Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
real-valued-functions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
हर ((x+2)2+4\ge 4) है, इसलिए अधिकतम मान \(\frac{1}{4}\) है। हर असीम होने पर मान (0) के पास जाता है। / The denominator ((x+2)2+4\ge 4), so the maximum value is \(\frac{1}{4}\). As the denominator grows, the value approaches (0).
(f(x)=-(x-3)2+4), इसलिए अधिकतम (4) है। \(नीचे खुलने वाले परवलय का परिसर ((-\infty\),अधिकतम]) होता है। \(/ Here (f(x)=-(x-3)^2+4), so the maximum is (4). A downward-opening parabola has range ((-\infty\),maximum]).
नीचे खुलने वाला परवलय ही (-3) को अधिकतम बनाता है। इसलिए (a<0) होना चाहिए। / Only a downward-opening parabola makes (-3) the maximum. Therefore (a<0) is required.
हर शून्य तब होगा जब \(x^2=k\)। हटे हुए मान \(\pm 5\) हैं, इसलिए (k=25)। / The denominator becomes zero when \(x^2=k\). The excluded values are \(\pm 5\), so (k=25).
\(\sqrt{x+b}\) के लिए \(x+b\ge 0\), यानी \(x\ge -b\)। दिए गए प्रांत से (-b=-6), इसलिए (b=6)। / For \(\sqrt{x+b}\), \(x+b\ge 0\), so \(x\ge -b\). Comparing with the given domain, (-b=-6), hence (b=6).
\(x\ne 4\) पर फलन (x+4) के बराबर है। (x=4) से आने वाला मान (8) परिसर में नहीं आएगा। / For \(x\ne 4\), the function equals (x+4). The value (8), which would come from (x=4), will not be in the range.
मूल हर (x-4) है, इसलिए (x=4) स्वीकार्य नहीं है। सरलीकरण के बाद भी हटे बिंदु को प्रांत में न जोड़ें। / The original denominator is (x-4), so (x=4) is not allowed. Even after simplification, do not add the removed point to the domain.
हर शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(|x-4|-1\ne 0\)। इससे \(|x-4|\ne 1\), अतः \(x\ne 3,5\)। / The denominator must not be zero, so \(|x-4|-1\ne 0\). This gives \(|x-4|\ne 1\), hence \(x\ne 3,5\).
वर्गमूल के लिए \(|x+2|-5\ge 0\) चाहिए। इसलिए \(|x+2|\ge 5\), जिससे \(x\le -7\) या \(x\ge 3\) मिलता है। / The square root needs \(|x+2|-5\ge 0\). Hence \(|x+2|\ge 5\), giving \(x\le -7\) or \(x\ge 3\).
\(t=\sqrt{x-1}\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t}{t+4}\)। (t=0) पर (0) मिलता है और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है। / Put \(t=\sqrt{x-1}\ge 0\), then \(f=\frac{t}{t+4}\). At (t=0), the value is (0), and as \(t\to\infty\), it approaches (1).
लघुगणकीय फलन का परिसर सभी वास्तविक संख्याएं होता है जब उसका आर्गुमेंट सभी धनात्मक मान ले सकता है। आधार \(\frac{1}{3}\) केवल दिशा बदलता है, परिसर नहीं। / A logarithmic function has all real numbers as range when its argument can take all positive values. The base \(\frac{1}{3}\) only changes direction, not the range.
लघुगणक के अंदर \(x^2-9>0\) होना चाहिए। इससे (|x|>3), यानी (x<-3) या (x>3) मिलता है। / The logarithm input must satisfy \(x^2-9>0\). This gives (|x|>3), so (x<-3) or (x>3).
\(t=x^2\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t+5}{t+2}=1+\frac{3}{t+2}\)। अधिकतम \(\frac{5}{2}\) है और (1) केवल सीमा मान है। / Put \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{t+5}{t+2}=1+\frac{3}{t+2}\). The maximum is \(\frac{5}{2}\), and (1) is only a limiting value.
हर में वर्गमूल है, इसलिए \(x^2-2x-8>0\) चाहिए। ((x-4)(x+2)>0) से बाहरी खुले अंतराल मिलते हैं। / The square root is in the denominator, so \(x^2-2x-8>0\) is required. From ((x-4)(x+2)>0), the outer open intervals are obtained.
(12-x-x-2=\frac{49}{4}-\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2), इसलिए अंदर का अधिकतम \(\frac{49}{4}\) है। वर्गमूल से अधिकतम \(\frac{7}{2}\) मिलता है। / Since (12-x-x-2=\frac{49}{4}-\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2), the inside maximum is \(\frac{49}{4}\). Taking square root gives maximum \(\frac{7}{2}\).
वर्गमूल के लिए \(12-x-x^2\ge 0\) चाहिए। इसे (-(x+4)(x-3)\ge 0) लिखकर \(-4\le x\le 3\) मिलता है। / The square root needs \(12-x-x^2\ge 0\). Writing it as (-(x+4)(x-3)\ge 0) gives \(-4\le x\le 3\).
\(y=\frac{7x+4}{2x-3}\) से \(x=\frac{3y+4}{2y-7}\), इसलिए \(y\ne \frac{7}{2}\)। रैखिक भिन्न फलन में असंभव (y) को हटाएं। / From \(y=\frac{7x+4}{2x-3}\), \(x=\frac{3y+4}{2y-7}\), so \(y\ne \frac{7}{2}\). In a linear fractional function, remove the impossible (y).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x-5}{x-2}\ge 0\) और \(x\ne 2\) चाहिए। संकेत सारणी से (x<2) या \(x\ge 5\) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x-5}{x-2}\ge 0\) and \(x\ne 2\). A sign chart gives (x<2) or \(x\ge 5\).
वर्गमूल के लिए (\log_{\frac{1}{2}}(x-4)\ge 0) और (x-4>0) चाहिए। आधार \(\frac{1}{2}<1\) होने से \(0<x-4\le 1\), इसलिए प्रांत ((4,5]) है। / The square root needs (\log_{\frac{1}{2}}(x-4)\ge 0) and (x-4>0). Since the base \(\frac{1}{2}<1\), \(0<x-4\le 1\), so the domain is ((4,5]).
(f(x)=x+\frac{4}{x}) है। (x>0) पर मान \([4,\infty\)) और (x<0) पर (\(-\infty,-4]\) मिलता है। / Here (f(x)=x+\frac{4}{x}). For (x>0), values are \([4,\infty\)), and for (x<0), values are (\(-\infty,-4]\).
प्रांत में अंदर का व्यंजक (0) से शुरू होकर असीम तक जाता है। इसलिए वर्गमूल का परिसर \([0,\infty\)) है। / On the domain, the inside expression starts at (0) and goes to infinity. Hence the square root range is \([0,\infty\)).
वर्गमूल के लिए \(x^2-6x+5\ge 0\) चाहिए। ((x-1)(x-5)\ge 0) से बाहरी अंतराल मिलते हैं। / The square root needs \(x^2-6x+5\ge 0\). From ((x-1)(x-5)\ge 0), the outer intervals are obtained.
वर्गमूल के लिए \(x\ge 2\) और हर के लिए \(x\ne 7\) चाहिए। इसलिए प्रांत \([2,\infty\)\setminus{7}) है। / The square root needs \(x\ge 2\), and the denominator needs \(x\ne 7\). Hence the domain is \([2,\infty\)\setminus{7}).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x+5}{2-x}\ge 0\) और \(x\ne 2\) चाहिए। संकेत सारणी से ([-5,2)) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x+5}{2-x}\ge 0\) and \(x\ne 2\). A sign chart gives ([-5,2)).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{4-x}{x+2}\ge 0\) और \(x\ne -2\) चाहिए। संकेत जांच से \(-2<x\le 4\) मिलता है। / The square root needs \(\frac{4-x}{x+2}\ge 0\) and \(x\ne -2\). A sign check gives \(-2<x\le 4\).
हर वाले वर्गमूल के लिए (x-1>0) और दूसरे वर्गमूल के लिए \(4-x\ge 0\) चाहिए। इसलिए \(1<x\le 4\)। / The denominator square root needs (x-1>0), and the second square root needs \(4-x\ge 0\). Hence \(1<x\le 4\).
सिरों पर मान \(2\sqrt{2}\) और मध्य (x=5) पर अधिकतम (4) है। सममित वर्गमूलों में सिरों और मध्य दोनों जांचें। / At the endpoints the value is \(2\sqrt{2}\), and at the midpoint (x=5), the maximum is (4). For symmetric radicals, check both endpoints and the midpoint.
