Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
जितनी बार आलेख (x)-अक्ष को काटता है उतने वास्तविक शून्यक होते हैं। टिप: रैखिक बहुपद का अधिकतम एक शून्यक होता है। / The number of real zeroes equals the number of times the graph cuts the (x)-axis. Tip: a linear polynomial has at most one zero.
दो कटान बिंदु दो वास्तविक शून्यक बताते हैं। टिप: परवलय (x)-अक्ष को अधिकतम दो बार काट सकता है। / Two intersection points show two real zeroes. Tip: a parabola can cut the (x)-axis at most twice.
स्पर्श करने पर केवल एक समान शून्यक मिलता है। टिप: छूना भी (x)-अक्ष से मिलना है। / When it touches the axis there is only one repeated zero. Tip: touching also means meeting the (x)-axis.
कोई (x)-अक्ष कटान नहीं है इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: केवल (x)-अक्ष पर मिलने को गिनें। / There is no (x)-axis intersection so there is no real zero. Tip: count only meetings with the (x)-axis.
किसी ग्राफ के \(x\)-अक्ष के साथ कटान बिंदुओं के \(x\)-निर्धेषश (coordinates) ही उसके वास्तविक शून्यक होते हैं क्योंकि वहाँ \(y=0\) होता है। अतः दिए गए कटान बिंदुओं \(-3\) और \(5\) के कारण शून्यक \(-3\) और \(5\) हैं। सबसे नज़दीकी विलक्ष्य (option B) गलत है क्योंकि वहाँ संकेत उलट दिए गए हैं; option C और D भी दिए हुए कटान से मेल नहीं खाते। परीक्षा टिप: किसी भी फलन के शून्यक ज्ञात करने के लिए उस बिंदु के \(x\)-मान लें जहाँ \(y=0\)। / The x-intercepts give the zeros because at those points the function value is \(y=0\). Therefore the zeros are the x-values \(-3\) and \(5\). The closest distractor (B) is wrong due to sign reversal; C and D do not match the given intercepts. Exam tip: read off the x-coordinates of points where the graph meets the \(x\)-axis — those are the zeros (roots).
x-अक्ष पर बिंदु यों होते हैं जहाँ बहुपद का मान शून्य हो। इसलिए \(p(x)=0\) रखें: \(x-7=0\) से \(x=7\) मिलता है। अतः x-अक्ष पर छेदन बिंदु \((7,0)\) है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प \((-7,0)\) गलत है क्योंकि वहाँ \(x=-7\) होने पर \(p(x)=-14\) होता है, शून्य नहीं। परीक्षा-सुझाव: x-छेदन पाने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखें और उत्तर को \((x,0)\) के रूप में लिखें। / Points where the graph meets the x-axis are where the polynomial equals zero. Set \(p(x)=0\): \(x-7=0\) gives \(x=7\). So the x-intercept is \((7,0)\). The closest distractor \((-7,0)\) is wrong because at \(x=-7\), \(p(x)=-14\), not zero. Exam tip: find x-intercepts by solving \(p(x)=0\) and record the result as \((x,0)\).
x-अक्ष पर बिंदु पाने के लिए बहुपद को शून्य पर रखें: \(p(x)=0\) ⇒ \(x+4=0\) ⇒ \(x=-4\)। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((-4,0)\) है। नज़दीकी भ्रमित विकल्प (4,0) गलत है क्योंकि वह \(x=4\) देता है, जो समीकरण को संतुष्ट नहीं करता; (0,4) और (0,-4) y-अक्ष के प्रतिच्छेद हैं। परीक्षात्मक टिप: x-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(p(x)=0\) हल करें और उत्तर को \((x,0)\) के रूप में लिखें। / The x-intercept occurs where the function equals zero: set \(p(x)=0\) ⇒ \(x+4=0\) ⇒ \(x=-4\). Thus the intercept is \((-4,0)\). The distractor (4,0) is incorrect because it corresponds to \(x=4\), which does not satisfy the equation; (0,4) and (0,-4) are y-intercepts. Exam tip: find x-intercepts by solving \(p(x)=0\) and give the point as \((x,0)\).
शून्यक वह x-मूल होता है जहाँ बहुपद की मान शून्य हो और ग्राफ x-अक्ष को काटता है।\(p(x)=0\) रखकर \(2x-6=0\) मिलता है। इससे \(2x=6\) और \(x=3\) आता है, इसलिए शून्यक \(x=3\) है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्पों की जाँच: \(2\) केवल सहगुणक है (रूट नहीं), \(6\) स्थायी पद है (स्वत: रूट नहीं), और \(-3\) साइन की गलती है। परीक्षा टिप: हमेशा पहले \(p(x)=0\) रखें और हल करके मिलने वाला x-पमान जाँचें। / A zero (root) is the x-value where the polynomial equals zero and the graph meets the x-axis. Set \(p(x)=0\): \(2x-6=0\). Solving gives \(2x=6\) and \(x=3\), so the x-intercept is \(x=3\). Why other choices are wrong: 2 is the coefficient (not the root), 6 is the constant term (not the root), and -3 is a sign error. Exam tip: always set \(p(x)=0\) and solve for x, then optionally substitute back to verify.
आलेख पूरा (x)-अक्ष से ऊपर रह सकता है इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: कटान न हो तो शून्यक न लिखें। / The graph can stay above the (x)-axis so there is no real zero. Tip: if there is no intersection do not write a zero.
यदि किसी बहुपद का शून्यक a है तो बहुपद a पर शून्य देता है, अर्थात् उस बिंदु पर y=0 होगा — इसलिए वह बिंदु \,\((a,0)\) होता है। शून्यक 1 और 4 के लिए कटान बिंदु \,\((1,0)\) और \,\((4,0)\) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह y-अक्ष के उपर के बिंदु दिखाता है (x=0); C गलत है क्योंकि वहाँ y≠0 होने पर x-अक्ष पर कटान नहीं होता; D गलत है क्योंकि संकेत उल्टे दिए गए हैं। परीक्षा टिप: शून्यक को हमेशा x-निर्देशांक समझें — x=a पर y=0। / If a polynomial has a zero a, the graph takes the value 0 at x=a, so the intersection point with the x-axis is (a,0). For zeros 1 and 4 the graph meets the x-axis at (1,0) and (4,0). Option B lists points on the y-axis (x=0), C lists points with y≠0 so they are not x-intercepts, and D has the wrong signs. Exam tip: a zero gives the x-coordinate of the intercept; set y=0 to find the points.
तीन कटान बिंदु तीन वास्तविक शून्यक बताते हैं। टिप: प्रत्येक अलग (x)-अक्ष कटान को गिनें। / Three intersection points show three real zeroes. Tip: count each distinct (x)-axis intersection.
x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन के लिए बहुपद का मान शून्य होना चाहिए, यानी \(p(x)=0\)। यहाँ \(3x=0\) से \(x=0\) मिलता है। इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु \((0,0)\) है। नज़दीकी विचलन (3,0) गलत है क्योंकि \(p(3)=3\times3=9\), जो शून्य नहीं है। परीक्षा-सूचना: x-अक्ष पर कटान खोजने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) करके हल करें। / The x-intercept occurs where the polynomial equals zero, i.e. \(p(x)=0\). Solving \(3x=0\) gives \(x=0\), so the intersection point is \((0,0)\). The closest distractor (3,0) is incorrect because \(p(3)=3\times3=9\), not zero. Exam tip: to find x-intercepts set \(p(x)=0\) and solve for x.
x-अक्ष पर हर बिंदु के लिए \(y=0\) होता है। अतः प्रतिच्छेदन पाने के लिए \(0 = x + 2\) करना होगा, जिससे \(x = -2\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर -2 है। निकटभ्रांत उत्तर 0 इसलिए गलत है क्योंकि \(x=0\) पर रेखा का y-मूल्य होगा (यानी y-आवरण/y-intercept = 2) — यह x-अक्ष पर छेदन नहीं देता। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर छेदन जानने के लिए हमेशा रेखा में \(y=0\) रखिये। / On the x-axis the y-coordinate is \(0\). So set \(0 = x + 2\), giving \(x = -2\). Hence the correct x-coordinate is -2. A common error is to set \(x=0\) (which gives the y-intercept y=2), but that does not give the x-axis intersection. Exam tip: to find where a line meets the x-axis, substitute \(y=0\).
शून्यक का अर्थ है वह x‑समन्वय जहाँ अवकलित फलन का मान \(y=0\) होता है यानी रेखा x‑अक्ष को काटती है। रेखा \(y=5-x\) के लिए \(y=0\) रखें: \(5-x=0\Rightarrow x=5\)। अतः शून्यक 5 है। निकटतम भ्रमजनक विकल्प 0 इसलिए गलत है क्योंकि यदि \(x=0\) रखें तो \(y=5\) मिलता है, न कि 0। परीक्षात्मक टिप: शून्यक पाने के लिए हमेशा \(y=0\) रखना और x हल करना याद रखें। / The zero (x-intercept) is the x-coordinate where the function value \(y=0\). For \(y=5-x\), set \(y=0\): \(5-x=0\Rightarrow x=5\). So the zero is 5. A common error is choosing 0 (confusing x=0 with y=0); if \(x=0\) then \(y=5\), not 0. Exam tip: to find the zero always set \(y=0\) and solve for x.
केवल एक (x)-अक्ष कटान दिख रहा है इसलिए एक वास्तविक शून्यक है। टिप: संख्या बिंदुओं की गिनती से आती है। / Only one (x)-axis intersection is visible so there is one real zero. Tip: the count comes from the number of points.
A. जो (x)-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटे/One that cuts the (x)-axis at two distinct points
Explanation
Simple Explanation
दो वास्तविक शून्यक के लिए दो अलग (x)-अक्ष कटान चाहिए। टिप: (y)-अक्ष कटान शून्यक नहीं गिनाता। / Two real zeroes need two distinct (x)-axis intersections. Tip: (y)-axis intersections do not count as zeroes.
दोहराया शून्यक होने पर अलग (x)-मान केवल (2) है। टिप: अलग शून्यक गिनते समय समान बिंदु दो बार न गिनें। / For a repeated zero the only distinct (x)-value is (2). Tip: do not count the same point twice for distinct zeroes.
