Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। इसलिए \(\sqrt{50}\) अपरिमेय संख्या है। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational. Therefore, \(\sqrt{50}\) is an irrational number.
\(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\)। पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालना सरल करने का अच्छा तरीका है। / \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\). Taking out the perfect square factor is a good way to simplify.
A. लंबाइयों का अंतर (1) नहीं, उनके वर्गों का अंतर (1) है/The difference of lengths is not (1), the difference of their squares is (1)
Explanation
Simple Explanation
(\(\sqrt{11}\)2-\(\sqrt{10}\)2=1), लेकिन \(\sqrt{11}-\sqrt{10}\neq1\)। परीक्षा में लंबाई और वर्ग में अंतर समझें। / (\(\sqrt{11}\)2-\(\sqrt{10}\)2=1), but \(\sqrt{11}-\sqrt{10}\neq1\). In exams, understand the difference between length and square.
(\(\sqrt{30}\)2+12=31), इसलिए \(\sqrt{30}\) पर लंब बनता है। अगले वर्गमूल के लिए पिछले अंदर मान को पहचानें। / (\(\sqrt{30}\)2+12=31), so the perpendicular is drawn on \(\sqrt{30}\). For the next square root, identify the previous inner value.
पाइथागोरस प्रमेय से \(OQ^2=63+1=64\)। प्रश्न \(OQ^2\) पूछता है, इसलिए उत्तर (64) है। / By Pythagoras theorem, \(OQ^2=63+1=64\). The question asks for \(OQ^2\), so the answer is (64).
लगातार कर्णों में वर्गमूल के अंदर की संख्याएं (1) के अंतर से बढ़ती हैं। इसलिए \(\sqrt{22},\sqrt{23},\sqrt{24}\) सही क्रम है। / In consecutive hypotenuses, the numbers under the roots increase by (1). Therefore, \(\sqrt{22},\sqrt{23},\sqrt{24}\) is the correct order.
\(\sqrt{2}\) पहला त्रिभुज देता है, इसलिए \(\sqrt{48}\) तक त्रिभुजों की संख्या (48-1=47) होगी। गणना में आरंभिक \(\sqrt{1}\) को अलग रखें। / \(\sqrt{2}\) is given by the first triangle, so up to \(\sqrt{48}\), the number of triangles is (48-1=47). Keep the initial \(\sqrt{1}\) separate in counting.
(r)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{r+1}\) होता है। इसलिए (18)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{19}\) है। / The hypotenuse of the (r)th triangle is \(\sqrt{r+1}\). Therefore, the (18)th triangle has hypotenuse \(\sqrt{19}\).
पिछले चरण में वर्गमूल के अंदर की संख्या (1) कम होती है। इसलिए \(\sqrt{42}\) से पहले \(\sqrt{41}\) होगा। / In the previous step, the number under the root is (1) less. Therefore, \(\sqrt{41}\) comes before \(\sqrt{42}\).
नए कर्ण का वर्ग (35+1=36) होगा, इसलिए \(OQ=\sqrt{36}\)। कर्ण पूछने पर वर्गमूल रूप लिखें। / The square of the new hypotenuse is (35+1=36), so \(OQ=\sqrt{36}\). When the hypotenuse is asked, write the square root form.
A. वर्गमूलों को ज्यामितीय रूप से निरूपित करना/To represent square roots geometrically
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) जैसे वर्गमूलों को ज्यामितीय रूप से दिखाता है। यह संख्या रेखा और अपरिमेय संख्याओं को समझने में मदद करता है। / The square root spiral represents square roots like \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) geometrically. It helps in understanding the number line and irrational numbers.
अंतिम \(\sqrt{32}\) से ठीक पहले \(\sqrt{31}\) बनता है। सर्पिल में क्रम कोई संख्या नहीं छोड़ता। / Just before the final \(\sqrt{32}\), \(\sqrt{31}\) is formed. The spiral does not skip any number in order.
पहला कर्ण (1) और (1) से बनकर \(\sqrt{2}\) होता है। \(\sqrt{4}\) बाद के चरण में मिलता है, पहले कर्ण के रूप में नहीं। / The first hypotenuse is formed from (1) and (1), giving \(\sqrt{2}\). \(\sqrt{4}\) appears in a later step, not as the first hypotenuse.
\(\sqrt{2}\) पहला त्रिभुज देता है, इसलिए \(\sqrt{n}\) तक त्रिभुजों की संख्या (n-1) होगी। सामान्य सूत्र लिखते समय आरंभिक पद याद रखें। / \(\sqrt{2}\) is given by the first triangle, so up to \(\sqrt{n}\), the number of triangles is (n-1). Remember the starting term while writing a general formula.
\(\sqrt{6}\) पिछले कर्ण \(\sqrt{5}\) और नई लंब भुजा (1) से बनता है। इसलिए संबंध (\(\sqrt{5}\)2+12=6) सही है। / \(\sqrt{6}\) is formed from the previous hypotenuse \(\sqrt{5}\) and the new perpendicular side (1). Therefore, (\(\sqrt{5}\)2+12=6) is correct.
सटीक मान \(\sqrt{5}\) ही है, जबकि (2.236) केवल अनुमान है। परीक्षा में सटीक वर्गमूल रूप को प्राथमिकता दें। / The exact value is \(\sqrt{5}\), while (2.236) is only an approximation. In exams, prefer the exact square root form.
B. वर्गों में बराबर (1) की वृद्धि/Equal increase of (1) in squares
Explanation
Simple Explanation
कर्णों के वर्ग (2,3,4) हैं, जिनमें (1) की वृद्धि है। वास्तविक लंबाइयों में समान अंतर नहीं होता। / The squares of the hypotenuses are (2,3,4), which increase by (1). The actual lengths do not have equal differences.
A. क्रम \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) स्पष्ट हो जाता है/The order \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) becomes clear
Explanation
Simple Explanation
\(1=\sqrt{1}\) मानने से पूरा क्रम स्पष्ट दिखता है। फिर हर नए चरण में अंदर की संख्या (1) बढ़ती है। / Taking \(1=\sqrt{1}\) makes the whole sequence clear. Then the inner number increases by (1) at each step.
यह संबंध पाइथागोरस प्रमेय जैसा है, इसलिए (OP) और (PQ) लंब होंगे। वर्गमूल सर्पिल में यही समकोण रचना जरूरी है। / This relation matches Pythagoras theorem, so (OP) and (PQ) are perpendicular. This right-angle construction is essential in the square root spiral.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) है, जो अपरिमेय है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल परिमेय होते हैं। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), which is irrational. Square roots of perfect squares are rational.
A. खंड समानांतर नहीं, लंब होना चाहिए/The segment should be perpendicular, not parallel
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में नया (1) इकाई खंड पिछले कर्ण पर लंब बनाया जाता है। समानांतर खंड से पाइथागोरस प्रमेय लागू नहीं होगा। / In a square root spiral, the new (1) unit segment is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. A parallel segment will not allow Pythagoras theorem to apply.
C. \(\sqrt{14}\) के बाद \(\sqrt{16}\) बनाना/Constructing \(\sqrt{16}\) after \(\sqrt{14}\)
Explanation
Simple Explanation
एक चरण में अंदर की संख्या केवल (1) बढ़ती है, इसलिए \(\sqrt{14}\) के बाद \(\sqrt{15}\) आना चाहिए। बीच का चरण छोड़ना गलत है। / In one step, the number under the root increases only by (1), so \(\sqrt{15}\) should come after \(\sqrt{14}\). Skipping a step is incorrect.
लगातार कर्णों के बीच बनने वाली नई लंब भुजा (1) इकाई होती है। इसे \(PQ^2=31-30=1\) से भी देखा जा सकता है। / The new perpendicular side between consecutive hypotenuses is (1) unit. This can also be seen from \(PQ^2=31-30=1\).
लंबाई (3) के लिए कर्ण \(\sqrt{9}\) होना चाहिए। इसलिए यह \(\sqrt{9}\) वाले चरण पर मिलता है। / For length (3), the hypotenuse must be \(\sqrt{9}\). Therefore, it is obtained at the \(\sqrt{9}\) step.
\(\sqrt{16}=4\), इसलिए यह एक परिमेय लंबाई है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल तुरंत सरल कर लें। / \(\sqrt{16}=4\), so it is a rational length. Simplify square roots of perfect squares immediately.
\(\sqrt{27}\) (26)वें त्रिभुज से बनता है, इसलिए (26) नए (1) इकाई लंब खंड लगते हैं। पहला (1) लंब \(\sqrt{2}\) बनाता है। / \(\sqrt{27}\) is formed by the (26)th triangle, so (26) new perpendicular segments of (1) unit are used. The first (1) unit perpendicular forms \(\sqrt{2}\).
आरंभ (OA=1) से होता है और फिर कर्ण \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\) बनते हैं। क्रम में अंदर की संख्या लगातार बढ़ती है। / The start is (OA=1), and then the hypotenuses \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\) are formed. The number under the root increases continuously.
वर्गों का अंतर (3-2=1) है। वर्गमूलों का अंतर और उनके वर्गों का अंतर अलग होते हैं। / The difference of the squares is (3-2=1). The difference of roots and the difference of their squares are different.
(r)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{r+1}\) होता है। इसलिए (10)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{11}\) है। / The hypotenuse of the (r)th triangle is \(\sqrt{r+1}\). Therefore, the (10)th triangle has hypotenuse \(\sqrt{11}\).
पहला त्रिभुज \(\sqrt{2}\) देता है, इसलिए \(\sqrt{12}\) के लिए क्रम (12-1=11) होगा। अंदर की संख्या से (1) घटाएं। / The first triangle gives \(\sqrt{2}\), so for \(\sqrt{12}\), the order is (12-1=11). Subtract (1) from the inner number.
