Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
x-अक्ष के साथ जो बिंदु साझा किया गया है वह (6,0) है; यहाँ y = 0 और x का मान 6 है। बहुपद के वास्तविक शून्यक वे x‑मान होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y‑मान शून्य होता है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक 6 है। सबसे पास का भ्रामक विकल्प −6 है — यह गलत है क्योंकि दिया गया बिंदु x = −6 नहीं बल्कि x = 6 है। परीक्षा टिप: किसी भी बिंदु (a,0) को देखकर तुरंत लिखें कि a बहुपद का एक शून्यक है। / The given intersection point is (6,0); here y = 0 and the x‑coordinate is 6. Zeros of a polynomial are the x‑values where the graph meets the x‑axis (y = 0). Hence the distinct real zero is 6. The closest distractor −6 is incorrect because the x‑coordinate is positive 6, not −6; 0 is incorrect because that would mean the intersection is (0,0), which is not given; “कोई नहीं” (none) is wrong since an intersection at (6,0) is explicitly given. Exam tip: From any x‑intercept (a,0) immediately read off the root a — don’t confuse sign.
हर अलग (x)-अक्ष कटाव एक वास्तविक शून्यक देता है। इसलिए तीन अलग कटावों से तीन वास्तविक शून्यक मिलेंगे। / Each distinct intersection with the (x)-axis gives one real zero. Therefore three distinct intersections give three real zeroes.
वास्तविक शून्यक तभी मिलते हैं जब ग्राफ (x)-अक्ष से मिले। साझा बिंदु न होने पर वास्तविक शून्यक (0) होंगे। / Real zeroes are found only when the graph meets the (x)-axis. With no common point, there are (0) real zeroes.
छूना भी (x)-अक्ष से मिलना है, लेकिन बिंदु केवल एक है। इसलिए एक वास्तविक शून्यक होगा। / Touching also means meeting the (x)-axis, but there is only one point. Hence there is one real zero.
x-अक्ष पर छेदन बिंदु पर \(y=0\) होता है। अतः \(3x-12=0\) से \(3x=12\) और \(x=4\) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प \(-4\) गलत है क्योंकि उस मान पर \(y=3(-4)-12=-24\), जो कि 0 नहीं है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प 3 है — पर \(x=3\) पर \(y=3(3)-12=-3\) भी 0 नहीं है। परीक्षा-सुझाव: x-अक्ष पर छेदन खोजने के लिए हमेशा रेखा में \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें। / The x-intercept occurs where \(y=0\). Setting \(3x-12=0\) gives \(3x=12\) and hence \(x=4\), so 4 is correct. Option \(-4\) is wrong because substituting gives \(y=3(-4)-12=-24\), not 0. The nearby distractor 3 also fails since \(y=3(3)-12=-3\). Exam tip: to find x-intercept, set \(y=0\) and solve for \(x\).
शून्यक वह x-मूल है जहाँ फ़ंक्शन का मान \(y=0\) होता है। इसलिए \(y=0\) रखें: \(0 = x - 8\) जिससे \(x = 8\) मिलता है। ग्राफ़ x-अक्ष को बिंदु \((8,0)\) पर काटता है। सबसे नज़दीकी भ्रमित विकल्प \(-8\) गलत है क्योंकि वह \(x+8=0\) के लिए सही होगा, न कि इस समीकरण के लिए। परीक्षा टिप: किसी रेखा/बहुपद का शून्यक जानने के लिये हमेशा \(y=0\) (या फलन = 0) कर के हल करें। / The zero is the x-value where the function equals \(y=0\). Set \(y=0\): \(0 = x - 8\), so \(x = 8\). The graph intersects the x-axis at \((8,0)\). The closest distractor \(-8\) is incorrect because it would satisfy \(x+8=0\), not \(x-8=0\). Exam tip: To find zeros, always set \(y=0\) (or the polynomial = 0) and solve for x, then check the intersection point on the x-axis.
शून्यक वह x मान है जहाँ रेखा का y मान शून्य होता है। इसलिए \(0 = x + 9\) रखकर हल करने पर \(x = -9\) मिलता है। विकल्प A (9) गलत है क्योंकि यह साइन की उलटी गलती होगी; विकल्प C (0) गलत है क्योंकि \(x=0\) पर \(y=9\) होगा, न कि 0; विकल्प D (18) किसी भी तरह से सही गणना नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी रेखा का x-अवरोध पाने के लिए हमेशा \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें। / The zero (x-intercept) is the x-value where y = 0. Setting \(0 = x + 9\) gives \(x = -9\). Option A (9) is a sign-error; option C (0) is wrong because at \(x=0\) the line gives \(y=9\), not 0; option D (18) is simply incorrect. Exam tip: to find an x-intercept, set \(y=0\) and solve for \(x\).
x‑अक्ष पर स्थित बिंदुओं के लिए \(p(x)=0\) होता है। अतः \(2x+6=0\) से \(2x=-6\) और \(x=-3\)। यह वह ग्राफीय शून्यक (x‑intercept) है। विकल्प B (3) तब गलत होगा जब संकेत बदल दिया जाए (गलती से \(6/2\) कर लिया जाए)। विकल्प D (-6) केवल संख्यात्मक भ्रम है; वह किसी x‑मान का परिणाम नहीं देता जो \(p(x)=0\) बनाए। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का x‑अक्ष पर कटाव निकालने के लिए सीधे \(p(x)=0\) रखें और सरल समीकरण हल करें। / Points on the x-axis satisfy \(p(x)=0\). So set \(2x+6=0\), giving \(2x=-6\) and \(x=-3\). Therefore the graph cuts the x-axis at \(x=-3\). Option B (3) is a sign error (mistakenly taking \(6/2\) without the negative). Option D (-6) is a distractor and does not make \(p(x)=0\). Exam tip: always find x‑intercepts by solving \(p(x)=0\) first, then check your arithmetic signs.
वास्तविक शून्यक के लिए ग्राफ का (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। नीचे रहने और न छूने पर कोई वास्तविक शून्यक नहीं होगा। / For a real zero, the graph must meet the (x)-axis. If it stays below and does not touch it, there is no real zero.
A. वास्तविक शून्यकों की संख्या/Number of real zeroes
Explanation
Simple Explanation
ग्राफ जितनी बार अलग-अलग (x)-अक्ष से मिलता है, उतने वास्तविक शून्यक होते हैं। यह ग्राफीय अर्थ का मुख्य नियम है। / The number of distinct points where the graph meets the (x)-axis gives the number of real zeroes. This is the main graphical rule.
A. यह \(x\)-अक्ष के समानान्तर एक सीधी रेखा होगा और इसे नहीं काटेगा/It is a straight line parallel to the x-axis and does not intersect it
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)=4\) एक स्थिर (constant) बहुपद है जहाँ हर x के लिए y का मान 4 रहता है। अतः ग्राफ एक क्षैतिज रेखा \(y=4\) होगा और कभी \(y=0\) नहीं होता, इसलिए कोई x-शून्यक या x-अक्ष पर छेदन नहीं होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि चार बार कटने के लिए बहुपद में x के ऐसे मान चाहिए जिनसे y=0 हो — परन्तु यहाँ \(p(x)\) कभी शून्य नहीं है। विकल्प C और D भी गलत हैं: मूल बिंदु पर जाने के लिए \(p(0)=0\) होना चाहिए और परवलय के लिए बहुपद की डिग्री 2 होनी चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद के शून्य जानने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) हल करें — यदि \(p(x)\) एक गैर-शून्य स्थिर है तो उसके शून्य नहीं होते। / \(p(x)=4\) is a constant polynomial so its graph is the horizontal line \(y=4\). Since \(y\) is never zero, the graph does not cross the x-axis and there are no zeros of the polynomial. Option B is incorrect because intersecting the x-axis requires solutions of \(p(x)=0\); a constant nonzero polynomial has none. Options C and D are also incorrect: passing through the origin needs \(p(0)=0\), and being a parabola requires degree 2, neither of which holds here. Exam tip: To find x-intercepts set \(p(x)=0\); a nonzero constant yields no solution and thus no x-intercepts.
बहुपद का शून्यक वह x मान है जिसके लिए \(p(x)=0\)। यहाँ \(p(x)=x\) दिया है, अतः \(p(0)=0\)। इसलिए \(x=0\) इस बहुपद का शून्यक है। विकल्प B (1) गलत है क्योंकि \(p(1)=1\), जो शून्य नहीं है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा शून्यक खोजने के लिये \(p(x)=0\) लगाकर हल करें; ग्राफ़ के लिये शून्यक वह x-निर्देश है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। / A root (zero) is a value a for which \(p(a)=0\). With \(p(x)=x\), substituting \(x=0\) gives \(p(0)=0\), so \(x=0\) is the root. Option B (1) is incorrect because \(p(1)=1\), not zero. Exam tip: to find zeros set \(p(x)=0\) and solve; graphically zeros are x-values where the curve meets the x-axis (here the origin).
A. दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटेगा/It will cut at two distinct points
Explanation
Simple Explanation
दो वास्तविक शून्यक दो अलग (x)-अक्ष कटाव बताते हैं। इसलिए परवलय (x)-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटेगा। / Two real zeroes show two distinct (x)-axis intersections. Hence the parabola cuts the (x)-axis at two points.
एक वास्तविक शून्यक का अर्थ है ग्राफ (x)-अक्ष से केवल एक बिंदु पर मिलता है। परवलय में यह सामान्यतः छूने की स्थिति होती है। / One real zero means the graph meets the (x)-axis at only one point. For a parabola, this is usually the touching case.
कटना और छूना दोनों (x)-अक्ष से मिलना है। दो अलग बिंदु हैं, इसलिए दो अलग वास्तविक शून्यक हैं। / Both cutting and touching mean meeting the (x)-axis. There are two distinct points, so there are two distinct real zeroes.
तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु तीन अलग वास्तविक शून्यक बताते हैं। उनके (x)-निर्देशांक ही शून्यक हैं। / Three distinct (x)-axis points show three distinct real zeroes. Their (x)-coordinates are the zeroes.
दो अलग कटाव बिंदु दो अलग वास्तविक शून्यक देते हैं। यहाँ शून्यक (m) और (n) होंगे। / Two distinct intersection points give two distinct real zeroes. Here the zeroes will be (m) and (n).
(x)-अक्ष से हर अलग मिलन एक वास्तविक शून्यक देता है। दो बार मिलने पर दो वास्तविक शून्यक होंगे। / Each distinct meeting with the (x)-axis gives one real zero. If it meets twice, it has two real zeroes.
A. न तो काटेगा न छुएगा/It will neither cut nor touch it
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर दिखता है। कोई वास्तविक शून्यक न होने पर ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलेगा। / A real zero appears when the graph meets the (x)-axis. With no real zero, the graph will not meet the (x)-axis.
