Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पूरक में (a+b<6) वाले युग्म होंगे, जिनकी पंक्ति-गिनती (4,3,2,1) है। इसलिए कुल (10) युग्म हैं। / The complement has pairs with (a+b<6), whose row counts are (4,3,2,1). Hence there are (10) pairs.
योग सम के लिए समता समान चाहिए और (ab) में (3) का गुणनखंड चाहिए। ऐसे (5) युग्म मिलते हैं। / Even sum needs same parity, and (ab) must contain a factor (3). This gives (5) pairs.
(a+b=9) वाले (4) और (ab=12) वाले (4) युग्म हैं, साझा कोई नहीं है। इसलिए कुल (8) युग्म हैं। / There are (4) pairs with (a+b=9) and (4) with (ab=12), with no overlap. Hence the total is (8).
\(R^{-1}\) में (a>b) वाली शर्त होगी, जो (a<b) के साथ एक साथ संभव नहीं है। इसलिए प्रतिच्छेद रिक्त है। / \(R^{-1}\) has the condition (a>b), which cannot hold together with (a<b). Therefore the intersection is empty.
(b-a=0) से (4) और (b-a=2) से (3) युग्म मिलते हैं। कुल (7) युग्म हैं। / The condition (b-a=0) gives (4) pairs and (b-a=2) gives (3). The total is (7) pairs.
(c=1) पर योग (3) के (2) त्रिक और (c=2) पर योग (5) के (2) त्रिक मिलते हैं। कुल (4) हैं। / For (c=1), sum (3) gives (2) triples, and for (c=2), sum (5) gives (2). Total is (4).
(a=1,2,3,4,5) के लिए योग्य (b) की गिनती (3,2,2,1,1) है, कुल (9)। विषम योग के लिए समता अलग होनी चाहिए। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of valid (b) are (3,2,2,1,1), totaling (9). Odd sum requires opposite parity.
शर्त \(a+b\le5\) उलटने पर भी वही रहती है, इसलिए (R) के सभी (10) युग्म योग्य हैं। सममित शर्त को पहचानें। / The condition \(a+b\le5\) remains the same after reversal, so all (10) pairs of (R) qualify. Recognize symmetric conditions.
धनात्मक संख्याओं के लिए \(a^2=b^2\) से (a=b) मिलता है। इसलिए (5) विकर्ण युग्म हैं। / For positive numbers, \(a^2=b^2\) gives (a=b). Therefore there are (5) diagonal pairs.
यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a+b=7\}\) है, तो (R) के कितने उपसमुच्चय कम से कम एक युग्म रखते हैं जिसका पहला अवयव (1) है?
(R) में (6) युग्म हैं और पहला अवयव (1) वाला केवल ((1,6)) है। उसे रखना होगा, इसलिए बाकी (5) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^5=32\) है। / There are (6) pairs in (R), and only ((1,6)) has first component (1). It must be included, so the other (5) pairs are free, giving \(2^5=32\).
