b\), and pairs where \(b\mid a\) also holds are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)). Hence (16-4=12).
हर (x) के लिए (R) उसे (6-x) से और फिर वापस (x) से जोड़ता है। इसलिए \(R\circ R={(x,x):x\in A}\) में (5) युग्म हैं। / For each (x), (R) maps it to (6-x) and then back to (x). Thus \(R\circ R={(x,x):x\in A}\) has (5) pairs.
दोनों संख्याएँ (2) से गुणित हों और भाग देने पर परस्पर अभाज्य रहें, ऐसे (7) युग्म हैं। \(\gcd\) प्रश्न में सामान्य गुणनखंड निकालें। / Both numbers must be multiples of (2), and after division the reduced pair must be coprime, giving (7) pairs. Factor out the common divisor in \(\gcd\) questions.
