असमानता \(x-8>2\) में दोनों पक्षों में 8 जोड़ने पर \(x>10\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में 8 को गलत दिशा में घटाया गया है। याद रखें: किसी संख्या को जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता; चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर पलटता है। / Adding 8 to both sides of \(x-8>2\) gives \(x>10\), so option A is correct. Option C results from incorrectly subtracting 8 instead of adding it. Exam tip: the inequality sign does not change when the same number is added or subtracted from both sides; it reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों से 9 घटाने पर \\(x+9-9\le 15-9\\), अर्थात् \\(x\le 6\\) प्राप्त होता है। 9 घटाना धनात्मक संख्या से घटाना है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B में चिह्न अनावश्यक रूप से उलटा गया है, जबकि 24 जोड़ने से प्राप्त होता है। परीक्षा में असमानता के दोनों पक्षों पर किए गए समान जोड़ या घटाव को ध्यान से जाँचें। / Subtracting 9 from both sides gives \\(x+9-9\le 15-9\\), so \\(x\le 6\\). Since 9 is being subtracted, the inequality sign does not change. Option B incorrectly reverses the sign, while 24 would result from adding 9 instead of subtracting it. Exam tip: the sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
\(q>2\) में दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या \(-4\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। इसलिए \(-4q<-8\) प्राप्त होता है। विकल्प A में चिह्न नहीं पलटा गया है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय हमेशा चिह्न बदलें। / When both sides of \(q>2\) are multiplied by the negative number \(-4\), the inequality sign reverses. Thus, \(-4q<-8\) is obtained. Option A is incorrect because it keeps the original sign. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
धनात्मक संख्या (3) से गुणा करने पर चिह्न नहीं पलटता। ऋणात्मक गुणा में ही दिशा बदलती है। / Multiplying by the positive number (3) does not reverse the sign. The direction changes only in negative multiplication.
असमता \(b\ge 10\) के दोनों पक्षों से समान संख्या \(6\) घटाने पर \(b-6\ge 10-6=4\) मिलता है। समान संख्या जोड़ने या घटाने पर असमता का चिह्न नहीं बदलता। इसलिए सही उत्तर A है; विकल्प B में चिह्न अनावश्यक रूप से पलट दिया गया है। परीक्षा-टिप: चिह्न तभी पलटता है जब दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग दिया जाए। / Subtracting the same number, \(6\), from both sides of \(b\ge 10\) gives \(b-6\ge 10-6=4\). The inequality sign does not reverse when the same number is added or subtracted from both sides. Thus, A is correct; option B incorrectly reverses the sign. Exam tip: the sign reverses only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
“75 से अधिक नहीं” का अर्थ है कि c का मान 75 से कम या 75 के बराबर हो सकता है। इसलिए सही असमिका \(c\le 75\) है। विकल्प A \(c<75\) में 75 को शामिल नहीं किया गया है, जबकि “नहीं” के साथ बराबरी संभव है। परीक्षा-युक्ति: “not more than” को “at most” और \(\le\) से याद रखें। / “Not more than 75” means that c can be less than or equal to 75, so the correct inequality is \(c\le 75\). Option A, \(c<75\), wrongly excludes the value 75. Exam tip: translate “not more than” or “at most” as \(\le\).
“कम से कम 50” का अर्थ 50 या 50 से अधिक होता है, इसलिए m का मान 50 के बराबर भी हो सकता है और उससे बड़ा भी। अतः सही असमानता \(m\ge 50\) है। विकल्प A \(m>50\) गलत है क्योंकि उसमें m=50 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: “कम से कम” के लिए \(\ge\) और “अधिकतम” के लिए \(\le\) का प्रयोग करें। / “At least 50” means 50 or more, so m may be equal to 50 or greater than 50. Hence, the correct inequality is \(m\ge 50\). Option A, \(m>50\), is incorrect because it excludes m=50. Exam tip: use \(\ge\) for “at least” and \(\le\) for “at most.”
\(\ge\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए \(0\ge 0\) सत्य है। सीमा मान को हमेशा ध्यान से जाँचें। / The sign \(\ge\) includes equality, so \(0\ge 0\) is true. Always check the boundary value carefully.
ऋणात्मक संख्या (-3) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। इसलिए \(-3x\ge -6\) सही है। / Multiplying by the negative number (-3) reverses the inequality sign. Therefore \(-3x\ge -6\) is correct.
\(4-x\le 0\) से \(-x\le -4\) मिलता है और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\ge 4\)। (-x) हटाते समय चिह्न पलटें। / From \(4-x\le 0\), we get \(-x\le -4\), and dividing by a negative gives \(x\ge 4\). Reverse the sign when removing (-x).
दोनों ओर (5) से गुणा करने पर (x>-5) मिलता है। धनात्मक गुणा में असमानता की दिशा नहीं बदलती। / Multiplying both sides by (5) gives (x>-5). Positive multiplication does not change the inequality direction.
कम से कम (18) का अर्थ (18) या उससे अधिक है इसलिए \(2x\ge 18\)। शब्द कम से कम को \(\ge\) से जोड़ें। / At least (18) means (18) or more, so \(2x\ge 18\). Connect the phrase at least with \(\ge\).
([-4) बताता है कि (-4) शामिल है और (2)) बताता है कि (2) शामिल नहीं है। इसलिए \(-4\le x<2\) सही है। / The symbol ([-4) shows that (-4) is included and (2)) shows that (2) is not included. Therefore \(-4\le x<2\) is correct.
\(x^2-4<0\) में चर की घात (2) है इसलिए यह रैखिक नहीं है। रैखिक रूप में चर की घात (1) होती है। / In \(x^2-4<0\), the variable has power (2), so it is not linear. In a linear form, the variable has power (1).
संभव पूर्णांक (2,3,4,5,6) हैं इसलिए कुल (5) मान हैं। सख्त चिह्न वाले किनारे को शामिल न करें। / The possible integers are (2,3,4,5,6), so there are (5) values. Do not include the endpoint with a strict sign.
पहले (2) से भाग देने पर \(x+3\ge 7\) और फिर \(x\ge 4\) मिलता है। कोष्ठक वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First divide by (2) to get \(x+3\ge 7\), then \(x\ge 4\). Keep the order correct in bracket questions.
पहले दोनों ओर (7) जोड़ें तो (5x<25) मिलता है फिर (5) से भाग दें। धनात्मक भाग में चिह्न नहीं बदलता। / First add (7) to both sides to get (5x<25), then divide by (5). Division by a positive number does not change the sign.
कम से कम (20) का अर्थ \(n\ge 20\) और अधिकतम (45) का अर्थ \(n\le 45\) है। दोनों को मिलाकर \(20\le n\le 45\) मिलता है। / At least (20) means \(n\ge 20\), and at most (45) means \(n\le 45\). Combining both gives \(20\le n\le 45\).
दोनों ओर (4) से भाग देने पर (3<x) यानी (x>3) मिलता है। रूप बदलते समय दिशा का अर्थ जाँचें। / Dividing both sides by (4) gives (3<x), that is (x>3). When rewriting, check the meaning of the direction.
दोनों ओर (-3) से गुणा करने पर चिह्न पलटेगा इसलिए (x>-6)। ऋणात्मक गुणा में दिशा बदलती है। / Multiplying both sides by (-3) reverses the sign, so (x>-6). Negative multiplication changes the direction.
दोनों ओर (4) से गुणा करने पर \(x\le 12\) मिलता है। धनात्मक गुणा में चिह्न नहीं पलटता। / Multiplying both sides by (4) gives \(x\le 12\). Positive multiplication does not reverse the sign.
असमानता x + 9 > 9 में दोनों पक्षों से 9 घटाने पर x > 0 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर x > 0 है। विकल्प B में असमानता की दिशा और हल दोनों गलत हैं, जबकि 18 वाले विकल्पों में 9 घटाने के बजाय अनावश्यक रूप से संख्याएँ जोड़ी गई हैं। परीक्षा में किसी धनात्मक या ऋणात्मक संख्या को दोनों पक्षों से घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting 9 from both sides of x + 9 > 9 gives x > 0. Therefore, x > 0 is the correct solution. Option B reverses the meaning of the inequality, while the options involving 18 result from incorrectly combining the constants. Exam tip: adding or subtracting the same number on both sides does not reverse the inequality sign.
“12 से अधिक” का अर्थ है कि \(s\) का मान 12 से बड़ा हो और 12 के बराबर न हो, इसलिए सही असमानता \(s>12\) है। विकल्प D \(s\ge 12\) में 12 के बराबर होने की संभावना भी शामिल है। परीक्षा-युक्ति: “से अधिक” के लिए \(>\), जबकि “से अधिक या बराबर” के लिए \(\ge\) प्रयोग करें। / “Greater than 12” means that \(s\) must be larger than 12 and cannot equal 12, so \(s>12\) is correct. Option D, \(s\ge 12\), also includes the value 12. Exam tip: use \(>\) for “more than” and \(\ge\) for “more than or equal to.”
“अधिकतम \(30\)” का अर्थ है कि मान \(30\) के बराबर या उससे कम हो सकता है। इसलिए सही असमानता \(n\le 30\) है। विकल्प B, \(n<30\), में \(n=30\) को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: “at most” के लिए \(\le\) और “at least” के लिए \(\ge\) चिन्ह चुनें। / “At most \(30\)” means that the value can be \(30\) or any number less than \(30\). Therefore, \(n\le 30\) is correct. Option B, \(n<30\), excludes the value \(n=30\). Exam tip: use \(\le\) for “at most” and \(\ge\) for “at least.”
प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी जाती हैं और (5) शामिल है। इसलिए \(x\in{1,2,3,4,5}\) सही है। / Natural numbers are taken from (1), and (5) is included. Therefore \(x\in{1,2,3,4,5}\) is correct.
A. (x) (3) से बड़ा और (8) से छोटा या बराबर है/(x) is greater than (3) and less than or equal to (8)
Explanation
Simple Explanation
\(3<x\le 8\) में (3) शामिल नहीं है पर (8) शामिल है। संयुक्त असमानता को दोनों तरफ से पढ़ें। / In \(3<x\le 8\), (3) is not included but (8) is included. Read a compound inequality from both sides.
\(x\ge 2\) का अर्थ है कि \(x\) का मान 2 या 2 से बड़ा हो सकता है। इसलिए 2 समाधान समुच्चय में शामिल होगा और उसके लिए वर्ग कोष्ठक \([\) लगाया जाएगा; मान दाईं ओर अनंत तक जाएंगे। अतः सही अंतराल \([2,\infty)\) है। विकल्प A में 2 शामिल नहीं है, इसलिए वह \(x>2\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) या \(\le\) होने पर संबंधित सीमांत बिंदु पर वर्ग कोष्ठक लगाएँ, जबकि \(\infty\) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगता है। / The inequality \(x\ge 2\) means that \(x\) can be 2 or any value greater than 2. Thus, 2 is included in the solution set, so a square bracket is used at 2, and the values extend to the right up to infinity. Therefore, the correct interval is \([2,\infty)\). Option A excludes 2 and represents \(x>2\). Exam tip: Use a square bracket for an included endpoint, but always use a round bracket with \(\infty\).
B. समाधान \(-2\) के बाईं ओर स्थित हैं और \(-2\) शामिल नहीं है/The solutions lie to the left of \(-2\), and \(-2\) is not included
Explanation
Simple Explanation
\(x<-2\) का अर्थ है कि \(x\), \(-2\) से छोटी कोई भी वास्तविक संख्या है। संख्या रेखा पर ऐसी संख्याएँ \(-2\) के बाईं ओर होती हैं। चूँकि असमानता में '<' है, इसलिए \(-2\) स्वयं समाधान नहीं है और वहाँ खुला वृत्त बनाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: '<' या '>' होने पर सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / The inequality \(x<-2\) means that \(x\) can be any real number smaller than \(-2\). On a number line, smaller numbers lie to the left of \(-2\). Since the sign is '<', \(-2\) itself is not included, so an open circle is used. Exam tip: with '<' or '>', the boundary point is excluded.
\(10-2x\ge 4\) से \(-2x\ge -6\) और (-2) से भाग देने पर \(x\le 3\)। ऋणात्मक भाग में दिशा बदलती है। / From \(10-2x\ge 4\), we get \(-2x\ge -6\), and division by (-2) gives \(x\le 3\). Negative division changes the direction.
पहले (4) घटाएँ फिर (6) से भाग दें तो \(x\le 3\)। दो चरणों वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First subtract (4), then divide by (6), giving \(x\le 3\). Keep the order correct in two-step questions.
